§4.5 Lebesgue可积函数的逼近 教学目的本节考虑可积函数的逼近问题.本节要证明几个关于积分的 逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理 教学要点 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数特别是用连续函数 逼近.由于连续函数具有较好的性质,因此L可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的应通过例题和习题掌握这种方法 设给定一个测度空间(X,,4),C是可积函数类L(4)的一个子类.若对任意可积 函数∫∈L()和E>0,存在一个g∈C,使得-gd<E,则称可积函数可以用 C中的函数逼近 一般测度空间上积分的逼近 定理1设(X,,)是一个测度空间,f∈L().则对任意E>0,存在L(4)中的 简单函数g,使得∫f-g<E 证明设∫∈L().由推论31.10,存在一个简单函数列{fn},使得{n}处处收敛 于∫,并且团f川≤/,n≥1.由于∫可积因此每个f都可积注意到n≤2/并 且fn-f→>0(m→∞),利用控制收敛定理得到 im』n-fd=0 因此存在一个n,使得一/<.令g=即知定理成立■ Lebesgue积分的逼近设E是R”中的L可测集.用L(E)表示E上的 积函数的全体 定理2设E是R”上的一个 Lebesgue可测集,f∈L(E).则对任意E>0,存在 R上具有紧支集的连续函数g,使得-8<E 证明设∫∈L(E)先设设∫=l4是特征函数其中AcE并且m(4)<+0.对任 意E>0,由§2.3定理6,存在开集G和有界闭集F,使得 FCACG,使得 m(G-F)<E.由于F是有界集,因此存在半径充分大的开球U(0,r)使得120 4.5 Lebesgue 可积函数的逼近 教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 教学要点 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此 L 可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法. 设给定一个测度空间(X , F ,µ), C 是可积函数类 L(µ) 的一个子类. 若对任意可积 函数 f ∈ L(µ) 和ε > 0, 存在一个 g ∈C , 使得 − µ < ε, ∫ f g d 则称可积函数可以用 C 中的函数逼近. 一般测度空间上积分的逼近 定理 1 设(X , F ,µ) 是一个测度空间, f ∈ L(µ). 则对任意ε > 0, 存在 L(µ) 中的 简单函数 g, 使得 − µ < ε. ∫ f g d 证明 设 f ∈ L(µ). 由推论 3.1.10, 存在一个简单函数列{ }, n f 使得{ }n f 处处收敛 于 f , 并且 f ≤ f , n ≥ 1. n 由于 f 可积, 因此每个 n f 都可积. 注意到 f f f n − ≤ 2 并 且 f − f → 0(n → ∞), n 利用控制收敛定理得到 lim 0. ∫ − = →∞ f n f dµ n 因此存在一个 , 0 n 使得 . 0 − µ < ε ∫ f f d n 令 n0 g = f 即知定理成立. Lebesgue 积分的逼近 设 E 是 n R 中的 L 可测集. 用 L(E) 表示 E 上的 Lebesgue 可 积函数的全体. 定理 2 设 E 是 n R 上的一个 Lebesgue 可测集, f ∈ L(E). 则对任意 ε > 0, 存在 n R 上具有紧支集的连续函数 g, 使得 − < ε. ∫E f g dx 证明 设 f ∈ L(E). 先设设 A f = I 是特征函数,其中 A ⊂ E 并且m(A) < +∞. 对任 意 ε > 0, 由 2.3 定 理 6, 存在开集 G 和有界闭集 F, 使 得 F ⊂ A ⊂ G, 使 得 m(G − F) < ε . 由 于 F 是有界集 , 因此存在半径充分大的开球 U(0,r) 使 得