第四讲补充题解答 1.证明:一个n阶矩阵中0元素的数量大于n2-n,则该矩阵的行列式必为0 证:n阶方阵有n2个元素,若矩阵中0元素个数大于n2-n个,则非零元素的个数小于n个,根据 行列式定义可知:行列式表示成n!个项的和,其中每一项为矩阵中不同行、不同列的n个元素 的乘积,当矩阵中非零元素个数小于n时,任一项的n个元素中至少包含一个0元素,因此任 何项均为0,因此该矩阵的行列式必为0 2.设n阶矩阵A,B分别如下 a21 a11 36 a2nb-(n-2) b2 (n-3) [(a1b-)] ann 证明:det(A)=det(B) 证:设P为所有n阶排列构成的集合.由行列式定义,写出det(B) det(b)= (-1) 1-n)(a2 jj2…in∈p ∑(-1)0-)a1nay2…anb4+2+-+)0+++) j1j2…n∈P (-1)rn2-yn) a1i1a2…amin=det(A jj2…jn∈P 3.考察矩阵A∈RnXn的n(n≥3)阶行列式,证明:det(A)的n!项中若有负项目(元素的符号计 算在内,则当n=3时,负项个数必为奇数;当n>3时,负项个数必为偶数 证:n阶矩阵的行列式可表示为n!项之和,其中每一项为n个数的乘积,设这n!项为c1,e2,,cn, 将这些项的乘积记为M,即, M=Ⅱe=(-1)2(a112a1n…a2m…am)o-1) 当n=3时,M<0,若c1,c2,,c6中存在负项,则项数一定是奇数 当n>3时,M≥0,若c1,C2,,cn中存在负项,则项数一定是偶数 4.证明:以下的2013阶行列式不等于零 2012 20132 20122012201320 2014201220142012 2014201 2014第四讲补充题解答 1. 证明: 一个n 阶矩阵中 0 元素的数量大于 n 2 − n, 则该矩阵的行列式必为 0. 证: n 阶方阵有 n 2 个元素, 若矩阵中 0 元素个数大于 n 2 − n 个, 则非零元素的个数小于 n 个, 根据 行列式定义可知: 行列式表示成 n! 个项的和, 其中每一项为矩阵中不同行、不同列的 n 个元素 的乘积, 当矩阵中非零元素个数小于 n 时, 任一项的 n 个元素中至少包含一个 0 元素, 因此任 何项均为 0, 因此该矩阵的行列式必为 0. 2. 设 n 阶矩阵 A, B 分别如下: A =       a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann       , B =         a11 a12b −1 a13b −2 · · · a1nb −(n−1) a21b a22 a23b −1 · · · a2nb −(n−2) a31b 2 a32b a33 · · · a3nb −(n−3) . . . . . . . . . . . . an1b n−1 an2b n−2 an3b n−3 · · · ann         = ￾aij b i−j
证明: det (A) = det (B). 证: 设 P 为所有 n 阶排列构成的集合. 由行列式定义, 写出 det (B): det (B) = X j1j2···jn∈P (−1)τ(j1j2···jn)  a1j1 b 1−j1  a2j2 b 2−j2  · · ·  anjn b n−jn  = X j1j2···jn∈P (−1)τ(j1j2···jn) a1j1 a2j2 · · · anjn b (1+2+···+n)−(j1+j2+···+jn) = X j1j2···jn∈P (−1)τ(j1j2···jn) a1j1 a2j2 · · · anjn = det (A) 3. 考察矩阵 A ∈ R n×n 的 n(n ≥ 3) 阶行列式, 证明: det (A) 的 n! 项中若有负项目(元素的符号计 算在内), 则当 n = 3 时, 负项个数必为奇数; 当 n > 3 时, 负项个数必为偶数. 证: n 阶矩阵的行列式可表示为 n! 项之和, 其中每一项为 n 个数的乘积, 设这 n! 项为 c1, c2, . . . , cn! , 将这些项的乘积记为 M, 即, M = Yn! i=1 ci = (−1)n!/2 (a11a12 · · · a1n · · · a2n · · · ann) (n−1)! 当 n = 3 时, M ≤ 0, 若 c1, c2, . . . , c6 中存在负项, 则项数一定是奇数. 当 n > 3 时, M ≥ 0, 若 c1, c2, . . . , cn! 中存在负项, 则项数一定是偶数. 4. 证明: 以下的 2013 阶行列式不等于零.               1 2 · · · 2012 2013 2 2 3 2 . . . 20132 20142 . . . . . . . . . . . . . . . 20122012 20132013 . . . 20142012 20142012 20132013 20142013 · · · 20142013 20142013