注意当x,y∈[k,k+]或[k+,k+1时,成立|q(x)-(y)Hx-y| Van der waerden给出的例子是: ∫(x) o(10x) 10 由 p(10x) 及 的收敛性,根据 Weierstrass判别法,上述函数 =6210 项级数关于x∈(-∞,+∞)一致收敛。所以f(x)在(-∞,+∞)连续 (3)处处不可导的证明 现考虑f(x)在任意一点x的可导性。由于f(x)的周期性,不妨设0≤x<1, 并将x表示成无限小数 x=0 若x是有限小数时,则在后面添上无穷多个0。然后我们取 10 当an=0,1,2,3,56,7,8 -10m,当an=49 例如设x=0309546…,则我们取h1=10-,h2=10-2,h3=-10-3,h4=10 hs=-10°,h6=10 显然 于是我们只要证明极限lmf(x+hn)-f(x)不存在。 h f(x+hm)-f(x) (10″(x+hn))-(10x) 10"h q(10°(x+hn)-0(10x)(10(x+hn)-q(100x) 10"h 10" h 当n≥m时,o(10°(x+hm)=9(102x±10m)=q(10x),所以 f(x+hn)-f(x)甲(10°(x+hn)-(10x) 0″ 当n=0,1.…,m-1,在10”x的表示中am的位置是第m-n位小数, 10x=a1a2…an,an+1…a 10(x+hn)=a1a2…an,an+1…(am±1)… 由hn的取法,可知10°(x+hm)与10x同时属于[k,k+如]或[k+,k+1,因此 q(10(x+bn))-φ(10x) 于是我们得到 f(x+hm)-f(x)=y ±1 等式右端必定是整数,且其奇偶性与m一致,由此可知极限 lin f(x+h,)-f(x) h 不存在,也就是说,f(x)在任意一点x是不可导的。这样,一个处处连续,但注意当 x, y ] 2 1 ,[ kk +∈ 或 ]1, 2 1 [ kk ++ 时，成立 ϕ −ϕ = − yxyx |||)()(| 。 Van Der Waerden 给出的例子是： xf )( = ∑ ∞ = ϕ 0 10 )10( n n n x . 由 n n x 10 ϕ )10( ≤ n 102 1 ⋅ ，及∑ ∞ = ⋅ 0 102 1 n n 的收敛性，根据 Weierstrass 判别法，上述函数 项级数关于 x +∞−∞∈ ),( 一致收敛。所以 在xf )( −∞ +∞),( 连续。 （3）处处不可导的证明 现考虑 在任意一点 x 的可导性。由于 的周期性，不妨设 ， 并将 x 表示成无限小数 xf )( xf )( x <≤ 10 x = 0.a1a2…an…。 若 x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个 0。然后我们取 hm= ⎩ ⎨ ⎧ − = = − − ,9,4,10 ,10 ,8,7,6,5,3,2,1,0 m m m m a a 当 当 例如设x = 0.309546…，则我们取h1 = ，h 1 10− 2 = ，h 2 10 − 3 = ，h 3 10 − − 4 = ， h 4 10 − 5 = ，h 5 10 − − 6= 10 −6 ，…。显然 hm → 0 ( m → ∞ )。 于是我们只要证明极限 m m m h xfhxf )()( lim −+ ∞→ 不存在。 m m h −+ xfhxf )()( = ∑ ∞ = ϕ−+ϕ 0 10 )10())(10( n m n n m n h hx x ∑ − = ϕ−+ϕ = 1 0 10 )10())(10( m n m n n m n h hx x ∑ ∞ = ϕ−+ϕ + mn m n n m n h hx x 10 )10())(10( 当 时， ≥ mn ϕ (10n (x + hm)) = ϕ (10n x± ) = −mn 10 ϕ (10n x)，所以 m m h −+ xfhxf )()( ∑ − = ϕ−+ϕ = 1 0 10 )10())(10( m n m n n m n h hx x . 当n = L m −1,,2,1,0 ，在 的表示中 的位置是第 x n 10 am − nm 位小数， 10 . , n = 21 L nn +1 aaaaax m LL )(10 ,)1(. n m =+ 21 L nn +1L aaaaahx m ± L 由 的取法，可知 hm 10n (x + hm)与10n x同时属于 ] 2 1 ,[ kk + 或 ]1, 2 1 [ kk ++ ，因此 ϕ ( (x + )) - n 10 hm ϕ ( x) = n 10 ± m n 10 h ， 于是我们得到 m m h −+ xfhxf )()( = ∑ ， − = ± 1 0 1 m n 等式右端必定是整数，且其奇偶性与 m 一致，由此可知极限 m ∞→ lim m m h + − xfhxf )()( 不存在，也就是说， 在任意一点 xf )( x 是不可导的。这样，一个处处连续，但