章变分法初步(续) 第9页 首先把本征值问题转化为泛函的条件极值问题, 然后在一定的函数空间中求解,因而把问题又转化函数的条件极值问题 ·只要选择的函数空间(对于此本征值问题)是完备的,原则上总可以足够精确地逼近本征值的 精确值 从实用的角度看,就是要选择一个“好”的函数空间(实际上是一个函数序列,一方面便于 计算,一方面又能够足够快地、足够精确地求得本征值的近似值 这就要求函数序列具有本征函数所要求的主要基本特征,要求我们事先从物理上和数学上对 于本征函数的性质作出准确的判断 例32.5求本征值问题 正(2a)+()=0 v(O)有界,y(1)=0 的最小本征值 解这个本征值问题在321节的例321中已经讨论过.当时讨论的是泛函 在边界条件 y(0)有界,y(1)=0 和约束条件 下的条件极值问题,它的 Euler- Lagrange方程就是 1 d/ dy +y(x)=0 现在用 Rayleigh-Ritz方法来近似求解这个泛函的条件极值问题. 事先,我们对于本征函数的了解是,它除了必须满足边界条件之外,还应该具有奇偶性(为什 么?).因此,可用多项式序列 (x)=a1(1-x2)+a2(1-x2) 去通近本征函数.首先取近似的本征函数y2(x),即在上式中取前两项,代入泛函及约束条件,得 I y2 ry2dr=a2+0102+3Wu Chong-shi ➏➐➑➒➓ ➔→➣↔↕ (➙) ➛ 9 ➜ – ➝ ❊➞❃❄❅✦✧➟➠➈➡❩✣❲❳➢❅✦✧✚ – ◗❘✛❀❏✣❩✢➤➥ ★✘✙✚➦➇➞✦✧➧➟➠❩✢✣❲❳➢❅✦✧✰ • ✪❡➨➩✣❩✢➤➥ (➂➃➫❃❄❅✦✧) ❉➭➯✣✚➲➳✶❈❪➵➸➺➻✗➼➽✮❃❄❅✣ ➻✗❅✰ • ➾ ✤✼✣➚➪➶✚✷❉❡➨➩❀❁ ➹➘➴✣❩✢➤➥ (✤✥✶❉❀❁❩✢➷➬) ✚❀◆➮➱➃ ✃❐✚❀◆➮➧✫➺➸➺❒➼❮➸➺➻✗➼✘✬❃❄❅✣✮✯❅✰ • ④✷❡✘❩✢➷➬❰✿❃❄❩✢Ï❡✘✣Ð❡✴❃Ñ❄✚❡✘➉➊Ò❊ ➾ÓÔ✶❨✢Õ✶➂ ➃❃❄❩✢✣❶Ö×●t✗✣ØÙ✰ Ú 32.5 ✘❃❄❅✦✧ 1 x d dx  x dy dx  + λy(x) = 0, y(0) ✿❱ , y(1) = 0 ✣⑥Û❃❄❅✰ Ü ④❁❃❄❅✦✧✛ 32.1 Ý ✣Þ 32.1 ★❧♠ßàá✰âãßà✣❉➡❩ I[y] = Z 1 0 x y02 dx ✛❯❱❲❳ y(0) ✿❱ , y(1) = 0 ❨äå❲❳ I1[y] ≡ Z 1 0 x y2 dx = 1 ❼✣❲❳➢❅✦✧✚æ✣ Euler–Lagrange ◆❖✷❉ 1 x d dx  x dy dx  + λy(x) = 0. ç✛✼ Rayleigh–Ritz ◆✳✐✮✯✘✙④❁➡❩✣❲❳➢❅✦✧✰ Ò❊✚➉➊➂➃❃❄❩✢✣✺✙❉✚æ❥✺èéê➸❯❱❲❳ë♣✚❝ìí❰✿îï❶ (➈ð ➁ ñ ) ✰➦➫✚❪✼✜ò✇➷➬ yn(x) = α1 ￾ 1 − x 2
+ α2 ￾ 1 − x 2
2 + α3 ￾ 1 − x 2
3 + · · · + αn ￾ 1 − x 2
n , n = 1, 2, 3, · · · ó➽✮❃❄❩✢✰ ➝ ❊ô✮✯✣❃❄❩✢ y2(x) ✚①✛✶✇ ★ôõ❬ò✚❙❚➡❩öäå❲❳✚✬ I[y2] = Z 1 0 x y0 2 2 dx = α 2 1 + 4 3 α1α2 + 2 3 α 2 2