大学物理练习册一真空中的静电场 (2)在x处取线元dx,其上的电量dq=dx=kxdx,它在P点的电场强度为 dep q k l E 方向沿x轴正向 1+a 7-4一半径为R的绝缘半圆形细棒,其上半段均匀带电量+q,下半段均匀带电量-q,如图7-4所示,求半 圆中心处电场强度。 解:建立如图所示的坐标系,由对称性可知,+q和-q在O点电场强度沿x轴的分量之和为零。取长为d 的线元,其上所带电量为 dg=adl=dl=-trde=-d8,de d4方向如图 TR 4E R2 y方向的分量dE 6 q cos e 4e R 2T.R 图7-4 E=-2x.g[cos0d0j=-gogj 7-5一半径为R的半球壳,均匀带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处电场强度。 解:沿半球面的对称轴建立x轴,坐标原点为球心O 在球面上取半径为r、宽为d的环带,如图,其面积为 dS=2丌rdl=2nr·Rdb,所带电荷dq=adS=a·2丌r·Rd6 dq在O处产生的电场强度为,dE= xdg GR xrd x250(x2 r= Rsin6, x= Rcose de lc sin 0 cosd 因为球面上所有环带在O处产生的电场强度方向相同,∴E=m2 sin e cos ed=,-7 7-6一无限大均匀带电薄平板,面电荷密度为a,平板中部有一半径为R的圆孔,如图7-6所示。求圆孔 中心轴线上的场强分布。(提示:利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理) 解:利用补偿法,将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,即等效为一个 完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。 无穷大平板的电场为E1=2 图7-6大学物理练习册—真空中的静电场 （2）在 x 处取线元 dx，其上的电量d q = λ d x = kx d x ，它在 P 点的电场强度为 2 0 2 0 ( ) d 4 1 ( ) d 4 1 d l a x kx x l a x q EP + − = + − = πε πε ( ln ) ( ) 4 d 4 0 0 2 0 l a a a k l l a x k x x E l P + = + + − ∴ = ∫ πε πε 方向沿 x 轴正向。 7-4 一半径为 R 的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q，下半段均匀带电量-q，如图 7-4 所示，求半 圆中心处电场强度。 解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q 和-q 在 O 点电场强度沿 x 轴的分量之和为零。取长为 dl 的线元，其上所带电量为 + + + + R 图 7-4 θ π θ π π λ d 2 d 2 d 2 1 d d q R R q l R q q = l = = = ， 2 0 d 4 1 d R q E πε ∴ = 方向如图 y 方向的分量 θ π ε θ θ πε cos 2 d cos d 4 1 d 2 0 2 2 0 R q R q Ey = − = − j R q j R q E v v v 2 0 2 2 0 2 0 2 cos d 2 2 π ε θ θ π ε π ∴ = − × = − ∫ 7-5 一半径为 R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ ，求球心处电场强度。 解：沿半球面的对称轴建立 x 轴，坐标原点为球心 O。 x R O r 在球面上取半径为 r、宽为 dl 的环带，如图，其面积为 d S = 2π r d l = 2π r ⋅ R dθ ，所带电荷 d q = σ d S = σ ⋅ 2π r ⋅ R dθ dq 在 O 处产生的电场强度为， 2 3 2 2 0 2 3 2 2 0 ( ) d 2 ( ) d 4 1 d x r R xr x r x q E + = + = θ ε σ πε Qr = Rsinθ ， x = Rcosθ θ θ θ ε σ sin cos d 2 d 0 ∴ E = 因为球面上所有环带在 O 处产生的电场强度方向相同， E i i v v v 0 2 0 0 4 sin cos d 2 ε σ θ θ θ ε σ π ∴ = = ∫ 7-6 一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为σ ，平板中部有一半径为 R 的圆孔, 如图 7-6 所示。求圆孔 中心轴线上的场强分布。（提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理） 解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个 σ P R 图 7-6 完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。 无穷大平板的电场为 n E e v v 0 1 2ε σ = 26