21.设∫(x)在a,b上连续。证明 max|f(x)k≤ f(x)dx+l'(x)ldx a≤x≤b 证由于f(x)在[ab上连续,可设|(5)=maxf(x)5∈[ab]及 (m=mi/(x),n∈b。于是 m/)m/(=(5-((5-()=()r(a。 另一方面,由积分中值定理,∈[ab,使5b-af(x)dt, 于是 min/(x) s (s)=b-al r(x)dr 所以 maxl/( 22.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,证明 f /(ay(xr=u)du =r r rex)dafu 证利用分部积分法, 注:本题也可令F(x)=/(Xx-n)h(xd,证明F(x)=0 23.设f(x)在[,a上二阶可导(a>0),且f(x)≥0,证明: ∫(x)dhx≥af 证将f(x)在x=展开成1阶的 Taylor公式,有 f(x)=f()+f()(x-2)+f"(5)x-)2,(0<5<a) 由f(x)≥0,得到21．设 f ′(x)在[a,b]上连续。证明 ∫ ∫ + ′ − ≤ ≤ ≤ b a b a x b a f x dx f x dx b a f x ( ) | ( ) | 1 max | ( ) | 。 证 由于 f (x)在[a,b]上连续，可设 f ( ) max f (x), [a,b] a x b = ∈ ≤ ≤ ξ ξ 及 f ( ) min f (x) a≤x≤b η = ，η ∈[a,b]。于是 max f (x) min f (x) f (ξ ) f (η) a x b a x b − = − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ f (ξ ) − f (η) = ∫ ≤ ∫ b a f '(x)dx f '(x) dx ξ η 。 另一方面，由积分中值定理，∃ς ∈[a,b]，使 ∫ − = b a f x dx b a f ( ) 1 (ς ) ， 于是 min f (x) f (ς ) a x b ≤ ≤ ≤ ∫ − = b a f x dx b a ( ) 1 。 所以 = ≤ ≤ max f (x) a x b + ≤ ≤ min f (x) a x b (max f (x) min f (x)) a≤x≤b a≤x≤b − ∫ ∫ + ′ − ≤ b a b a f x dx f x dx b a ( ) | ( ) | 1 。 22．设 f x( )在(−∞,+∞) 上连续，证明 f u x u du x ( )( − ) ∫0 = ∫ ∫{ } x u f x dx du 0 0 ( ) 。 证 利用分部积分法， { } = ∫ ∫ x u f x dx du 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) u x x u f x dx − uf u du ∫ ∫ = f u x u du。 x ( )( − ) ∫0 注：本题也可令 0 ( ) ( )( ) x F x = − f u x u du ∫ 0 0 { ( ) } x u − f x dx du ∫ ∫ ，证明F x '( ) ≡ 0。 23. 设 f x( )在[0, a]上二阶可导（a > 0），且 f ′′(x) ≥ 0 ，证明： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ ∫ 2 ( ) 0 a f x dx af a 。 证 将 f x( )在 2 a x = 展开成 1 阶的 Taylor 公式，有 2 ) 2 ( )( 2 1 ) 2 )( 2 ) ( 2 ( ) ( a f x a x a f a f x = f + ′ − + ′′ ξ − ，(0 < ξ < a)。 由 f ′′(x) ≥ 0 ，得到 228