这里λ是某个常数,K(s,1)是0≤5,【≤1上的二元连续函数,φ∈C[0,]方程(5)还可以简 单地记为 (-M)x= 这里Ks)=[k(.1)x()t是从C01到C0,上的线性算子由本章第1讲例7可以求得 K的范数,并且当满足<1时,令F:q0.1→C0.,x=x+,则 卩x1-x2=AKx1-AKx2≤x-x2 所以V是压缩的.从而在C[O,1上有惟一不动点它即是方程(6)的解 这说明对于每个p∈CIO,1],算子方程(5)存在惟一连续解,从而线性算-是CT0,1 到CI0,1的一一映射.由于C[0,1是 Banish空间,定理2说明(l-AK)是有界的换句 话说的以CIO,中范数的微小变动,导致相应解x的变动也是很小的 例2考虑高阶微分方程的初值问题: d"x() (1)x(1)=y(D) 其中a1(1),…,an()∈C[0,n].记方程的左端为Dnx,则D,是C"0,1]到C[O,1]的线性算子 我们将证明算子方程Dnx=y关于y∈CI0,1具有连续依赖性 根据初值条件,我们具体地考虑算子 T: Co 10, 1>C010, 1, xHD.x, 这里C",1是具有n阶连续导数并且满足x°(0)=0,0≤i≤n-1的函数全体.对于空间 C0[0,1应用第一章第3讲例7中的范数,容易验证它是完备的线性赋范空间 首先T是有界的,不妨设mxma(O)≤M,则 ≤max{∑maxx) =max(M,1r 后者即是x在C[0,1中的范数,n是固定的,故T有界 其次,若将方程改写为 的形式,显然④不仅关于各变元是连续的,而且除t之外,φ关于各变元具有有界的一阶这里λ 是某个常数， K(s,t) 是 0 ≤ s,t ≤1上的二元连续函数，ϕ ∈C[0,1]. 方程(5)还可以简 单地记为 (I − λK)x = ϕ ， (6) 这里 ∫ = 1 0 Kx(s) K(s,t)x(t)dt 是从C[0,1] 到C[0,1] 上的线性算子. 由本章第 1 讲例 7 可以求得 K 的范数，并且当λ 满足 λ K <1 时，令 V : C[0,1] → C[0,1] ，Vx = λKx + ϕ, 则 1 2 1 2 1 2 Vx −Vx = λKx − λKx ≤ λ K x − x 所以 V 是压缩的. 从而在C[0,1] 上有惟一不动点. 它即是方程(6)的解. 这说明对于每个ϕ ∈ C[0,1] ，算子方程(5)存在惟一连续解，从而线性算 I − λK 是C[0,1] 到C[0,1] 的一一映射. 由于C[0,1] 是 Banish 空间，定理 2 说明 1 ( ) − I − λK 是有界的. 换句 话说ϕ 的以C[0,1] 中范数的微小变动，导致相应解 x 的变动也是很小的. 例 2 考虑高阶微分方程的初值问题： (0) 0, 0 1 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = ≤ ≤ − + + + = − − x i n a t x t y t dt d x t a t dt d x t i n n n n n " (7) 其中 ( ), , ( ) [0,1] a1 t " an t ∈C ．记方程的左端为 D x, n 则 Dn 是 [0,1] (n) C 到C[0,1] 的线性算子. 我们将证明算子方程 D x y n = 关于 y ∈ C[0,1] 具有连续依赖性. 根据初值条件，我们具体地考虑算子 T : [0,1] ( ) 0 n C → [0,1] C0 ， x D x, 6 n 这里 [0,1] ( ) 0 n C 是具有 n 阶连续导数并且满足 (0) 0, 0 1 ( ) x = ≤ i ≤ n − i 的函数全体. 对于空间 [0,1] ( ) 0 n C 应用第一章第 3 讲例 7 中的范数，容易验证它是完备的线性赋范空间. 首先 T 是有界的，不妨设 ai t M i n t ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ max max ( ) 0 0 1 , 则 max{ ,1} . max{ ,1} max ( ) max ( ) 9 1 0 1 M x M x t Tx D x t i t n t = ≤ = ∑ ≤ ≤ ≤ ≤ （8） 后者即是 x 在 [0,1] (n) C 中的范数，n 是固定的，故T 有界. 其次，若将方程改写为 ( , ', , ) ( ) ( −1) = n n x Φ t x " x （9） 的形式，显然Φ 不仅关于各变元是连续的，而且除 t 之外，Φ 关于各变元具有有界的一阶