nn(n-1 1) xdx n+m(n-1) t! (-)2m+ 9.设f(x)在0上连续,证明: (1)f(cosx)dx f(sin x)dx (2) f(sin x)dx=Af(sinx)dx 证(1)令 则 f(cos x)dx= f(sint)dt=l f(sinx)dx (2)令 f(sin x)dx=L(T-of(sinn)dt=f(sin x)dx-.xf(sinx)dx 所以 (imx)d=/(smx)h。 10.利用上题结果计算 (1)Isin+xdx; (2) xAnax 1+sin2 x 解(1)∫xs (2) sIn x arctan cos x=-丌2 (3) tan x dx +sin x 2 Jo 1+sin2x 1+sin2x Jo 1+2 tan2x 11.求下列定积分: (1)x2[x]dx (2)sgn(x-x)dx2 1 2 1 1 ( 1) ! ! [1 ( 1) ] ( 1) 2 2 2 2 2 e n n n n e n n n n n xdx − − − = − + − + − + − " ∫ 2 1 2 1 ( 1) ! ! [1 ( 1) ] ( 1) 2 2 2 2 2 n n n n e n n n n + n + +1 − = − + −"+ − + − 。 9. 设 f x( )在[ , 0 1]上连续，证明： ⑴ f x (cos ) dx 0 2 π ∫ = ∫ f (sin x) d 0 2 π x ; ⑵ xf (sin x) dx 0 π ∫ = π π 2 0∫ f (sin x) dx 。 证（1）令 2 t x π = − ，则 2 2 2 0 0 0 f (cos x d) x f (sin t)dt f (sin x d) x π π π = = ∫ ∫ ∫ 。 （2）令t = π − x ，则 0 0 0 0 xf x (sin )dx ( t) f (sin t)dt f (sin x)dx xf (sin x)d π π π π = − π π = − ∫ ∫ ∫ ∫ x ， 所以 xf (sin x) dx = 0 π ∫ π π 2 0∫ f (sin x) dx 。 10. 利用上题结果计算： ⑴ x sin x d 4 0 π ∫ x ; ⑵ x x x dx sin 1 cos 0 2 + ∫ π ; ⑶ x x dx 10 2 + ∫ sin π 。 解（1） 4 4 2 4 0 0 0 3 sin sin sin 2 1 x xdx xdx xdx π π π 2 6 π = = π = π ∫ ∫ ∫ 。 （2） 2 0 0 2 2 0 sin sin 1 arctan cos 1 cos 2 1 cos 2 4 x x x dx dx x x x π π π π π = = − π + + ∫ ∫ = 。 （3） 2 2 2 2 2 0 0 0 0 tan 1 sin 2 1 sin 1 sin 1 2 tan2 x dx dx d x dx x x x π π π π x π = =π π= + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 2 arctan( 2 tan ) 2 4 x π π = = π 。 11. 求下列定积分： ⑴ x x dx 2 0 6 [ ] ∫ ; ⑵ ∫ sgn(x x − ) dx 3 0 2 ; 223