第13讲特征值与特征向量 第13讲特征值与特征向量 关于特征值与特征向量,首先应清楚地回答如下三个问题: (1)方阵A的属于特征值λa的特征向量是有限个还是无穷多个?A的属于特征值λ的 线性无关的特征向量有多少个? (2)属于不同的特征值的特征向量间存在怎样的关系? (3)如何求出方阵A的特征值和特征向量? 下面依次对上述三个问题作以回答: (1)A的属于特征值A。的特征向量是齐次线性方程组(A0E-A)x=0的非零解(由于 AE-A1=0,知方程组(λBE-A)x=0的确有非零解),由齐次线性方程组的解的性质 知,方程组(AE-A)x=0有无穷多个非零解,即A的属于A的特征向量有无穷多个.因 此,方程组(AE-A)x=0的一个基础解系就是属于λa的特征向量全体所成向量集合的 个最大线性无关组从而知n阶方阵A的属于特征值λ的线性无关特征向量的最大个数 等于n-秩(AE-A) (2)n阶方阵A的全部特征值有n个(重特征值按重数算).属于不同特征值的特征向量 是线性无关的,方阵A的一个特征向量只能属于A的一个特征值,不可能属于A的两个不 同的特征值 (3)计算A的特征值和特征向量是重点也是难点,但有规律可循.计算特征值与特征向 量的步骤如下 ①计算|AE-A1(或|A-AE1); ②求1AE-A1=0(或1A-AE1=0)的全部根,即为A的全部特征值; ③对于每一个特征值A,求出(A0E-A)x=0的一个基础解系η1,η2,…,n,其中 r为矩阵AE-A的秩,则A的属于Aa的全部特征向量为k1n1+k22+…+kn-,nn-,其 中k1,k2,…,kn,是不同时为零的任意常数 例1求下列方阵的特征值与特征向量 32 (1)A=0-10 (2)B=202,(3)C=142 042 0 解(1)1A-AE=0-1-x0=(1-)(-1-)(2-x)=0 0 解出 A1=1,A2=-1,A3=2 对于A1=1,代入方程组(A-入1E)x=0.解此方程组