813小波分析 信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域 的信息,但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同,小波变换通过平移母小 波( mother wavelet)可获得信号的时间信息,而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信 号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数,这些系数代表小波和局 部信号之间的相互关系。本节将介绍小波分析中常用的三个基本概念:连续小波变换、离散 小波变换和小波重构。 1.连续小波变换 傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波,因此正弦波是傅立叶变换的基 函数。同样,小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波, 因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。可以说,凡是能够用傅立叶分析的函数都可 以用小波分析,因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换 的正弦波。 仔细观察图8-02所示的正弦波和小波可以发现,用不规则的小波分析变化激烈的信号 也许比用平滑的正弦波更有效,或者说对信号的基本特性描述得更好。 (a)正弦波 (b)小波(db10) 图8-02傅立叶分析与小波分析使用的基函数 数学上傅立叶分析的过程实际上是用傅立叶变换表示, F(o)= f(t)e - dt 这个式子的含义就是,傅立叶变换是信号∫()与复数指数e(e-= cos or- Jsin at) 之积在信号存在的整个期间里求和。傅立叶变换的结果是傅立叶系数F(o),它是频率O的 函数 同样,连续小波变换( continuous wavelet transform,cWT)用下式表示, C(scale, position)=f()y(scale, position,t)dt 这个式子的含义就是,小波变换是信号∫(1)与被缩放和平移的小波函数之积在信号存在 的整个期间里求和。CWT变换的结果是许多小波系数C,这些系数是缩放因子( scale)和位 置( position)的函数 对缩放因子可这样来理解。如果用字母a表示缩放因子,例如,对于正弦函数, f(t)=sin(t);它的缩放因子a=1 f(t)=sin(21);它的缩放因子a=第 8 章 小波与小波变换 3 8.1.3 小波分析 信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域 的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小 波(mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信 号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局 部信号之间的相互关系。本节将介绍小波分析中常用的三个基本概念：连续小波变换、离散 小波变换和小波重构。 1. 连续小波变换 傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基 函数。同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波， 因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。可以说，凡是能够用傅立叶分析的函数都可 以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换 的正弦波。 仔细观察图 8-02 所示的正弦波和小波可以发现，用不规则的小波分析变化激烈的信号 也许比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好。 图 8-02 傅立叶分析与小波分析使用的基函数 数学上傅立叶分析的过程实际上是用傅立叶变换表示， ( ) ( ) j t F f t e dt   + − − =  这个式子的含义就是，傅立叶变换是信号 f t() 与复数指数 j t e −  ( cos sin j t e t j t    − = − ) 之积在信号存在的整个期间里求和。傅立叶变换的结果是傅立叶系数 F( )  ，它是频率  的 函数。 同样，连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT )用下式表示， C scale position f t scale position t dt ( , ) ( ) ( , , )  + − =  这个式子的含义就是，小波变换是信号 f t() 与被缩放和平移的小波函数  之积在信号存在 的整个期间里求和。CWT 变换的结果是许多小波系数 C ，这些系数是缩放因子(scale)和位 置(position)的函数。 对缩放因子可这样来理解。如果用字母 a 表示缩放因子，例如，对于正弦函数， f t t ( ) sin( ) = ； 它的缩放因子 a =1 f t t ( ) sin(2 ) = ； 它的缩放因子 1 2 a =