f(x)≥f()+f()( 对上述不等式两边从0到a积分,由于(x-2=0,就得到 24.设函数f(x)在[01上二阶可导,且f"(x)≤0,x∈[o1,证明: f(x2)dx≤ 证将(x)在x=1展开成1阶的Tyor公式,有 f(x)=f()+f()(x--)+f"(5)x--)2,(0<5<1)。 由∫"(x)≤0,得到∫(x)≤f(1)+f(4×x-),x∈[o1,再用x2替换x 即得到 ∫(x2)≤f()+∫(=)(x2-) 对上述不等式两边从0到1积分,由于〔(x-3=0,就得到 25.设f(x)为02]上的单调减少函数,证明:对任何正整数n成立 f(x) sin ndx≥0。 证"fx) ) sin nxr=∑pf( Jas-iz /(x)sin ndx 在[21(xmn与上21()mnx中,分别令x=2kx+与 x=(2k+)z+,得到 f(x)sinner=J. 2k丌+t 2k+i) f(x)sin nxrdx-I (2k+1)x+t 由于f(x)在[0,2上单调减少,sint在[0,x上非负,所以) 2 )( 2 ) ( 2 ( ) ( a x a f a f x ≥ f + ′ − 。 对上述不等式两边从0到a积分，由于 ) 0 2 ( 0 − = ∫ a dx a x ，就得到 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ ∫ 2 ( ) 0 a f x dx af a 。 24. 设函数 f (x)在[0,1]上二阶可导，且 f ′′(x) ≤ 0 ， x ∈[0,1] , 证明： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∫ 3 1 ( ) 1 0 2 f x dx f 。 证 将 f x( )在 3 1 x = 展开成 1 阶的 Taylor 公式，有 2 ) 3 1 ( )( 2 1 ) 3 1 )( 3 1 ) ( 3 1 f (x) = f ( + f ′ x − + f ′′ ξ x − ，(0 < ξ < 1)。 由 f ′′(x) ≤ 0 ，得到 ) 3 1 )( 3 1 ) ( 3 1 f (x) ≤ f ( + f ′ x − ， x ∈[0,1]，再用 替换 ， 即得到 2 x x ) 3 1 )( 3 1 ) ( 3 1 ( ) ( 2 2 f x ≤ f + f ′ x − 。 对上述不等式两边从0到1积分，由于 ) 0 3 1 ( 1 0 2 − = ∫ x dx ，就得到 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∫ 3 1 ( ) 1 0 2 f x dx f 。 25．设 f x( )为[0,2π ]上的单调减少函数, 证明：对任何正整数n成立 ( )sin 0 2 0 ≥ ∫ f x nxdx π 。 证 ∫ ∑ ∫ ∫ − = + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + π π π π π 2 0 1 0 (2 1) 2 (2 2) (2 1) ( )sin ( )sin ( )sin n k n k n k n k n k f x nxdx f x nxdx f x nxdx ， 在 (2 1) 2 ( )sin k n k n f x nxd π π + ∫ x与 (2 2) (2 1) ( )sin k n k n f x nxd π π + ∫ + x中，分别令 2k x n π + t = 与 (2k 1) x n + π + t = ，得到 ∫ ∫ + + = n k n k tdt n k t f n f x nxdx π π π π (2 1) 2 0 )sin 2 ( 1 ( )sin ， (2 2) (2 1) 0 1 (2 1) ( )sin ( )sin k n k n k t f x nxdx f td n n π π π π + + + + = − ∫ ∫ t 。 由于 f (x)在[0,2π ]上单调减少，sin t 在[0, π ]上非负，所以 229