第17讲、近自由电子近似 上讲要点回顾 上讲要点回顾 能带和能隙 1.结构因子与能隙关系 通过空晶格模型和微扰方法,解释了能带和能隙 2.典型的能带结构 能隙的起因 3.导电取决子电子填充情况 4.导体、绝体解释 5.能带计算方法的物理思想 能隙的宽度 6.近自由电子近似—平面波方法 ·非简并微扰:除 Brillouin区边界外,昌体势场对其 7.举例只取两个平面波 区城能带的影响可忽略 8.平面波方法评论 简并微扰:能隙度是势 Fourier展开系数的两倍 9.赝势方法 上讲还遣留有一些与能带有关的问题 种:∥45.24324kche國体学 政中4524l3-iche 体理学 遗留问题? l、结构因子与能隙关系 ·问题:在 Brillouin区边界是否一定出现能厚? 在 Brillouin区边界上,因为 Bragg反射,形成 ·取决于结构因子! 驻波,有可能产生宽度E2=2(m)的能朦 问题:这些能隙是否处于同一能量位置,即每 是否一定产生能腺? 个B区边界的简并能量是否相同 是否定形成带? 由电子气的解可知,与到B区边界k的大小有关 取决于H(n),而n还与结构因于有关! ·问题:能朦就是禁带? ·取决于是否整个 Brillouin区出现黄的能隙! 与前有关,取决于能隙是否处于同一能量区 ·复杂结构?要看V冂)的具体形式? 城,即能隙是否能够通! (r)是每个原胞内势场的叠加 问题:能朦宽度就是禁带宽度? (x)=∑vx+a) 与前有关,能隙贯通的宽度才能作为禁带宽度 v(x)=∑"(x-r) 们45.24132che回体学 体物理学 其傅立叶分量是 如果原胞内是同种原子,则 vnrh=中+h m0=0。÷=msm ·结构因于S(= ·再看原胞内m个原子,则是m个原子势的叠加 x)=∑v(x-r) 则同一原胞中的原子引起的反射波正好相互干 v,(xk“dr 涉从而使Brag反射消失,简并不能消除 ·其中v()=-j(xk2°a v(n)=0 站论完全可以推广到三维。因此,不一定在B 势场的傅立叶分量vn)=∑(n)e 区边界产生能隙。遁常的能带站构都比较复杂 424l3iche物理学1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第17讲、近自由电子近似 • 上讲要点回顾 1. 结构因子与能隙关系 2. 典型的能带结构 3. 导电取决于电子填充情况 4. 导体、绝缘体解释 5. 能带计算方法的物理思想 6. 近自由电子近似——平面波方法 7. 举例——只取两个平面波 8. 平面波方法评论 9. 赝势方法 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 上讲要点回顾 • 能带和能隙 * 通过空晶格模型和微扰方法，解释了能带和能隙 • 能隙的起因 * 在Brillouin区边界的Bragg散射形成驻波，与平面 波相比，驻波势能或高于或低于平面波，因此，在 Brillouin区边界零级近似的简并能级分裂形成能隙 • 能隙的宽度 * 非简并微扰：除Brillouin区边界外，晶体势场对其 他区域能带的影响可忽略 * 简并微扰：能隙宽度是势Fourier展开系数的两倍， Eg=2|V(n)| • 上讲还遗留有一些与能带有关的问题 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 遗留问题？ • 问题：在Brillouin区边界是否一定出现能隙？ • 取决于结构因子！ • 问题：这些能隙是否处于同一能量位置，即每 个B区边界的简并能量是否相同？ • 由电子气的解可知，与到B区边界k的大小有关 • 问题：能隙就是禁带？ • 与前有关，取决于能隙是否处于同一能量区 域，即能隙是否能够贯通！ • 问题：能隙宽度就是禁带宽度？ • 与前有关，能隙贯通的宽度才能作为禁带宽度 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 1、结构因子与能隙关系 • 在Brillouin区边界上，因为Bragg反射，形成 驻波，有可能产生宽度Eg=2|V(n)|的能隙 * 是否一定产生能隙？ * 是否一定形成禁带？ • 取决于V(n)，而V(n)还与结构因子有关！ • 取决于是否整个Brillouin区出现贯通的能隙！ • 复杂结构？要看V(r)的具体形式？ * V(r) 是每个原胞内势场的叠加 = ∑ + l V (x) v(x la) = ∑ − m j j j v(x) v (x τ ) * 如原胞内有m个原子，则 • 其傅立叶分量是 ∫ ∞ −∞ − = V x e dx Na n nx a 2π ( ) 1 V ( ) ∑ ( ) ∫ ∞ −∞ − = l nx a v x e dx N a 2π 1 1 ( ) ∫ ∞ −∞ − = v x e dx a nx a 2π 1 ( ) ∫∑ ∞ −∞ − = v x + la e dx Na nx a l 2π 1 ( ) ∑= = − m j j j v x v x 1 ( τ ) • 再看原胞内m个原子，则是m个原子势的叠加 ( ) ∫∑ ∞ −∞ = − = v x − e dx a n m j nx a i j j 1 2 1 ( ) π V τ ( ) ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − = ∞ −∞ − ∑ ∫ j n a i m j nx a i j v x e dx e a τ π 2π 1 2 1 ∑= − = m j n a i j n e 1 2 ( ) τ π j V ( ) ( ) ∫ ∞ −∞ − = v x e dx a n nx a i j j 2π 1 • 其中 V ∑= − = m j n a i j n n e 1 2 ( ) ( ) τ π j • 势场的傅立叶分量 V V http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 如果 0 1 2 = ∑ = = − m j n a i j S n e τ π ( ) • 则同一原胞中的原子引起的反射波正好相互干 涉从而使Bragg反射消失，简并不能消除 V (n) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n n e n S n m j n a i j 1 1 V = V ∑ = V = − τ π ∑= − = m j n a i j S n e 1 2 τ π ( ) • 如果原胞内是同种原子，则 • 结构因子 • 结论完全可以推广到三维。因此，不一定在B 区边界产生能隙。通常的能带结构都比较复杂