FcU(0,r).令B=(G∩U(0,r),则B是闭集并且F∩B=②.由§33引理3,存 在R”上的连续函数g,使得g=1,g=0.则g是R"上具有紧支集的连续函数注 意到0≤g(x)≤1,我们有 U-gdx=」-gtx+jJ-gdk ≤m(E-A)+m(A-F ≤m(G-F)<E 般情形,由定理1,存在L(E)中的简单函数g,使得』-9<设 9=∑a,l4不妨设a1≠0,则m(A4)<+∞,i=1…,k.由上面所证的结果对每个 =1…k,存在R”上具有紧支集的连续函数g,使得∫|4-g|x 令 g=∑a,g,则g是R”上具有紧支集的连续函数我们得到 「-gd=JJ-or+o-g ∑ 88 设[ab]是直线上的有界闭区间称型如f=∑a11的函数为[a]上的阶梯函数 其中J1,Jn为[a,b]的互不相交的子区间.由于阶梯函数是有界可测函数,因此每个阶梯 函数属于L[a,b] 定理3设∫∈L4,b]则对任意E>0,存在[a,b]上的一个阶梯函数g,使得 dx<a 证明设∫∈L(E).类似于定理2的证明,我们不妨设∫=lA,其中A∈[a,b并 且m(A)<+∞.由§23例3,对任意E>0,存在开集U,U是有限个开区间的并集,使 得m(dA-U)∪(-A)<E.显然我们可以设Uc(an,b),令g=LU,则g是阶梯函 数.并且 m(A-U)+m(U-a)<8121 F ⊂ U(0,r). 令 ( (0, )) , c B = G ∩U r 则 B 是闭集并且 F ∩ B = ∅. 由 3.3 引理 3, 存 在 n R 上的连续函数 g, 使得 = 1, F g = 0. B g 则 g 是 n R 上具有紧支集的连续函数. 注 意到0 ≤ g(x) ≤ 1, 我们有 ( ) . ( ) ( ) ≤ − < ε ≤ − + − = + − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − m G F m E A m A F g dx f dx f g dx f g dx f g dx E A A F E E A A 一般情形 , 由定理 1, 存 在 L(E) 中的简单函数 ϕ, 使 得 . 2 ε −ϕ < ∫E f dx 设 . 1 Ai k i i ∑a I = ϕ = 不妨设 ≠ 0, i a 则 ( ) < +∞, m Ai i = 1,L, k. 由上面所证的结果, 对每个 i = 1,L, k, 存在 n R 上具有紧支集的连续函数 ,i g 使得 . 2 i E A i k a I g dx i ε − < ∫ 令 , 1 ∑= = k i i i g a g 则 g 是 n R 上具有紧支集的连续函数. 我们得到 . 2 1 2 2 ε ε ε ε ϕ ϕ < + − < + = − = − + − ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ = k i E i A i E E E a I g dx f g dx f dx g dx i 设[a,b]是直线上的有界闭区间. 称型如 i J n i i f ∑a I = = 1 的函数为[a,b]上的阶梯函数, 其中 n J ,, J 1 为[a,b]的互不相交的子区间. 由于阶梯函数是有界可测函数, 因此每个阶梯 函数属于 L[a,b]. 定理 3 设 f ∈ L[a,b]. 则对任意 ε > 0, 存在[a,b] 上的一个阶梯函数 g , 使得 − < ε. ∫ b a f g dx 证明 设 f ∈ L(E). 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 , A f = I 其中 A ⊂ [a,b]并 且 m(A) < +∞. 由 2.3 例 3, 对任意ε > 0,存在开集U, U 是有限个开区间的并集, 使 得 m((A −U) ∪ (U − A)) < ε.. 显然我们可以设U ⊂ (a,b), 令 , U g = I 则 g 是阶梯函 数. 并且 ( ) ( ) . ( ) ( ) = − + − < ε − ≤ − ∫ ∫ − ∪ − m A U m U A f g dx I I dx A U U A A U b a