00 1 Ca r2 C3 C3 0 2+1C2 0 0 0 n+1 n2+1C3 Cn+1 Cn+1a a1 a2 其中a1,a2,,an-1是互不相同的数,证明:f(x)是关于x的m-1次多项式,并求f(x)的根 证:将行列式按第一行展开,得 f(r A 其中,A1i为第一行中各元素对应的代数余子式(=1,2,,n),显然,A1与x无关,因此f(x) 是n-1阶的多项式 令x分别为a1,a2,,an-1,此时行列式中出现相同的两行,根据行列式性质,有f(a)=0 (=1,2,,n-1),说明a(=1,2, 1)是f(x)=0的根 7.求n阶行列式 11=                                 C 0 1 0 0 0 · · · 0 1 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 X 1 i=0 C i 2x i C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 X 2 i=0 C i 3x i . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 nX−2 i=0 C i n−1x i C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n nX−1 i=0 C i nx i C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 Xn i=0 C i n+1x i                                 ==================== Cn+1−(xi−1)∗Ci,(i=1,2,...,n)                  C 0 1 0 0 0 · · · 0 0 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 0 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 0 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n 0 C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 C n n+1x n                  = x n nY +1 i=1 C i−1 i 6. 设 f(x) =              1 x x2 · · · x n−1 1 a1 a 2 1 · · · a (n−1) 1 1 a2 a 2 2 · · · a (n−1) 2 . . . . . . . . . . . . 1 an−1 a 2 n−1 · · · a n−1 n−1              其中 a1, a2, . . . , an−1 是互不相同的数, 证明: f(x) 是关于 x 的 n − 1 次多项式, 并求 f(x) 的根. 证: 将行列式按第一行展开, 得 f(x) = Xn i=1 A1i 其中, A1i 为第一行中各元素对应的代数余子式(i = 1, 2, . . . , n), 显然, A1i 与 x 无关, 因此 f(x) 是n − 1阶的多项式. 令 x 分别为 a1, a2, . . . , an−1, 此时行列式中出现相同的两行, 根据行列式性质, 有 f(ai) = 0 (i = 1, 2, . . . , n − 1), 说明 ai(i = 1, 2, . . . , n − 1) 是 f(x) = 0 的根. 7. 求 n 阶行列式              1 −1 · · · −1 −1 1 1 . . . −1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 −1 1 1 · · · 1 1