HxV.称测度空间(X×Y,w,xv)为(X,,)与(Y,罗,V)乘积空间.由22定理 10,测度空间(XxY,,xv)是完备的.容易证明若和V都是G-有限的,则 v也是a-有限的(其证明留作习题) 由第一章习题第26题的结果知道σ(C)=o().由.4×的定义和§22定理5 A×=0(C)=a()∈x 因此4Xv也是Ax上的测度.有时也称测度空间(X×Y,4×,Xv为(X,A,)与 (,,v)乘积空间. 下面我们将证明 Fubini定理.为此需要作一些准备.设 ECXXY,x∈X.称集 Ex={y∈Y:(x,y)∈E}为E在x的截口.类似地,对y∈Y,称集 E,={x∈X:(x,y)∈E}为E在y的截口.注意E和E,分别是Y和X的子集(图6-2) E3 图6—2 容易验证关于截口成立 (D). (UEn=U(Ex ().(E-F)=E3-Fx 同样,关于y的截口也成立类似的性质 定理3设(X,A,p)和(H,,v)是两个一有限的测度空间,E∈A×.则 ()对任意x∈X,必有Ex∈B (i1).v(E)和是(X,A,)上的可测函数.并且成立等式 (×XE)=v(E)d118 µ ×ν . 称测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 为 (X, A,µ) 与 (Y, B,ν ) 乘积空间. 由§2.2.定理 10, 测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 是完备的. 容易证明若 µ 和ν 都是 σ − 有限的, 则 µ ×ν 也是σ − 有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第 26 题的结果知道σ (C ) =σ (R ). 由A ×B 的定义和§2.2 定理 5, A ×B =σ (C ) =σ (R ) ⊂ Mµ×ν . 因此 µ ×ν 也是A ×B 上的测度. 有时也称测度空间(X ×Y,A ×B,µ ×ν )为(X, A,µ) 与 (Y, B,ν ) 乘积空间. 下面我们将证明 Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设 E ⊂ X ×Y, x ∈ X. 称集 E {y Y : (x, y) E} x = ∈ ∈ 为 E 在 x 的 截 口 . 类似地 , 对 y ∈Y, 称 集 E {x X : (x, y) E} y = ∈ ∈ 为 E 在 y 的截口. 注意 Ex 和 Ey 分别是Y 和 X 的子集(图 6—2). 图 6—2 容易验证关于截口成立 (i). ( ) ( ) , 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∞ = = n x n x n En E (ii). ( ) . E − F x = Ex − Fx 同样, 关于 y 的截口也成立类似的性质. 定理 3 设(X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个σ − 有限的测度空间, E ∈ A ×B . 则 (i).对任意 x ∈ X, 必有 ∈B. Ex (ii). ( ) ν Ex 和是(X, A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (3) X Y Ex Ey x y E       