解设nz<x≤(m+1)z,n为正整数,则→z(x→+∞)。由于 f lcos xAdr=nl lcos dx=2n,oscos ]c 可知 所以 S(x)2 19.设f(x)在(0+∞)上连续,且对于任何a>0有 g(x)=/(o=常数,x∈(0+∞) 证明:f(x)=,x∈(,+∞),其中c为常数。 证在g(x)=J(t两边关于x求导,得到 g(x)=qf(ax)-f(x)=0。 取x=1,则f(a)=/(,此式对任何a>0都成立。记c=f),就得到 C f(x)=-,x∈(0,+∞) 20.设f(x)在(0.+∞)上连续,证明 dx=(n 2 dx o 2 x 证令1=4,则x=4d= d,于是 2x +2(n4-n),4 x, 2 In4-In x dx 所以 2In解 设nπ < x ≤ (n +1)π ，n为正整数，则 → (x → +∞) n x π 。由于 x dx n x dx n n cos cos 2 0 0 = = ∫ ∫ π π ， π π ≤ ≤ ∫ x n 0 cos x dx ， 可知 x n x S x x n + π ≤ ≤ 2 ( ) 2 ， 所以 π ( ) 2 lim = →+∞ x S x x 。 19. 设 f (x)在(0,+∞)上连续，且对于任何a > 0有 = ≡ ∫ ax x g(x) f (t)dt 常数， x ∈ (0,+∞) 。 证明： x c f (x) = ， x ∈ (0,+∞) ，其中c为常数。 证 在 两边关于 求导，得到 ∫ = ax x g(x) f (t)dt x g′(x) = af (ax) − f (x) ≡ 0。 取 x = 1，则 a f f a (1) ( ) = ，此式对任何a > 0都成立。记c = f (1) ，就得到 x c f (x) = ， x ∈ (0,+∞) 。 20. 设 f x( )在(0,+∞)上连续，证明 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 4 1 4 1 2 1 2 (ln 2) 2 ln 2 dx x x x dx f x x x x f 。 证 令 x t 4 = ，则 dt t dx t x 2 4 , 4 = = − ，于是 ∫ ∫ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 4 2 4 1 ) 4 ( 4 2 (ln 4 ln ) 2 2 ln 2 dt t t t t t dx f x x x x f ∫ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 4 1 2 ln 4 ln 2 dx x x x x f ， 所以 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 4 1 4 1 2 1 2 (ln 2) 2 ln 2 dx x x x dx f x x x x f 。 227