复杂系统与复杂性科学 2008年12月 分别生成了线性耦合的束流输运网络,每个节点由粒子运动轨道的受控包络(束晕-混沌)方程描述。从线 性耦合网络的同步判定条件,选取合适的耦合强度c,可达到控制束流输运网络的同步。设计的线性控制器 为G=c∑anIx2,=1,2,…,N根据同步稳定判据,只有当任意两个节点之间最大同步误差Dn趋于0时 复杂动力学网络才达到了同步。数值计算表明:对于 BTN-WS模型在适当的耦合强度和所有演化概率下Dn 趋于0,则 BTN-WS网络达到了同步。其中取不同耦合强度c=2,c=5和演化概率p=0.04,0.4,0.9时,对 于WS模型和SD模型下束流输运网络分别都达到了同步。该结果的意义是:在无WS拓扑结构时应用线性反 馈控制不能实现束晕-混沌同步,一旦有了WS拓扑结构就可实现了,这是以前所没有的新结果,对束流实 验研究和工程设计具有一定的参考意义 我们不仅能够实现上述束晕-混沌的同步控制,而且可以稳定控制束晕-混沌达到所期望的周期态。 在 BTN-WS网络中,我们设计了特殊而简单的控制器 G Txa-5(x2-1),=1,2,…,N 当取c=0.1,N=100,K=6时,分别在具有WS和SD拓扑结构的BTN中实现了单周期态的稳定控制。 8复杂混池网络的多目标分区同步的控制31-31 复杂混沌网络的节点多种多样,依具体问题而定。所谓混沌网络指节点为非线性方程或混沌的动力学 方程,这时网络的动力学复杂性和整体演化的特性是令人关注的另一个课题,这类网络中的平衡态和周期态 在不同子网络区域的同步与控制是非线性系统中混沌控制与同步课题研究的延伸和发展。混沌动力学方程 具有大量的不稳定周期轨道和多个平衡点,例如 Lorenz方程就有3个平衡点,混沌吸引子内有无限个不稳 定周期轨道。虽然已可把整个网络的所有节点控制稳定在一个平衡点上,或如上面控制稳定到一个周期态。 但目前尚未看到报道分别能够实现复杂网络中的多目标分区同步地控制到不同的子网络内。为此,我们 CIAE-SJTU小组合作把复杂网络分成若干数目的子网络区域,子网络数目与所要平衡点和所需周期态数目 的总和相等,然后根据需要分别把各个平衡点和周期态稳定控制到相应的子网络内。为此,我们提出了一种 适当的耦合控制方法,证明了实现这种控制的基本定理和方法是有效性的,从理论上确保在复杂网络中实现 上述的多目标控制。我们已经分别应用该方法于节点为 Lorenz方程和束晕-混沌方程的复杂网络中,数值 模拟验证了理论方法的正确性。例如,构造具有无标度特性的BA网络,规模为N=50,每个节点是 lorenz 混沌系统。然后把整个网络分成节点数日分别为4,8和38三组子网络。然后分别对各个子网络中一个节 点采用以各自节点变量与控制的目标态之差值为增益的线性耦合控制器,在满足全局稳定性定理要求下,只 控制每个子网络中的一个节点,可以实现网络分区稳定控制到3个的平衡点上:[8.4853,8.4853,27], [0,0,0]和[-8.4853,-8.4853,27] 我们应用上述类似的耦合控制方法择取不同参数,同样实现了对 BTN-SF网络中平衡点、周期态和混沌 同步的控制。这样,该耦合控制方法可根据实际需要把大规模复杂网络控制到不同的子网络区域的不同 此外,牵制控制的重要课题是研究牵制控制策略与网络结构的关系。我们利用一种新的节点重要性指 标—— ControlRank(CR)来量化网络中节点的重要程度,充分发掘了有向网络的链式结构特性,通过牵制具 有最大CR值的节点设计了一种新的牵制策略,建立了有向网络结构与牵制控制策略的联系。在有向无标 度网络中验证了这种基于CR值的牵制控制策略的有效性,与以往随机牵制节点、牵制最大出度等牵制策略 相比,牵制具有最大CR值节点的控制策略取得了最好的控制效果。 已有的研究表明,通过对网络中的至少一个节点增加线性误差反馈控制,可以使得网络中所有的节点都 被控制到同步状态。很多网络中的节点可以分为几组,其中同一个组中的节点起着相同的作用,不同组中的 节点起着不同的作用。我们研究了控制一个复杂动态网络到一个异质平衡点,即同一个组中的节点达到同复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 2008年 12月 分别生 成了线性耦 合的束 流输 运 网络 ，每个 节点 由粒 子运动轨 道 的受控包 络 (束晕 一混沌 )方程 描述 。从线 性耦合 网络的 同步判 定条 件 ，选 取合 适 的耦 合强 度 C，可 达到控 制束 流输 运 网络 的同步 。设计 的线 性控 制器 为 G=c ’ ， ，i=1，2，… ，Ⅳ。根据 同步稳定判 据 ，只有 当任 意两个节点 之问最大 同步误差 D… 趋 于0时 ， 复杂动 力学 网络 才达到 了同步 。数 值计算 表明 ：对 于 BTN．WS模 型在适 当的耦合强 度和所 有演化概 率下 D… 趋 于 0，则 BTN—WS网络达 到了 同步 。其 中取 不 同耦合 强度 c=2，C=5和演化概 率P =0．04，0．4，0．9时 ，对 于 WS模 型和 SD模 型下束流 输运 网络 分别都 达到 了同步 。该结 果 的意 义是 ：在 无 WS拓 扑结构时 应用线性 反 馈控制 不能实现束 晕 一混沌 同步 ，一旦有 了 WS拓扑结构 就可实 现 了 ，这是 以前 所没 有 的新 结果 ，对束 流 实 验研究 和工程设计具 有一定 的参考 意义 。 我们 不仅能够 实现上述束 晕 一混沌 的同步控 制 ，而且可 以稳定 控 制束晕 一混 沌达 到所期 望 的周期 态 。 在 BTN—WS网络 中 ，我们 设计 了特 殊而简 单的控制 器 ： G=cJ∑= l nr 一5( 一1)，i=1，2，…，』7v 当取 C=0．1，N = 100，K =6时 ，分 别在具有 WS和 SD拓扑结 构的 BTN中实现 了单 周期态 的稳定控制 。 8 复杂混沌网络的 多目标分区同步的控制 卜 复杂混沌 网络的节 点多种多 样 ，依具 体问题 而定 。所 谓混 沌 网络指节 点 为非线 性 方程 或混 沌 的动力 学 方程 ，这 时 网络 的动力学 复杂性 和整体演 化的特性 是令人关 注 的另 一个课题 ，这类 网络 中的平 衡态 和周期 态 在不 同子网络 区域 的 同步与控制是 非线性 系统 中混沌控 制与 同步课 题研究 的延伸 和发展 。混沌 动力学方 程 具有大 量的不稳 定周期轨 道和多个 平 衡点 ，例 如 Lorenz方 程就 有 3个平 衡 点 ，混沌 吸引 子 内有无 限 个不 稳 定 周期 轨道 。虽 然 已可 把整个 网络的所 有节点控 制稳定 在一个平 衡点上 ，或如上 面控制稳定 到一个周期 态 。 但 目前 尚未看 到报道分 别 能够 实 现 复杂 网络 中 的多 目标 分 区同 步地 控 制 到不 同的 子 网络 内 。为此 ，我 们 CIAE—SJTU小组 合作把 复杂 网络 分成若 干数 目的子 网络 区域 ，子 网络数 目与所要平 衡 点和所 需周 期态数 目 的总和相等 ，然 后根据需 要分别 把各个平 衡点 和周期态稳 定控制 到相应 的子 网络 内。为此 ，我们提 出了一种 适 当的耦合控制 方法 ，证 明 了实 现这种控 制 的基 本定理 和方法是 有效性 的 ，从理论 上确保 在复杂 网络 中实现 上 述的多 目标 控制 。我们 已经 分别应 用该方法 于节点 为 Lorenz方 程和束 晕 一混 沌方 程 的复杂 网 络 中 ，数 值 模 拟验证 了理 论方法 的正确性 。例如 ，构 造具有 无标度 特性 的 BA 网络 ，规模 为 N=50 ，每个节 点是 Lorenz 混沌系统 。然后把整 个 网络 分成节点数 目分 别为 4，8和 38二三组 子网络 。然后分 别对 各个 子网络 中一个 节 点采 用 以各 自节点变量 与控制 的 目标态 之差值 为增益 的线性耦合 控制器 ，在满足 全局稳定性 定理要求 下 ，只 控制 每个 子 网络 中的一 个节 点 ，可 以实 现 网络分 区稳 定控 制 到 3个 的平衡 点 上 ：[8．4853，8．4853，27]， [0，0，0]和 [一8．4853，一8．4853，27]。 我们应 用上述类 似的耦合控 制方法 择取不 同参数 ，同样实现 了对 BTN—SF网络 中平 衡 点 、周 期态 和混沌 同步的控制 。这样 ，该 耦 合控 制方法可 根据 实际需 要把 大规 模 复杂 网络 控制 到不 同的子 网络 区域 的不 同 目 标 上 。 此外 ，牵 制控制 的重要 课题 是研究牵 制控 制策略 与网络 结构 的关 系。我 们利 用 一种新 的节点 重要 性指 标—— conlr0lRank(CR)来量化 网络 中节点 的重要 程度 ，充 分发 掘 了有 向 网络 的链 式 结构 特性 ，通 过牵 制具 有最 大 CR值 的节点设计 了一种新 的牵制 策 略 ，建立 了有 向 网络结 构 与牵制 控 制策 略 的联 系。在 有 向无标 度 网络巾验证 了这种基 于 CR值 的牵 制控 制策略 的有效性 ，与 以往随机牵制 节点 、牵制 最大 出度 等牵制 策略 相 比 ，牵 制具有 最大 CR值节点 的控 制策 略取得 了最好 的控 制效果 。 已有 的研 究表 明 ，通 过对 网络 中的至少一个 节点增加 线性误 差反馈控 制 ，可 以使得 网络 中所有 的节点都 被 控制到 同步状 态 。很 多 网络 中的节点 可 以分 为几组 ，其 中同一个 组 中的节点起 着相 同的作 用 ，不 同组 中的 节点起着 不同的作 用。我们研 究 了控制 一 个复杂动态 网络 到一个 异 质平衡 点 ，即 同一 个 组 中的节 点达 到 同