(2x-)d=,(2x-)(odh 于是 2xA-f()du uf(udu=arctan(x") 两边求导,得到 f(u)d+4x(f(2x)-f(2x-1)-2(2xf(2x)-(2x-1)f(2x-1)= 1+x 将x=1,f(1)=1代入上式,得到 f(r)drs 17.求[x| sin x d,其中n为正整数 解首先有 k+1)x x sin x dx xsin xdx= (4k +l)I, 2Ar xsin xdx=(4k-l)T o 当n=2m时 x sin x dx k+1) dx (2k+1)x =∑[4k+1)+(4k+3)x]=4m2x 当n=2m+1时, x sin x dx ∑(Cm“*m+m)+Cm" nisin xlax 4mx+(4m+1)r=(2m+1)x 所以 x sinx dx=nT 18.设函数S(x)=「cos{h,求lmS(x)∫ ∫ − − = − − 2 1 2 1 0 (2 ) (2 ) ( ) x x tf x t dt x u f u du ， 于是 arctan( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 x f u du uf u du x x x x x − = ∫ − ∫ − ， 两边求导，得到 4 2 2 1 1 2 ( ) 4 ( (2 ) (2 1)) 2(2 (2 ) (2 1) (2 1)) x x f u du x f x f x xf x x f x x x + + − − − − − − = ∫ − ， 将 x = 1, f (1) = 1代入上式，得到 4 5 ( ) 2 1 = ∫ f x dx 。 17. 求∫ ，其中 为正整数。 nπ x x dx 0 |sin | n 解 首先有 π π π π π |sin | sin (4 1) (2 1) 2 (2 1) 2 = = + ∫ ∫ + + x x dx x xdx k k k k k ， π π π π π sin sin (4 1) 2 (2 1) 2 )2 1) = − = − ∫ − ∫ − x x dx x xdx k k k k k 。 当n = 2m时， ∫ ∑ ∫ ∫ − = + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 1 0 2( 1) (2 1) (2 1) 0 2 |sin | sin sin m k k k k k n x x dx x x dx x x dx π π π π π π π ； 2 1 0 [(4k 1) (4k 3) ] 4m m k = ∑ + + + = − = 当n = 2m +1时， ∫ ∑ ∫ ∫ − = + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 1 0 2( 1) (2 1) (2 1) 0 2 |sin | sin sin m k k k k k n x x dx x x dx x x dx π π π π π ∫ + + π π (2 1) 2 sin m m x x dx π π π 2 2 = 4m + (4m +1) = (2m +1) 。 所以 π π 2 0 x |sin x | dx n n = ∫ 。 18. 设函数 = ∫ , 求 x S x t dt 0 ( ) | cos | x S x x ( ) lim →+∞ 。 226