323R方法 第8页 8323 Rayleigh-Ritz方法 ·变分法在物理学中的应用,可以分为两个主要的方面 种应用是作为基本物理规律的表述语言 可以用 Hamilton原理或其他类似的语言描述力学系统(质点、质点组…)的运动 可以用 Fermat原理描述光线在介质中的传播,包括在界面上的反射和折射, 也可以用变分的语言描述电磁场乃至微观粒子的运动,等等 在物理学的这些分支中,支配物质运动的各种特定形式的基本规律,无一例外地都可以表述 为各自的泛函极值问题 变分法的这种应用,具有重要的理论意义.它可以使我们更统一地了解物质世界的运动,可 以使我们更方便地从已知的物理领域向新的领域扩展 ·变分法的第二种应用则是体现出它的实用价值:它为求解具体的物理问题提供了一种新的灵 活手段 尽管我们平时仍然是习惯于使用微分方程去描写这些物理问题,但毕竞只有少数的问题才能 精确求解,在多数的实际问题中往往只能得到近似解.在变分法的基础上,就建立了很实用 的近似解法 假设有一个一般的本征值问题 LX= XpX a1X(a)+1X'(a)=0 a2X(b)+B2X(b)=0 求解的步骤总是先写出(含有待定参数的)常微分方程的通解,然后代入边界条件,定出本征值和 本征函数.有两种可能:一种可能是常微分方程很容易求解;另一种可能是还需要用常微分方程 级数解法,才能求出常微分方程的解.一般说来,除了少数已经熟悉的函数外,很难指望能得到 本征值的准确表达式.即使像 X"(x)+λX(x)=0 这样最简单的方程,有熟知的两个线性无关解 sinAR和cos√x,在一般的第三类边界条件下, 也无法写出本征值的显明表达式.那么,对于一般的本征值问题,这里的困难就可想而知了.变 分法就为我们提供了求解本征值的近似方法 ·用 Rayleigh-Ritz方法近似求解本征值问题的基本思路是:Wu Chong-shi §32.3 Rayleigh–Ritz ➨✞ ☛ 8 ☞ §32.3 Rayleigh–Ritz ❫Ó • ➷⑥✌●Ô ❡Õ ❲ ✭ ò➤✶❅ ❃ ⑥✿➹❛Ö✺✭ê❢ ✲ • ✧❞ò➤✽✦✿×✒ Ô ❡ØÙ✭♥❨ÚÛ✲ – ❅ ❃➤ Hamilton ▼ ❡Ü➥Ý❊Þ✭ ÚÛ☞❨ß Õàá (â ❰ìâ ❰✣ · · · · · ·) ✭ãä✶ – ❅ ❃➤ Fermat ▼ ❡ ☞❨å ✠ ●æâ ❲ ✭çè✶éê●è❢❖✭ëì➪í ì ✶ – ①❅❃➤➷⑥✭ÚÛ☞❨ îïðñt ⑤òó➺ ✭ãä✶ ➮➮✲ ●Ô ❡Õ✭❑✲⑥ô ❲✶ôõÔâãä✭ö❞❐➻✇♣✭×✒ØÙ✶✧ ✧➯÷ø✬❅ ❃ ♥ ❨ ✿ö ➎ ✭æ✫✮✯✰✱✲ ➷⑥✌ ✭❑❞ò➤✶ù ✴ú ✺✭❡✫ ❁ ➼✲ ✷ ❅ ❃ ✴ûü➥ á✧ø✛◗ Ôâýè ✭ãä✶ ❅ ❃ ✴ûü➥ êþø⑦ ÿ❧✭Ô ❡￾✁ ✂➽✭￾✁✄☎✲ • ➷⑥✌ ✭✙ ✵ ❞ ò➤◆✽✆å❘ ✷ ✭ ➢➤➱✯➀ ✷ ✿❏◗ù✆✭ Ô ❡✰✱✝✞✛✧❞➽✭✟ ✠✡☛✲ ☞✌ûü✍▲➚ ❙ ✽✎✏❵ ✴ ➤ ⑤⑥êë❱☞❆ ❑✲ Ô ❡✰✱✶ ✑✒✓r ✴✔ ✬✭✰✱✕② ✖✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧ ★✩✩✪✫✬✭✮✯✙✰✛✱✲✳✣✴✵✶✚✷✸✹✺✻✤✼ ✣✮✯✙✳✰ ✽✾✿❀❁❀❂✣❃❄❅✦✧ LX = λρX, α1X(a) + β1X0 (a) = 0, α2X(b) + β2X 0 (b) = 0. ✘✙✣❆❇❈❉❊❋● (❍ ✿■❏❑✢✣) ▲▼✲◆❖✣P✙✚◗❘❙❚❯❱❲❳✚❏●❃❄❅❨ ❃❄❩✢✰✿❬❭❪✫❫❀❭❪✫❉▲▼✲◆❖✻❴❵✘✙❛❜❀❭❪✫❉❝❞❡✼▲▼✲◆❖ ❢✢✙✳✚❣✫✘● ▲▼✲◆❖✣✙✰❀❂❤✐✚❥✺❦✢ ❧♠♥♦✣❩✢♣✚✻qrs✫✬✭ ❃❄❅✣t✗✉✈✇✰①②③ X00(x) + λX(x) = 0 ④⑤⑥⑦⑧✣◆❖✚✿♥⑨✣❬❁⑩❶❷❸✙ sin√ λx ❨ cos√ λx ✚✛❀❂✣❹❺❻❯❱❲❳❼✚ ❽❷✳❋●❃❄❅✣❾ ❿✉✈✇✰➀➁✚➂➃❀❂✣❃❄❅✦✧✚④➄✣➅q✷❪➆➇⑨✺✰✱ ✲✳✷➈➉➊➋➌✺✘✙❃❄❅✣✮✯◆✳✰ • ✼ Rayleigh–Ritz ◆✳✮✯✘✙❃❄❅✦✧✣✴❃➍➎❉❫