定理4设∫∈L(R)则对任意E>0,存在R上的一个具有紧支集的阶梯函数g, 使得-gr< 证明设∫∈L(R)类似于定理2的证明,我们不妨设∫=l4,其中m(A)<+ 令A=A⌒[-k,k]k=1,2,…则A个并且A=U4.于是1mm(4)=m(A)因 此对任意E>0,存在k使得m()-m(41)<5令g=1则∈-k,k]由定 理3存在k上的阶梯函数g,使得[p-k<,延拓g的定义使得g在 k,k]上为零则g是为R上的具有紧支集的阶梯函数我们得到 「m-gks[-o+「l-gr =m(4)-m(43)+1-gk<2+2=6 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子 例1( Riemann- Lebesgue引理)设∫∈L[a,b],则 lim f(x)cos ndx=0 lim f(x)sin ndx=0 证明先设∫=la,其中(a,B)c[a,b]则 f(x)cosnxdx=f(x)cosnxdx sinB-sina→0,n→∞ 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数∫,(1)式成立.现在设∫∈La,b对任意 E>0.由定理3存在一个阶梯函数g,使得∫-8<,由上面证明的结果存在 N>0,使得当n>N时,g(x) cos nrc<.于是当n>N时有 f(x)cosnxdxs(f(x)-g(x)cos nxdx+ g(x) cos nxd glar+<8 因此(1)成立类似地可以证明(2)成立 例2设厂是R”上的L可积函数,则122 定理 4 设 f ∈ ). 1 L(R 则对任意ε > 0, 存在 1 R 上的一个具有紧支集的阶梯函数 g, 使得 ∫ − < 1 . R f g dx ε 证明 设 f ∈ ). 1 L(R 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 , A f = I 其中 m(A) < +∞. 令 A = A ∩[−k, k], k = 1,2,L. k 则 Ak ↑ 并且 . 1 U ∞ = = k A Ak 于是 limm(A ) m(A). k k = →∞ 因 此对任意 ε > 0, 存在 0 k 使得 . 2 ( ) ( ) 0 ε m A − m Ak < 令 . 0 Ak ϕ = I 则ϕ ∈ L[−k, k]. 由定 理 3, 存在 [−k, k] 上的阶梯函数 g, 使得 . 2 ε ϕ − < ∫− k k g dx 延拓 g 的定义使得 g 在 c [−k, k] 上为零. 则 g 是为 1 R 上的具有紧支集的阶梯函数. 我们得到 . 2 2 ( ) ( ) 0 1 1 1 ε ε ε ϕ ϕ ϕ = − + − < + = − ≤ − + − ∫ ∫ ∫ ∫ − k k k m A m A g dx f g dx f dx g dx R R R 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子. 例 1 (Riemann-Lebesgue 引理)设 f ∈ L[a,b]. 则 lim ( ) cos = 0. ∫ →∞ b n a f x nxdx (1) lim ( )sin = 0. ∫ →∞ b n a f x nxdx (2) 证明 先设 (α,β ) f = I , 其中(α, β ) ⊂ [a,b]. 则 0, . sin sin ( ) cos ( ) cos → → ∞ − = = ∫ ∫ n n n n f x nxdx f x nxdx b a β α β α 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数 f , (1)式成立. 现在设 f ∈ L[a,b]. 对任意 ε > 0, 由定理 3, 存在一个阶梯函数 g , 使得 . 2 ε − < ∫ b a f g dx 由上面证明的结果, 存在 N > 0, 使得当 n > N 时, . 2 ( ) cos ε < ∫ b a g x nxdx 于是当 n > N 时有 .. 2 ( ) cos ( ( ) ( )) cos ( ) cos ε ε ≤ − + < ≤ − + ∫ ∫ ∫ ∫ b a b a b a b a f g dx f x nxdx f x g x nxdx g x nxdx 因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. 例 2 设 f 是 n R 上的 L 可积函数, 则