(3)「x|x-a|dx (4 oIe"Jo 解(1)x图hk=∫x2+2x+x+xh+xh=28 (2)gVx-x)d=「+∫(-)d=0。 (3)当a≤0时 xlx-aldx=x(x-a)dx 当0<a<1时 noxlx-aldx=J x(a-x)dx+(x-adr=a-a 当a≥1时 Ix-aldx=L x(a-x)ds 23 (4)∫2ckk=m+「m2+m,3+m4 bdr 7dx =14-n(7!)。 12.设f(x)在[a,b上可积且关于x=T对称,这里a<T<b。则 f(x)dx=f(x)dx+2 并给出它的几何解释。 证∫f(x)=∫”(x+D(x+/(x 由于f(x)关于x=T对称,所以f(27-x)=f(x),于是,令x=27-1,则 21(x)k=-.(2r-)d=丁/(27-Mh=()=丁(x 所以 f(x)tk=(x)x+21/(x)d。 从几何上说,由于f(x)关于x=7对称,所以积分(x)与积 分f(xhx表示的是相同的面积,从而上述等式成立⑶ ∫ x x| | − a dx 0 1 ; (4) ∫ 2 0 [e ]dx x . 解（1） 。 6 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 5 x [ ] x dx = + x dx 2 x dx + 3 x dx +4 x dx + 5 x dx = 285 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ （2） 2 1 2 3 0 0 1 sgn(x − = x )dx 1dx + (−1)dx = 0 ∫ ∫ ∫ 。 （3）当a ≤ 0时， 1 1 0 0 1 | | ( ) 3 2 a x x − = a dx x x − a dx = − ∫ ∫ ； 当0 < a <1时， 1 1 3 0 0 1 1 | | ( ) ( ) 3 2 a a a x x − = a dx x a − x dx + x x − a dx = a − + ∫ ∫ ∫ 3 ； 当a ≥1时， 1 1 0 0 1 | | ( ) 2 3 a x x − = a dx x a − x dx = − ∫ ∫ 。 （4） 2 ln 2 ln3 ln 4 ln5 0 0 ln 2 ln3 ln 4 [ ] 1 2 3 4 x e dx = + dx dx + dx + dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ln 6 ln 7 2 ln5 ln 6 ln 7 + + 5 6 dx dx + dx ∫ ∫ ∫ 7 = − 14 ln(7!) 。 12．设 f x( )在[a b, ]上可积且关于 x = T 对称，这里a T < < b。则 f x dx f x dx f x dx a b a T b T b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 2 − 2 。 并给出它的几何解释。 证 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b T b T b a a T b T f x dx f x dx f x dx f x dx − − = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ， 由于 f x( )关于 x = T 对称，所以 f T (2 − x) = f (x)，于是，令 x T = 2 −t ，则 2 ( ) (2 ) (2 ) ( ) ( ) T T b b b T b b T T T f x dx f T t dt f T t dt f t dt f x dx − = − − = − = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ， 所以 f x dx f x dx f x dx a b a T b T b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 2 − 2 。 从几何上说，由于 f x( )关于 x = T 对称，所以积分 2 ( ) T T b f x dx ∫ − 与积 分 ( ) b T f x dx ∫ 表示的是相同的面积，从而上述等式成立。 224