第1期 汪培庄：因素空间理论一机制主义人工智能理论的数学基础 ·43· 把事物从一个方面进行划分，多个因素把事物从多 原子概念的提取是不需要计算的，只要背景关系知 个方面进行划分。因素越多，对事物的划分就越 道了，它的每一个性状颗粒就决定一个原子概念。 细，概念产生得就越多。知识发展的生态就是概念 由原子概念用“且”字连接起来，可以生成其他 的不断分割过程。婴儿出世时只有零概念，其内涵 的所有概念，形成布尔代数，这在计算机上就可实 是零描述而外延是混沌一团的宇宙。生存需求的本 现概念的自动生成，理论上极其简单。自动生成的 能因素把母亲从万物中区分出来，在外延上进行分 概念不是怕少而是怕多，设原子概念的个数是k,则 割。人们形象地把外延称为概念的团粒。概念在何 生成的概念个数就是2*。我们需要把概念的范围缩 时不够用呢？就是目标需求的差异发生在一个概念 小，非原子概念不一定满足对合性，其中满足对合 团粒的内部，用这个概念无法区分差异，在这个时 性的概念是哪些呢？ 候，认知的需求就要力求打破团粒，使之由粗变细， 定义12内涵能表为合取范式的概念叫作基 本概念。 而相应的内涵便要在原概念（称为上位概念）的内 所谓合取范式就是形如(a1Va2V…Va1)A… 涵上再增添新的划分内容。人类的知识大树这就是 A(an1Van2V…V ankiny)这样的式子，其中v与A分别代 这样一步一步形成的。每一步都是上位概念的分 表“或”与“且”。每个小括号都是析取式，最后都用 割，都要靠因素。知识的图谱必须以因素作为导引。 且字合起来。它们在因素的相空间中是拟超矩形 新因素对上位概念团粒划分的贡献可以用分辨 (联通或不联通的超矩形)。原子概念都是基本概 度来刻画，把U中任意两个不同的对象序列叫作一 念。所有基本概念的集合对合取运算封闭，形成一 个对子。能分辨的对子数目越多，分辨度就越大。 个半格，叫作基本概念半格。Wile在图2中所画的 定义10设H(U,F)=C-(4,M儿a2- 就是基本概念半格，只不过在最下面加了一个极限 d,=1-[n(1)(n(1)-1)+…+n(K)(n(K-1)]/m(m-1) 概念，它的外延是空集，内涵无限制。 (8) 定义13给定因素空间和背景关系。包含所 叫作因素f对U中对象的分辨度。 有原子概念的基本概念子半格叫作粒子半格。 现在让我们回到前面所说的背景关系R。R是 通过粒子半格的建立，能在给定因素下将上位 性状空间X中所有原子内涵所成之集，它当然是描 概念团粒细化到所有原子概念。在实际运用中，基 写内涵的。外延是论域中的事情，但是由于F是从 本概念半格中的概念还嫌多。粒子半格中不一定有 H(U,F)到R的同构映射。R又是论域的代表，所以背 最小的半格，要找的是到达原子分割步数尽可能少 景关系成了内涵与外延的重合体，这就使背景关系 的粒子半格。下面是所要求的一种基本算法，其复 R是概念生成的双料调色板。 杂度是0(m2n)。 定义11给定定性因素空间(U,X(F),设R是 基本算法1最短粒子半格算法町 因素F={f,fi,…,f的背景关系，则对任意a∈R, 1)给定U,计算每个因素对U中对象的分辨 称a=(a,[a)为原子概念，a和[a分别叫作概念a的 度； 原子内涵和原子外延；对任意ASR记[A]=U[aIa∈A, 2)选对U分辨度最大的因素∫来实现f对 T=y=(A,[A]DASR,称y=(A,[A])分别是以A,A]为 U的分类：置换对象足码即（行足码）使同类对象连 内涵和外延的概念；称T=(C,V,A,)是由(U,X(F)所 接在一起； 生成的概念布尔代数。 3)用所分出的子类U取代U,重复步骤1)和 a和a都是原子，由于F是从H(U,F)到R的同构 2),直到所有的子类都变成粒子为止，总结出粒子 映射，它们一定满足Wille的对合性。 半格。 这个定义告诉我们，对于定性因素空间而言， 例2给定表2： 表2成员状况因素表 Table 2 Member status factors 因素 1 2 3 4 5 6 78910111213141516171819 20 性别 男男男男男男男男男男女女女女女女女女女女 身高 高高高高高中中中中中中中中中中低低低低低 体重 重重重 常常常常常轻轻重重常常常常轻轻轻轻把事物从一个方面进行划分，多个因素把事物从多 个方面进行划分。因素越多，对事物的划分就越 细，概念产生得就越多。知识发展的生态就是概念 的不断分割过程。婴儿出世时只有零概念，其内涵 是零描述而外延是混沌一团的宇宙。生存需求的本 能因素把母亲从万物中区分出来，在外延上进行分 割。人们形象地把外延称为概念的团粒。概念在何 时不够用呢？就是目标需求的差异发生在一个概念 团粒的内部，用这个概念无法区分差异，在这个时 候，认知的需求就要力求打破团粒，使之由粗变细， 而相应的内涵便要在原概念 (称为上位概念) 的内 涵上再增添新的划分内容。人类的知识大树这就是 这样一步一步形成的。每一步都是上位概念的分 割，都要靠因素。知识的图谱必须以因素作为导引。 U 新因素对上位概念团粒划分的贡献可以用分辨 度来刻画，把 中任意两个不同的对象序列叫作一 个对子。能分辨的对子数目越多，分辨度就越大。 H (U,F)= { Ck= ( uk,1 ,···,uk,n(k) )} 定义 (k=1,2,···,K) 10[4] 设 df = 1−[n(1)(n(1)−1)+···+n(K)(n(K)−1)]/m(m−1) (8) 叫作因素 f 对 U 中对象的分辨度。 R R X F H (U,F) R R R 现在让我们回到前面所说的背景关系 。 是 性状空间 中所有原子内涵所成之集，它当然是描 写内涵的。外延是论域中的事情，但是由于 是从 到 的同构映射。 又是论域的代表，所以背 景关系成了内涵与外延的重合体，这就使背景关系 是概念生成的双料调色板。 (U,X (F)) R F ∗ = {f1, f2,··· , fn} a ∈ R a = (a, [a]) a [a] α A ⊆ R [A] = ∪{[a]|a ∈ A} Γ = {γ = (A,[A])|A ⊆ R} γ = (A,[A]) A,[A] Γ = (Γ,∨,∧,¬) (U,X (F)) 定义 11[4] 给定定性因素空间 ，设 是 因素 的背景关系，则对任意 ， 称 为原子概念， 和 分别叫作概念 的 原子内涵和原子外延；对任意 ，记 ， ,称 分别是以 为 内涵和外延的概念；称 是由 所 生成的概念布尔代数。 a 和 [a] 都是原子，由于 F 是从 H (U,F) 到 R 的同构 映射，它们一定满足 Wille 的对合性。 这个定义告诉我们，对于定性因素空间而言， 原子概念的提取是不需要计算的，只要背景关系知 道了，它的每一个性状颗粒就决定一个原子概念。 k 2 k 由原子概念用“且”字连接起来，可以生成其他 的所有概念，形成布尔代数，这在计算机上就可实 现概念的自动生成，理论上极其简单。自动生成的 概念不是怕少而是怕多，设原子概念的个数是 ，则 生成的概念个数就是 。我们需要把概念的范围缩 小，非原子概念不一定满足对合性，其中满足对合 性的概念是哪些呢？ 定义 12 内涵能表为合取范式的概念叫作基 本概念。 (a11 ∨a12 ∨ ··· ∨a1k(1))∧ ··· ∧(an1 ∨an2 ∨ ··· ∨ank(n) ) ∨ ∧ 所谓合取范式就是形如 这样的式子，其中 与 分别代 表“或”与“且”。每个小括号都是析取式，最后都用 且字合起来。它们在因素的相空间中是拟超矩形 (联通或不联通的超矩形)。原子概念都是基本概 念。所有基本概念的集合对合取运算封闭，形成一 个半格，叫作基本概念半格。Wille 在图 2 中所画的 就是基本概念半格，只不过在最下面加了一个极限 概念，它的外延是空集，内涵无限制。 定义 13 给定因素空间和背景关系。包含所 有原子概念的基本概念子半格叫作粒子半格。 O ( m 2n ) 通过粒子半格的建立，能在给定因素下将上位 概念团粒细化到所有原子概念。在实际运用中，基 本概念半格中的概念还嫌多。粒子半格中不一定有 最小的半格，要找的是到达原子分割步数尽可能少 的粒子半格。下面是所要求的一种基本算法，其复 杂度是 。 基本算法 1 最短粒子半格算法[13] 1) 给定 U，计算每个因素对 U 中对象的分辨 度； 2) 选对 U 分辨度最大的因素 f 来实现 f 对 U 的分类: 置换对象足码即（行足码）使同类对象连 接在一起； 3) 用所分出的子类 U′取代 U, 重复步骤 1）和 2），直到所有的子类都变成粒子为止，总结出粒子 半格。 例 2 给定表 2： 表 2 成员状况因素表 Table 2 Member status factors 因素 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 性别 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 女 女 女 女 女 女 身高 高 高 高 高 高 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 低 低 低 低 低 体重 重 重 重 常 常 常 常 常 轻 轻 重 重 常 常 常 常 轻 轻 轻 轻 第 1 期 汪培庄：因素空间理论——机制主义人工智能理论的数学基础 ·43·