·44 智能系统学报 第13卷 表2中由20个人组成的论域0={a,b,…,,在 中重，{11,12})，6=（女中常，{13,14,15}），a=(女低 U上有3个因素的定性性状空间： 常，{16})，g=(女低轻，{17,18,19,20) X(性别)={男，女}，X(身高)={高，中，低}，X《体 由这8个原子概念任意取并，可以生成全部概 重)={重，常，轻}，现在的问题是要生成概念布尔 念。例子说明，从背景关系提取概念代数的方法是 代数。 直接方法，是自然对合的算法，是无需计算的算法。 解将3个因素分别表示为f=性别，=身高， 布尔代数中的概念并不都是对合的，例如： 体重，则它们的性状空间的笛卡尔乘积为 Va=(男高重，{1,2,3})v(女中重，{11， X=X(f)×X(f)xX()={男高重，男高常，男 12}=(男高重或女中重，{1,2,3,11,12) 高轻，男中重，男中常，男中轻，男低重，男低常，男 其内涵与外延不满足对合性，取并以后就不应 低轻，女高重，女高常，女高轻，女中重，女中常，女 该再谈对合。 中轻，女低重，女低常，女低轻} 共有2°-9=247个非空的新概念，太多，需要寻 X被分成18个格子，去掉其中的虚组态，得到 找基本概念，这时才需要基本算法1。 U上3个因素所形成的背景关系： 1)计算分辨度：m=14 R={男高重，男高常，男中常，男中轻，女中重， f无=性别，n(1)=10,n(2)=10, 女中常，女低常，女低轻到 c1=1-(10×9+10×9)/(20×19)= 共有8个原子内涵，这8个原子内涵将U分成 1-180/380=1-9/19=10/19 8块： f=身高，n(1)=5,n(2)=10,n(3)=5, [男高重]={1,2,3}，[男高常]={4,5}，[男中 C12=1-(5×4+10×9+5×4)/(20×19)= 1-130/380=25/38 常]={6,7,8)，[男中轻]={9,10}，[女中重]={11,12} 5=体重，n(1)=5,n(2)=9,n(3)=6, [女中常]={13,14,15}，[女低常]={16}，[女低 C3=1-(5×4+9×8+6×5)/(20×19)= 轻]={17,18,19,20} 1-112/380=268/380 于是，对合性地生成8个原子概念： 有cf3>Cf2>Cf1o 1=(男高重，{1,2,3})，2=（男高常，{4,5}）， 2)按因（体重）进行足码置换，使对象按重 =(男中常，{6,7,8})，a4=(男中轻，{9,10})，=（女 常、轻分类排列（见表3）。 表3表2的变换 Table 3 Transformation of table 2 因素 1 2 311124 567813141516910 17181920 体重 重 重重重重常常常常常常常常常轻轻轻轻轻轻 身高 高高中高中高高中中中中中中低中中低低低低 性别 男男女男女男 男男男男女女女女男男女女女女 此时，对象已经按体重排好，得到分类： 概念B1=(重，C),B2=(常，C2),B3=(轻，C3)。 U=C1{1,2,3,11,12+C2{4,5,6,7,8.13,14,15,16+ 3)再就因素（身高）逐类考察，看看该类对象 C3{9,10,17,18.19,201 是否按高、中、低分相排列。在C中，需要对对象 各类分别与内涵重、常、轻对合，得到3个基本 k和c的位置进行置换，得到表4。 表4表3的转换 Table 4 Transformation of table 3 因素 113 12 4 5 6781314 1516910 17181920 体重 重重 重重重常常常常常常常 常常轻轻轻轻轻轻 身高 高高高中中高高中中中中中中低中中低低低低 性别 男男男女女男男男男女女女女男男男女女女女 此时，C中的对象已经按身高排好，于是得到分 两类分别与内涵“重高”和“重中”对合，得到两个 类：C1=C1{1,2,11}+C23,120 基本概念B11=(重高，C),B12=(重中，C2)。U = {a,b,··· ,t} U 表 2 中由 20 个人组成的论域 ，在 上有 3 个因素的定性性状空间： X (性别)={男，女}，X (身高)={高，中，低}，X(体 重)={重，常，轻}，现在的问题是要生成概念布尔 代数。 f1 f2 f3 解 将 3 个因素分别表示为 =性别， =身高， =体重，则它们的性状空间的笛卡尔乘积为 X = X (f1)× X (f2)× X (f3) ={男高重，男高常，男 高轻，男中重，男中常，男中轻，男低重，男低常，男 低轻，女高重，女高常，女高轻，女中重，女中常，女 中轻，女低重，女低常，女低轻} X U 被分成 18 个格子，去掉其中的虚组态，得到 上 3 个因素所形成的背景关系： R = {男高重，男高常，男中常，男中轻，女中重， 女中常，女低常，女低轻} 共有 8 个原子内涵，这 8 个原子内涵将 U 分成 8 块： [男高重]={1, 2, 3}, [男高常]={4, 5}, [男中 常]={6, 7, 8}, [男中轻]={9, 10}, [女中重]={11, 12}, [女中常]={13, 14, 15}, [女低常]={16}, [女低 轻]={17, 18, 19, 20} 于是，对合性地生成 8 个原子概念： α1 a2 α3 α4 α5 =(男高重, {1, 2, 3}), =(男高常, {4, 5}), =(男中常, {6, 7, 8}), =(男中轻, {9, 10}), =(女 α6 α7 α8 中重, {11, 12}), =(女中常, {13, 14, 15}), =(女低 常, {16}), =(女低轻, {17, 18, 19, 20}) 由这 8 个原子概念任意取并，可以生成全部概 念。例子说明，从背景关系提取概念代数的方法是 直接方法，是自然对合的算法，是无需计算的算法。 布尔代数中的概念并不都是对合的，例如： α1 ∨α5 = (男高重,{1, 2, 3}) ∨ (女中重, {11, 12})=(男高重或女中重, {1, 2, 3, 11, 12}) 其内涵与外延不满足对合性，取并以后就不应 该再谈对合。 共有 2 8 –9=247 个非空的新概念，太多，需要寻 找基本概念，这时才需要基本算法 1。 1) 计算分辨度：m = 14 f1 = 性别, n(1) = 10, n(2) = 10, cf 1 = 1−(10×9+10×9)/ (20×19) = 1−180/380 = 1−9/19 = 10/19 f2 = 身高, n(1) = 5, n(2) = 10, n(3) = 5, cf 2 = 1−(5×4+10×9+5×4)/ (20×19) = 1−130/380 = 25/38 f3 = 体重, n(1) = 5, n(2) = 9, n(3) = 6, cf 3 = 1−(5×4+9×8+6×5)/ (20×19) = 1−112/380 = 268/380 cf 3 > cf 2 > cf 有 1。 2) 按因 f3(体重) 进行足码置换，使对象按重、 常、轻分类排列 (见表 3)。 表 3 表 2 的变换 Table 3 Transformation of table 2 因素 1 2 3 11 12 4 5 6 7 8 13 14 15 16 9 10 17 18 19 20 体重 重 重 重 重 重 常 常 常 常 常 常 常 常 常 轻 轻 轻 轻 轻 轻 身高 高 高 中 高 中 高 高 中 中 中 中 中 中 低 中 中 低 低 低 低 性别 男 男 女 男 女 男 男 男 男 男 女 女 女 女 男 男 女 女 女 女 此时，对象已经按体重排好，得到分类： U = C1 {1,2,3,11,12}+C2 {4,5,6,7,8,13,14,15,16}+ C3 {9,10,17,18,19,20} 各类分别与内涵重、常、轻对合，得到 3 个基本 概念 β1 = (重,C1), β2 = (常,C2), β3 = (轻,C3)。 f2 C1 k c 3) 再就因素 (身高) 逐类考察，看看该类对象 是否按高、中、低分相排列。在 中，需要对对象 和 的位置进行置换，得到表 4。 表 4 表 3 的转换 Table 4 Transformation of table 3 因素 1 2 11 3 12 4 5 6 7 8 13 14 15 16 9 10 17 18 19 20 体重 重 重 重 重 重 常 常 常 常 常 常 常 常 常 轻 轻 轻 轻 轻 轻 身高 高 高 高 中 中 高 高 中 中 中 中 中 中 低 中 中 低 低 低 低 性别 男 男 男 女 女 男 男 男 男 女 女 女 女 男 男 男 女 女 女 女 C1 C1 = C11 {1,2,11}+C12 {3,12} 此时， 中的对象已经按身高排好，于是得到分 类： 。 β11 = (重高,C11), β12 = (重中,C12) 两类分别与内涵“重高”和“重中”对合,得到两个 基本概念 。 ·44· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷