X完备,故存在x=lm∑x并且||≤∑|<r,即x∈O2(0,r)=U.T连续,故 y=limT(∑x)=7(x0) 这说明(3)成立。由引理1,T是开算子 3°记V=O(0,-),像1°中证明的一样,这里有Y=∪m,于是 T(X=UnT(OsUn=y 是到上的 由于完备度量空间是第二纲集,故最后的结论是明显的 定理2(逆算子定理)设X是 Banach空间,Y是线性赋范空间,T:X→Y是 界线性算子.若T(X)是y中的第二纲集,则T是定义在全空间Y上的有界线性算子 此时Y是 Banach空间 特别地,从 Banach空间到 Banach空间上的有界线性算子若是可逆的,则逆算子是有 界的 证明若T是 T-存在,根据开映射定理,T是到上的开映射,这说明T是 有界的.因此T是X,Y之间的同构.第一章第7讲定理2说明Y是 Banach空间 推论1设X,Y是 Banach空间,T:X→Y是一一的到上的有界线性算子,则存在 正数a,b>0使得 ds|x≤x∈x 推论2假设线性空间x上有两个范数|,|l2,并且在两个范数之下x都成为 Banach 空间,若存在a>0使得叫2≤1,vx∈x,则(4)成立 证明为不致混淆,记x1=(X,|),x2=(x,|l2).考虑恒等映射/:X1→X2,由 所设条件,|叫2≤,因此/是一一的到上的有界线性算子由定理2,P有界,从而 卩,s|4,即≤2 这一结论表明,如果两个范数都使X成为 Banach空间,只要两个范数是可比较的,则 它们一定是彼此等价的.这一点与第一章第7讲中有限维空间的情况形成对照 下面两例是开映射和逆算子定理在积分方程、微分方程适定问题上的应用 例1考虑第一型 Fredholm积分方程 x(s)=2LK(s, ix()dt+p(s) (5)X 完备，故存在 ∑= →∞ = n i i n o x x 1 lim 并且 , 1 0 x x r i ≤ ∑ i < ∞ = 即 (0, ) . x0 ∈OX r = U T 连续，故 lim ( ). ( ). 0 1 0 y T x T x n i i n = ∑ = = →∞ 这说明（3）成立. 由引理 1，T 是开算子． 3 D 记 ), 2 (0, rδ V = OY 像 1 D 中证明的一样，这里有Y nV n ∞ = = ∪1 ，于是 = ∪ ⊃ ∞ = ( ) ( ) 1 T X nT U n . 1 nV Y n ∪ = ∞ = T 是到上的. 由于完备度量空间是第二纲集，故最后的结论是明显的. 定理 2 (逆算子定理) 设 X 是 Banach 空间，Y 是线性赋范空间，T : X → Y 是一一的有 界线性算子. 若 ) T(X 是 Y 中的第二纲集， 则 −1 T 是定义在全空间 Y 上的有界线性算子. 此时Y 是 Banach 空间. 特别地， 从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子若是可逆的，则逆算子是有 界的. 证 明 若T 是一一的， −1 T 存在，根据开映射定理，T 是到上的开映射, 这说明 −1 T 是 有界的. 因此T 是 X ，Y 之间的同构. 第一章第 7 讲定理 2 说明Y 是 Banach 空间. 推论 1 设 X ，Y 是 Banach 空间， T : X → Y 是一一的到上的有界线性算子，则存在 正数 a,b ＞0 使得 a x ≤ Tx ≤ b x , ∀x∈ X （4） 推论 2 假设线性空间 X 上有两个范数 1 2 • , • ，并且在两个范数之下 X 都成为 Banach 空间，若存在 a ＞0 使得 , , 2 1 x ≤ a x ∀x ∈ X 则（4）成立。 证 明 为不致混淆，记 ( , ), 1 1 X = X • ( , ) 2 2 X = X • ．考虑恒等映射 1 2 I : X → X ，由 所设条件， 2 1 Ix ≤ a x ，因此 I 是一一的到上的有界线性算子. 由定理 2， −1 I 有界，从而 2 1 1 1 I x I x − − ≤ ， 即 . 1 2 x ≤ b x 这一结论表明，如果两个范数都使 X 成为 Banach 空间，只要两个范数是可比较的，则 它们一定是彼此等价的. 这一点与第一章第 7 讲中有限维空间的情况形成对照. 下面两例是开映射和逆算子定理在积分方程、微分方程适定问题上的应用. 例 1 考虑第一型 Fredholm 积分方程 ∫ = + 1 0 x(s) λ K(s,t)x(t)dt ϕ(s), (5)