在C上定义一个非负值集函数如下.对任意AxB∈C,令 (4xv)(A×B)=(A)·v(B) 定理1由(1)式定义的集函数Xv是C上的测度 证明显然(Xv))=0.往证pXv在C上是可数可加的.设A×B是一个可测矩 形,{A,xBn}是一列互不相交的可测矩形使得AxB=Um14×B由于{ A xB}是 互不相交的,故成立 14(x)l2(y)=∑l2(x)(y) 对任意固定的y∈Y,将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到 (A)2(y)=∑(An)B() 再对y积分得到(A)H(B)=∑(4)v(Bn)这就是 (XD(AxB)=∑(x) A xB) 即yxv在C上是可数可加的.因此Xv是C上的测度■ 设界是由C生成的环,即 R={4=UE,E1,E是互不相交的可测矩形k≥l 注意由于XxY∈,故实际上是一个代数.按下面的方式将Xv延拓到上.若 E∈,E的一个分解式为E=U4×B,则令 (x)(E)=∑u(4)(B) 由§22引理7,(μxv)(A×B)的值不依赖于A×B的分解式的选取.由定理1和22定理8 立即得到如下定理 定理2由(2)式定义的集函数Xv是上的测度 设(×v)是由HXv导出的外测度,m是(×v)可测集的全体所成的a一代数 由22定理5,(4xv)在M上是一个测度,称这个测度为和v的乘积测度,仍记为117 在C 上定义一个非负值集函数如下. 对任意 A× B ∈C , 令 (µ ×ν )(A× B) = µ(A)⋅ν (B). (1) 定理 1 由(1)式定义的集函数 µ ×ν 是C 上的测度. 证明 显然(µ ×ν )(∅) = 0 . 往证 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 设 A× B 是一个可测矩 形, { } An × Bn 是一列互不相交的可测矩形使得 1 . n n n AB A B ∞ = ×= × ∪ 由于{ } An × Bn 是 互不相交的, 故成立 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ − = n A B A B I x I y I x I y n n 对任意固定的 y ∈Y, 将上式两边对 x 积分并利用单调收敛定理得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = n B n B A I y A I y n µ µ 再对 y 积分得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ⋅ = ⋅ n µ A ν B µ An ν Bn 这就是 ( )( ) ( )( ). 1 ∑ ∞ = × × = × × n µ ν A B µ ν An Bn 即 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 因此 µ ×ν 是C 上的测度. ■ 设R 是由C 生成的环, 即 { : ,, , 1}. 1 1 = = ≥ = A E E E k k k i R ∪ i 是互不相交的可测矩形 注意由于 X ×Y ∈ R, 故 R 实际上是一个代数. 按下面的方式将 µ ×ν 延拓到 R 上. 若 E∈R, E 的一个分解式为 , ∪ 1 k i E Ai Bi = = × 则令 ( )( ) ( ) ( ). 1 ∑= × = ⋅ k i µ ν E µ Ai ν Bi (2) 由§2.2.引理 7, (µ ×ν )(A× B) 的值不依赖于 A× B 的分解式的选取. 由定理 1 和§2.2 定理 8 立即得到如下定理. 定理 2 由(2)式定义的集函数 µ ×ν 是R 上的测度. 设 ∗ (µ ×ν ) 是由 µ ×ν 导出的外测度, Mµ×ν 是 ∗ (µ ×ν ) 可测集的全体所成的σ − 代数. 由§2.2 定理 5, ∗ (µ ×ν ) 在Mµ×ν 上是一个测度, 称这个测度为 µ 和ν 的乘积测度, 仍记为