教案 数学分析中一个反例的教学 教学内容 讲授数学分析发展历史上一个重要的反例:处处连续处处不可导的函数,以及这 反例对数学学科发展的影响;介绍德国数学家 Weierstrass的生平与对数学分析 所作的贡献 指导思想 通过讲授处处连续处处不可导的函数的例子与介绍德国数学家 Weierstrass的贡 献,使学生掌握函数项级数一致收敛理论的重要应用,认识到数学家如何通过从 提出猜想,到证明或否定猜想的过程,使数学学科得到发展的,从而使学生在今 后的学习中重视对反例的探讨。 教学安排 (1)德国数学家 Weierstrass的简单介绍 同学们,前一阶段,我们学习了函数项级数一致收敛的理论,有了这一基础, 我们可以来介绍一个在数学分析中非常重要的内容。这个结果是属于 Weierstrass 的。关于 Weierstrass这个名字,我们并不陌生(我们已学过以他的名字冠名的定 理有:有界数列必有收敛子列,函数项级数的 Weierstrass判别法等),在以后的 学习中,你们将会不断遇上 Weierstrass这个名字。 Karl Weierstrass(1815-1897 是19世纪德国数学家,他在数学的许多领域都作出了重大贡献,其中不少成果 是在他做中学教师时取得的。后来他被聘为柏林大学教授和法国巴黎科学院院 士。他是数学分析基础的主要奠基者之一,是把严格的数学论证引进分析学的 位大师。 Weierstrass利用单调有界的有理数数列来定义无理数,从而在严格的逻 辑基础上建立了实数理论;关于连续函数的分析定义(即E-6语言)也是他给 出的,这些贡献使得数学分析的叙述精确化,论证严格化。 (2)处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上,数学家们一直猜测:连续函数在其定义区间中 至多除去可列个点外都是可导的。也就是说,连续函数的不可导点至多是可列集 在当时,由于函数的表示手段有限,而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的 角度出发去考虑,这个猜想是正确的。但是随着级数理论的发展,函数表示的 手段扩展了,数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。 Weierstrass是 位研究级数理论的大师,他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结: ∑ 0<a<1<b 下面叙述的反例在证明上要相对简易些,它是由荷兰数学家 an der Waerden于1930年给出的 设φ(x)表示x与最邻近的整数之间的距离,例如当x=1.26,则q(x)=0.26 当x=367,则φ(x)=03显然(x)是周期为1的连续函数,且q(x)≤1/2。教案 数学分析中一个反例的教学 教学内容 讲授数学分析发展历史上一个重要的反例：处处连续处处不可导的函数，以及这 一反例对数学学科发展的影响；介绍德国数学家 Weierstrass 的生平与对数学分析 所作的贡献。 指导思想 通过讲授处处连续处处不可导的函数的例子与介绍德国数学家 Weierstrass 的贡 献，使学生掌握函数项级数一致收敛理论的重要应用，认识到数学家如何通过从 提出猜想，到证明或否定猜想的过程，使数学学科得到发展的，从而使学生在今 后的学习中重视对反例的探讨。 教学安排 （1）德国数学家 Weierstrass 的简单介绍 同学们，前一阶段，我们学习了函数项级数一致收敛的理论，有了这一基础， 我们可以来介绍一个在数学分析中非常重要的内容。这个结果是属于 Weierstrass 的。关于 Weierstrass 这个名字，我们并不陌生（我们已学过以他的名字冠名的定 理有：有界数列必有收敛子列，函数项级数的 Weierstrass 判别法等），在以后的 学习中，你们将会不断遇上 Weierstrass 这个名字。Karl Weierstrass （1815—1897） 是 19 世纪德国数学家，他在数学的许多领域都作出了重大贡献，其中不少成果 是在他做中学教师时取得的。后来他被聘为柏林大学教授和法国巴黎科学院院 士。他是数学分析基础的主要奠基者之一，是把严格的数学论证引进分析学的一 位大师。Weierstrass 利用单调有界的有理数数列来定义无理数，从而在严格的逻 辑基础上建立了实数理论；关于连续函数的分析定义（即ε −δ 语言）也是他给 出的，这些贡献使得数学分析的叙述精确化，论证严格化。 （2）处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中， 至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。 在当时，由于函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的 角度出发去考虑，这个猜想是正确的。 但是随着级数理论的发展，函数表示的 手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass 是 一位研究级数理论的大师，他于 1872 年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结： ( ) 0 ( ) sin n n n f x ab ∞ = = ∑ x ， < < 10 < ba ， ab > 1。 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家 Van Der Waerden 于 1930 年给出的： 设 (x)表示 x 与最邻近的整数之间的距离，例如当 x = 1.26，则 (x) = 0.26； 当 x = 3.67，则 ϕ ϕ ϕ (x) = 0.33。显然ϕ (x)是周期为 1 的连续函数，且 。 x ≤ϕ 2/1)(