导数,从而关于这些变元满足 Lipschitz条件由 Picard定理,对于每个y∈C[0,n存在惟 的x∈Co"0,n使之满足Dx=y和初值条件.实际上这个存在和惟一性即说明T是到 上的和一一的.因此由逆算子定理T是连续算子.即Dnx=y的解随y而连续变动 现在让我们转到闭图像定理 定义2(1)设X,F是两个集合,考虑乘积 x×Y={(x,y)Vx∈x,y∈Y} 若T:X→Y是某个映射,则称集合 G(T)={(x,7x),x∈X 是T的图像.显然XxyY中的点(x,y)∈G(T)当且仅当y=7 (2)若X,Y是线性赋范空间,定义 kxy)=+|y(x,y)∈xxy 则得到XxY上的范数,Xxy也是线性赋范空间,此时XxY完备当且仅当X,Y都完备 若T:X→Y是线性算子,则va,B∈ a(x, Tx)+B(, Ty)=(a+ By, alx+ Bly)=(a+ By, T(a+ By)), 所以G(7)是X×y的线性子空间 称T:X→Y是闭算子(闭映射),若G()是X×yY中的闭集 定理3 (1)T:X→Y是闭算子当且仅当对于X中任一序列xn,若xn→x,Ixn→y,则 (2)连续算子是闭算子 证明1°若G()闭,xn∈X,x→>x,Txn→y,则 In, Tx, )-(x,y=, -x +Tx, -yl 这说明在G()中(xn,Txn)→(x,y),G()闭导致(x,y)∈G(T) 反之,若T:X→Y具有所说的性质,(xn,yn)∈G(T),(xn,yn)→(x,y),则 xn-刈+|xn-川=|xn,7xn)-(x,y)→0 于是xn→x,Tx→>y.由所说条件,y=Tx,即(x,y)∈G(m),G()闭 2°设7:X→y连续,若xn→>x,7xn→>y,由T的连续性知道xn→Tx,从而 y=Ix.由1°知G()是闭集,T是闭算子 例3考虑本章第1讲例4(2)中的空间C[0,1和算子D,我们已经知道D不是有界导数，从而关于这些变元满足 Lipschitz 条件. 由 Picard 定理，对于每个 y ∈ [0,1] C0 存在惟 一的 x ∈ [0,1] ( ) 0 n C 使之满足 D x y n = 和初值条件. 实际上这个存在和惟一性即说明T 是到 上的和一一的. 因此由逆算子定理 −1 T 是连续算子. 即 D x y n = 的解随 y 而连续变动. 现在让我们转到闭图像定理. 定义 2 (1) 设 X,Y 是两个集合，考虑乘积 X × Y = {(x, y); ∀x∈ X, y ∈Y}, 若T : X → Y 是某个映射，则称集合 G(T) = {(x,Tx),∀x∈ X} 是T 的图像. 显然 X × Y 中的点(x, y)∈G(T) 当且仅当 y = Tx. （2） 若 X,Y 是线性赋范空间，定义 ( x, y) = x + y , ∀(x, y)∈ X × Y 则得到 X × Y 上的范数， X × Y 也是线性赋范空间，此时 X × Y 完备当且仅当 X,Y 都完备. 若T : X → Y 是线性算子，则∀α, β ∈Φ, )), α(x,Tx) + β ( y,Ty) = (αx + βy,αTx + βTy) = (αx + βy, T(αx + βy 所以G(T)是 X × Y 的线性子空间. 称T : X → Y 是闭算子（闭映射），若G(T)是 X × Y 中的闭集. 定理 3 (1) T : X → Y 是闭算子当且仅当对于 X 中任一序列 n x ，若 x x,Tx y, n → n → 则 y = Tx . （2） 连续算子是闭算子. 证 明 1° 若G(T)闭， xn ∈ X ， , , n n x → → x Tx y 则 (x ,Tx ) − (x, y) = x − x + Tx − y → 0 n n n n 这说明在G(T)中(x , Tx ) (x, y) n n → ，G(T)闭导致(x, y)∈G(T) . 反之，若T : X → Y 具有所说的性质，(x , y ) G(T ), (x , y ) (x, y) n n ∈ n n → ，则 x − x + Tx − y = (x ,Tx ) − (x, y) → 0 n n n n , 于是 , n n x → → x Tx y . 由所说条件， y = Tx ，即(x, y)∈G(T) ，G(T)闭. 2° 设 T : X → Y 连续，若 , , n n x → → x Tx y 由 T 的连续性知道 Tx Tx, n → 从而 y = Tx ．由 1° 知G(T)是闭集，T 是闭算子. 例 3 考虑本章第 1 讲例 4(2)中的空间 [0,1] ~(1) C 和算子 D ，我们已经知道 D 不是有界