证:该2013阶矩阵次对角元分别为:2013,20132,2013,,20132013,都是奇数,则该次对角元素 的乘积是奇数,它是该矩阵行列式中的其中一项,而行列式中其它各乘积项中至少包含该次对 角元右下侧重中的一个元素2014,它是偶数,对应的这些乘积项都是偶数,整个行列式是奇数 因此,该2013阶行列式一定不等于零 5.计算f(x+1)-f(x),其中 C00 0 0 0 0 0 0x3 f(r) 0 m+1 Cn+1 Cn+1 c C.是组合数,C 少分(人=1,2,,m+1:j=0,1,2, n-1;j<k) 解: 0 000 000 x+1 (x+1)3 f(x+1)-f(x) 2-1 0(x+1) Cm-1(x+1)n M+1 Cn+1 Cn+1 Cr +1 1(x+1)y+1 0 000 000 n+1 cn+ ci-I 1cn+1 0 0 +000 1 0(x+1)n-1-mn-1证: 该 2013 阶矩阵次对角元分别为: 2013, 20132 , 20133 , . . . , 20132013 , 都是奇数, 则该次对角元素 的乘积是奇数, 它是该矩阵行列式中的其中一项, 而行列式中其它各乘积项中至少包含该次对 角元右下侧重中的一个元素 2014j , 它是偶数, 对应的这些乘积项都是偶数, 整个行列式是奇数. 因此, 该 2013 阶行列式一定不等于零. 5. 计算 f(x + 1) − f(x), 其中 f(x) =                  C 0 1 0 0 0 · · · 0 x C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 x 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 x n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n x n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 x n+1                  C j k 是组合数, C j k = k! (k − j)!j! (k = 1, 2, . . . , n + 1; j = 0, 1, 2, . . . , n − 1; j < k). 解: f(x + 1) − f(x) =                  C 0 1 0 0 0 · · · 0 x + 1 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 (x + 1)2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 (x + 1)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 (x + 1)n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n (x + 1)n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 (x + 1)n+1                  −                  C 0 1 0 0 0 · · · 0 x C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 x 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 x n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n x n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 x n+1                  =                  C 0 1 0 0 0 · · · 0 1 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 (x + 1)2 − x 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 (x + 1)3 − x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 (x + 1)n−1 − x n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n (x + 1)n − x n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 (x + 1)n+1 − x n+1