x≥0, 13.设f(x)= 计算 X< 解令t 则 I=f(odr=.f(odt f(odt= dt+ te-dt -r dt2=In (1-e-) 14.设函数/(x)=2(x-38(,其中函数g(x)在(+2)上连续,且 g()=5,s(=2,证明f(x)=xJ,8(Mh-e()m,并计算f)和 f"(1)。 解()=2C(-2+1802g80-g+Ceo 等式两边求导,得到 f(x)=x8(M+2x2g()-(2(0+x28(x)+2x28(x) 再求导,得到f(x)=[g(Mt,f"(x)=g(x),所以 f∫"()=2,∫"(1)=5。 15.设(0+)上的连续函数f(x)满足f(x)=lx-fx),求∫f(x)tk 解记∫f(x)dr=a,则f(x)=hnx-a,于是 a=f(x)dx= In xdx-a(e-1) 所以 dx=-(xIn 16·设函数/()连续,且C0(2x-0)h=mcn(x),/(D=1求∫(x)。 解在[(2 中,令 则 2513．设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < + ≥ = − , 0. 1 1 , 0, ( ) 2 x e xe x f x x x 计算 = ∫ − 。 4 1 I f (x 2)dx 解 令t x = − 2，则 2 0 2 0 2 2 1 1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 t t I f t dt f t dt f t dt dt te dt e − − − − = = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 2 2 2 4 1 0 ( 1) 1 1 1 ln (1 ) 1 2 2 2 t t t d e e e dt e e − − − − − + + = − + = + − + ∫ ∫ 。 14．设函数 ∫ = − x f x x t g t dt 0 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ，其中函数 g(x)在(−∞,+∞) 上连续，且 ， ，证明 ，并计算 和 。 g(1) = 5 ( ) 2 1 0 = ∫ g t dt ∫ ∫ ′ = − x x f x x g t dt tg t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) f ′′(1) f ′′′(1) 解 ∫ ∫ ∫ ∫ = − + = − + x x x x f x x xt t g t dt x g t dt x tg t dt t g t dt 0 2 0 0 2 0 2 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( 2 ) ( ) 2 1 ( ) ， 等式两边求导，得到 ( ) 2 1 ( ) ( ( ) ( )) 2 1 ( ) ( ) 2 2 0 2 0 f x x g t dt x g x tg t dt x g x x g x x x ′ = + − + + ∫ ∫ 。 ∫ ∫ = − x x x g t dt tg t dt 0 0 ( ) ( ) 再求导，得到 ( ) ( ) , ( ) ( )，所以 0 f x g t dt f x g x x ′′ = ′′′ = ∫ f ′′(1) = 2 ， f ′′′(1) = 5。 15．设(0,+∞)上的连续函数 f (x)满足 = − ∫ ，求 。 e f x x f x dx 1 ( ) ln ( ) ∫ e f x dx 1 ( ) 解 记 f x dx a，则 e = ∫1 ( ) f (x) = ln x − a，于是 1 1 ( ) ln ( 1) e e a f = = x dx xdx − a e ∫ ∫ − ， 所以 ( ) e x x x e xdx e a e e 1 ln 1 ln 1 1 1 = = − = ∫ 。 16. 设函数 f (x)连续，且 arctan( ) 2 1 (2 ) 2 1 0 tf x − t dt = x ∫ ，f (1) = 1。求∫ 。 2 1 f (x)dx 解 在∫ − 中，令 1 0 tf (2x t)dt u = 2x − t ，则 225