的,但可以证明D是闭算子 实际上,若x,x∈X,|xn-q→0,x2一训→0,,即在ab上,x一致收敛于x,x 致收敛于y.由数学分析中求导与极限符号交换的定理 dx(o) d dx, (o) mx =Im 即Dx=y,所以D是闭算子 定理4(闭图像定理)设XY是 Banach空间,T:X→Y是线性算子,若T是闭算子, 则T连续 证明注意此时XxY是 Banach空间,G()是闭的,从而也是 Banach空间.定义 P:G(T)→X,(x,Tx)x,V(x,7x)∈G(T 则容易验证P是线性的、一一的和到上的.此外 P(x,Tx)|=1|≤kx,rx) 故|P≤1.根据逆算子定理,P1:X→G(),x→(x,Tx)有界,从而 xlx, Tx)=p+=|P脚 思考题 1、设是线性空间x上的两个完备范数,此时若任何x∈X,x一且→x时都 有x 则反过来当 时,必有 2、考察在[O,]上,以下三范数的等价性 l;(3)|=((1+2)xdy的，但可以证明 D 是闭算子. 实际上，若 x , x X , n ∈ x − x → 0, x '−y → 0 n n ，.即在[a,b] 上， n x 一致收敛于 x , ' n x 一 致收敛于 y . 由数学分析中求导与极限符号交换的定理 ( ). ( ) (lim ( )) lim ( ) y t dt dx t x t dt d dt dx t n n n n = = = →∞ →∞ 即 Dx = y ，所以 D 是闭算子. 定理 4 (闭图像定理) 设 X,Y 是 Banach 空间，T : X → Y 是线性算子， 若T 是闭算子， 则T 连续. 证 明 注意此时 X × Y 是 Banach 空间，G(T)是闭的，从而也是 Banach 空间. 定义 ), P :G(T) → X, (x,Tx) 6 x, ∀(x,Tx)∈G(T 则容易验证 P 是线性的、一一的和到上的. 此外 P(x,Tx) = x ≤ (x,Tx) , 故 P ≤1. 根据逆算子定理， : ( ), ( , ) 1 P X → G T x 6 x Tx − 有界，从而 ( , ) , . 1 1 Tx ≤ x Tx = P x ≤ P x ∀x∈ X − − 即 T P , T −1 ≤ 连续. 思考题 1、设 1 2 i i , 是线性空间 X 上的两个完备范数，此时若任何 1 , n n x ∈ Xx x →i 时都 有 2 n x → x i ，则反过来当 2 n x → x i 时，必有 1 n x → x i . 2、考察在 1 L [0,1]上，以下三范数的等价性： （1） 1 i ; （2） 2 i ; （3） 2 1 1 2 2 0 x = + ( (1 2 ) ( ) ) . t x t dt ∫