处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造出来了。 (4)电子课件演示 (5)总结 Weierstrass的反例构造出来后,在数学界引起极大的震动,因为对于这类函 数,传统的数学方法已无能为力,这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来 危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究,从而促成了 门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形”,就是指几何上的一种“形”,它 的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道,经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形,但是自然界存 在着许多不规则不光滑的几何图形,它们都具有上面所述的“自相似性”。如云 彩的边界;山峰的轮廓;奇形怪状的海岸线;蜿蜒曲折的河流;材料的无规则裂 缝,等等。这些变化无穷的曲线,虽然处处连续,但可能处处不可导。因此“分 形几何”自产生起,就得到了数学家们普遍的关注,很快就发展为一门有着广泛 应用前景的新的学科。 通过这个例子,同学们可以了解到数学学科的发展规律,认识到一个反例如 何促成一门新学科的产生。希望同学们在今后的学习中,重视对反例的探索。 注意点 (1)在 Weierstrass反例的证明中,注意hn的符号的选取是证明的关键。这样的 符号选取保证了当n=0,12…,m-1时,10″(x+hn)与10″x或者同时属于 [k,k+],或者同时属于[+,k+1,从而有 f(x+h)-f(x)eo(10°(x+hn)-9(10°x)=∑±1 h 10"h (2)在用电子课件演示 Weierstrass反例的几何性状时,应强调 Weierstrass函数 的局部与整体性质上的相似性,从而使学生对“分形”有一个初步的感性认识。处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造出来了。 （4）电子课件演示 （5）总结 Weierstrass 的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函 数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来 危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一 门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它 的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道，经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但是自然界存 在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述的“自相似性”。如云 彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂 缝，等等。这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导。因此“分 形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛 应用前景的新的学科。 通过这个例子，同学们可以了解到数学学科的发展规律，认识到一个反例如 何促成一门新学科的产生。希望同学们在今后的学习中，重视对反例的探索。 注意点 （1）在 Weierstrass 反例的证明中，注意 的符号的选取是证明的关键。这样的 符号选取保证了当 hm n = L m −1,,2,1,0 时， n + hx m )(10 与 10n x 或者同时属于 ] 2 1 ,[ kk + ，或者同时属于 ]1, 2 1 [ kk ++ ，从而有 m m h −+ xfhxf )()( ∑ − = ϕ−+ϕ = 1 0 10 )10())(10( m n m n n m n h hx x = ∑ 。 − = ± 1 0 1 m n （2）在用电子课件演示 Weierstrass 反例的几何性状时，应强调 Weierstrass 函数 的局部与整体性质上的相似性，从而使学生对“分形”有一个初步的感性认识