《复杂系统与复杂性科学》：网络科学的理论模型及其应用课题研究的若干进展（方锦清、汪小帆、郑志刚）

第5卷第4期 复杂系统与复杂性科学 Vol 5 No 4 008年12月 COMPLEX SYSTEMS AND COMPLEXITY SCIENCE Dec.2008 文章编号:1672-3813(2008)04-0001-20 网络科学的理论模型及其应用课题研究的若干进展 方锦清',汪小帆2,郑志刚 (1.中国原子能科学研究院,北京102413;2.上海交通大学自动化系,上海200240;3.北京师范大学物理系,北京100875) 摘要:概述了“一院两校”网络科学联合项目组在复杂网络的理论模型及相关应用 课题近年来的若干研究进展。首先,基于国际上三大经典的复杂网络模型(ER随 机图,小世界模型和无标度模型),结合统一混合理论框架里3个模型(和谐统一 的混合择优模型 混合网络模型和统一混合变速增加长模型),提出构建 描述和评论了网络科学模型金字塔;其次,把宏观网络推进到微观网络模型(量子 信息网络与纳米相干网络);然后概述了規则网络的非局域连接模型及其相关的 社区网络、属性连接的网络模型;含权科学家合作网络模型和提高网络冋步能力的模型等。相关应 用课题的进展包括:小世界和无标度拓扑下束流输运网络中柬晕一混沌同步与控制、复杂混沌网络 的多目标分区同步的控制及同步能力、多智能体网络系统、网络上的交通拥塞与路由问題、网络上 的病毒传播问题、网络上的博弈问题,以及高科技企业网络等。这些进展反映和揭示了当前国内外 网络科学同步发展的趋势和面临的挑战。 关键词:网络科学;理论楼型:网络金字塔;小世界效应;无标度特性;动力学复杂性;应用相关课题 中图分类号:0231.3;N93 文献标识码:A Several Advances in Theoretical Modeling and related Application Subjects for Network Science FANG Jin-qing, WANG Xiao-fan, ZHENG Zhi-gang (1. China Institute of Atomic Energy, Beijing 102413, China; 2. Department of Automation, Shanghai Jiaotong University Shanghai 200240, China; 3. Physics Department, Beijing Normal University, Beijing 100875, China) Abstract This review puts emphasis on a description of main progresses in theoretical modeling and as- sociated with application subjects of network science supported by the key program of National Nature Sci ence Foundation of China for our united network research group of"One Institute and Two Universities China Institute of Atomic Energy, Shanghai Jiaotong University and Beijing Normal University ) First ly, based on deep analysis of three milestones of network science work theoretical frame with three models( Harmonious unifying hybrid preferential network model, Large unified hybrid network model and unified hybrid network model with variable speed growing ) complex network model pyramid is suggested, described and summarized briefly. Secondly, theoretical model of the macro-network is impelled toward micro-network, the quantum information network model and the 收稿日期:2008-08-28 基金项目:国家自然基金重点资助项目(70431002) 作者简介:方锦清(1939-),男,福建莆田人,研究员,博导,主要研究方向为网络科学与非线性-复杂性科学

第 5卷第 4期 2008年 12月 复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 C0MPLEX SYSTEMSAND C0MPLEXITY SCm NCE Vol_5 Dec． NO．4 2008 文 章 编 号 ：1672—3813(2008)04—0001—20 网络科学的理论模 型及其应用课题研究的若干进展 方锦清 ，汪小帆 ，郑志刚 (1．中 国原 子 能科 学 研 究 院 ，北 京 102413；2．上 海 交 通 大 学 自动化 系 ，上 海 200240；3．北 京 师范 大 学 物 理 系 ，北 京 100875) 摘要 ：概 述 了“一 院两校” 网络科 学联合 项 目组在 复杂 网络的理论模 型及相 关应 用 课 题近年 来的若 干研 究进展 。首 先 ，基 于 国际上 三 大经典 的 复杂 网络模 型 (ER随 机 图，小世界模 型和无标 度模 型 )，结合 统 一混 合 理论 框 架 里 3个模 型 (和谐 统 一 的混合择 优模型 、大统 一 混合 网络模 型 和统 一 混合 变速增 加 长模 型 )，提 出构建 、 描述和 评论 了网络科 学模 型金 字塔 ；其 次 ，把 宏观 网络推 进 到微 观 网络模 型 (量子 信 息网络与纳 米相干 网络 )；然后 概述 了规 则 网络 的非 局域 连接 模 型 及其 相 关的 社 区网络 、属性 连接 的网络模型 ；含权科 学 家合作 网络模 型和提 高 网络 同步能力 的模 型等 。相关应 用课题 的进展 包括 ：小世界 和无标 度拓扑 下束流 输运 网络 中束 晕 一混沌 同步与控 制、复杂 混沌 网络 的多 目标分 区同步的控 制及 同步 能力 、多智能体 网络 系统 、网络 上 的 交通拥 塞与路 由 问题 、网络 上 的病毒传播 问题 、网络 上的博 弈问题 ，以及 高科技 企业 网络等 。这些进展 反映和揭 示 了3"-前 国内外 网络科学 同步发展 的趋 势和 面临的挑战 。 关键 词 ：网络科 学 ；理论 模型 ；网络金 字塔 ；小世界 效应 ；无标度特 性 ；动 力学复杂性 ；应 用相 关课 题 中图分 类号 ：0231．3：N93 文 献标识码 ：A SeveralAdvancesin TheoreticalM odeling and Related ApplicationSubjectsforNetworkScience FANG Jin—qing ，W ANG Xiao．fan ，ZHENG Zhi—gang (1．ChinaInstituteofAtomicEnergy，Beijing102413，China；2．DepartmentofAutomation，ShanghaiJiaotongUniversity， Shanghai200240，China；3．PhysicsDepartment，BeijingNormalUniversity，Beijing100875，China) Abstract：Thisreview putsemphasison adescription ofmain progressesin theoreticalmodelingandas— sociatedwithapplicationsubjectsofnetworksciencesupportedbythekeyprogramofNationalNatureSci— enceFoundationofChinaforourunited network research groupof“OneInstitute and TwoUniversities” (ChinaInstituteofAtomicEnergy，ShanghaiJiaotongUniversityandBeijingNormalUniversity)．First— ly，basedondeepanalysisofthreemilestonesofnetwork sciencedevelopmentand theunifiedhybridnet￾worktheoreticalflamewiththreemodels(Harmoniousunifyinghybridpreferentialnetworkmodel，Large unifiedhybridnetworkmodelandunifiedhybridnetworkmodelwithvariablespeedgrowing)，complex network modelpyramid issuggested，described and summarized briefly． Secondly，theoreticalmodelof themacro．network is impelled toward micro—network，the quantum information network modeland the 收 藕 日期 ：2008—08—28 基金项 目：国家 自然基金重点资助项 目(70431002) 作者简介 ：方锦清(1939一)，男，福建莆田人 ，研究员 ，博导 ，主要研究方向为网络科学 与非线性 一复杂性科学

2 复杂系统与复杂性科学 008年12月 hexagonal nanowire coherent network are proposed and investigated Thirdly, a regular network model with only a few nonlocal couplings is proposed, partial synchronization is numerically and theoretically discussed and applied to discussions of synchronizations between sparsely coupled communities. Then the scientist cooperation evolution model and some models/methods of improved network synchronizability are briefly introduced. Associated with application subjects of network include synchronization and control of halo-chaos in transport network with small-world or scale-free topology, multi-goal control in different b-networks connected by chaotic dynamics, multiple intelligent agent system, traffic and routing prob- lem on the internet, spreading problem and gaming on the networks, high-tech networks and so on These topic advances basically reflect and reveal development trend of network science research and face severe challenges at home and abroad Key words: network science; theoretical modeling; network pyramid; small-world effect; scale-free dy- ociated subject with application of complex network 1引言 自然界和人类社会中网络无处不在,五彩缤纷,触手可及,应用广泛。自从1998年 Watts与 Stroma 1999年 Barabasi与 Albert3*分别发现了小世界(SW)网络和无标度(SF)网络以来,国内外复杂网 络取得了突飞猛进的进展,网络科学及其应用研究已经成为当前国内外的一个前沿热点课题,具有巨 大的应用前景。在国内外推动和国家自然科学基金的支持下,中国原子能科学研究院(CIAE),上海交通大 学(SJTU)和北京师范大学(BNU)共同组成网络科学联合研究组,简称“一院两校”,近年来开展了非线性复 杂网络的动力学复杂性硏究,该项目涉及物理科学、计算机与信息科学、应用数学、社会经济科学等众多广泛 交叉的科学。为了探索和科学理解复杂网络的定性特征与定量规律,我们以非线性动态复杂网络系统作为 主要研究对象,结合物理系统、互联网、科学家合作网、高科技网络及相关社会网络等若干典型的复杂网络 提出和建立合理的网络理论框架,探索复杂网络的复杂性与普适性,研究复杂网络的动力学同步与控制方 法,包括完全同步和广义(部分)同步、同步化能力、物理机制及其转变规律,探索网络拓扑结构与网络动力 学之间的关系,研究与复杂网络应用相关的课题,包括复杂网络上的拥塞与路由问题、拥塞与博弈问题、病毒 传播等 小世界效应和无标度特性两项开创性的理论工作为复杂网络理论研究奠定了基础,由此诞生了一门广 泛交叉的科学——网络科学·,标志着复杂网络研究进入了网络科学的新时代。美国20世纪50名有影响 的科学家之一的E.0.Wlon指出:“今天最大的挑战性,不仅是细胞生物学和生态学,而是科学的所有方 面,特别是如何精确地和完全地描述复杂系统。……下一步的任务就是怎么综合起来,至少在数学模型方面 必须抓住整个系综的关键性质。”国内外发屐表明:网络科学的理论模型及其应用的探索是最具挑战性课 题。为此,我们联合组已经探索了若干有意义的网络理论模型和相关应用课题。根据目前初步统计,迄今整 个项目组已经发表了100多篇论文,分别发表在 Phys Rev E(物理评论E), Phys Lett A(物理快报A),Eun phys Lett(欧洲物理快报), Phys A,(物理A), Advance in Complex Systems(复杂系统进展), Int J Moder Phys B(国际现代物理B), Chin Sci g(中国科学G), Chin Phys Lett(中国物理快报), Commn Theor Phys(理论物 理通讯), Chin Phys(中国物理), IEEE Transactions on Systems(IEEE电路与系统汇刊),中国科学、物理学进 展、物理学报、自然科学进展、复杂系统与复杂性科学、科技导报、计算机工程与应用、系统工程学报、通信学 报等20多种国内外刊物上,这些成果反映了本项目取得的有意义的进展,本文只是简介和评述近年的主要 进展概况。 2探索网络模型金字塔及其奥妙 网络科学的发展迄今经历了3个里程碑-212-13,每个里程碑无一不是从理论模型首先取得突破的

· 2· 复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 2008年 l2月 hexagonalnanowirecoherentnetwork are proposed and investigated． Thirdly，a regularnetwork model with only a few nonlocalcouplingsisproposed，partialsynchronization isnumerically and theoretically discussed andappliedtodiscussionsofsynchronizationsbetweensparselycoupledco,mmunities．Thenthe scientistcooperation evolution modeland somemodels／methodsofimprovednetwork synchronizabiltyare brieflyintroduced．Associatedwithapplicationsubjectsofnetworkinclude：synchronizationandcontrolof halo—chaosin transportnetwork with small-world orscale—free topology， multi—goalcontrolin diferent sub·networksconnected bychaoticdynamics，multipleintelligentagentsystem，trafficand routing prob— lem on the internet， spreading problem and gaining on the networks，high—tech networks and SO on． Thesetopicadvancesbasically reflectandrevealdevelopmenttrendofnetwork scienceresearchandface severechallengesathomeand abroad． Key words： network science；theoreticalmodeling；network pyramid；small—world effect；scale—free；dy— namicalcomplexityanduniversality；associatedsubjectwithapplicationofcomplexnetwork 1 引言 自然界 和人类社 会 中 网 络 无 处 不 在 ，五 彩 缤 纷 ，触 手 可 及 ，应 用 广 泛 。 自从 1998年 Watts与 Stroga． tz 。 、 1999年 Barabasi与 Albert 分别发现 了小世 界 (SW )网络 和无 标 度 (SF)网络 以来 ，国 内外 复 杂 网 络取 得 了突 飞猛进 的进展 ，网络科 学及 其 应用研 究 已经 成 为 当前 国内外 的一 个前 沿热 点 课题 ，具 有 巨 大的应用前景 。在 国内外推动 和 国家 自然科学 基金 的支 持下 ，中国原 子能 科学 研究 院 (CIAE)，上 海交 通 大 学 (SJTU)和北 京师范大 学 (BNU)共 同组 成 网络 科学联 合研 究组 ，简称 “一 院两校 ”，近年 来开 展 了非线 性 复 杂网络 的动 力学复 杂性 研究 ，该 项 目涉 及物理 科学 、计算 机 与信息科学 、应用数学 、社会经 济科学等 众多广泛 交 叉的科学 。为 了探 索和科学理 解 复杂网络 的定性特 征与 定量规 律 ，我们 以非线 性 动态 复杂 网络 系统 作 为 主要研究对 象 ，结 合物理 系统 、互联 网 、科 学 家合作 网 、高科技 网络 及相 关社 会 网络 等若 干典 型 的复杂 网络 ， 提 出和建立 合理 的网络理论 框架 ，探索 复 杂 网络 的复 杂性 与普 适 性 ，研究 复 杂 网络 的动 力学 同步 与控 制方 法 ，包括 完全 同步 和广义 (部分 )同步 、同步化 能力 、物 理机 制及其 转变 规律 ，探索 网络 拓扑结 构 与 网络 动 力 学之间 的关 系 ，研 究与复杂 网络应用 相关 的课 题 ，包括 复杂 网络上 的拥 塞与路 由问题 、拥 塞与博弈 问题 、病 毒 传播等 。 小世 界效应 和无标度特性 两项 开创性 的理论工作 为复 杂 网络理论 研究 奠 定 了基础 ，由此 诞 生 了一 门广 泛交叉 的科学—— 网络科学 ，标 志着 复杂 网络 研究进 入 了网络科 学 的新 时代 。美 国 20世 纪 50名有 影 响 的科学家 之一的 E．O．Wilson指 出… ：“今天最 大的挑 战性 ，不仅是 细胞生 物学 和生 态学 ，而是科学 的所 有方 面 ，特别 是如何精 确地和完 全地 描述 复杂 系统 。 ……下一步 的任务就是 怎么综 合起来 ，至少在数学 模型方 面 必须抓住 整个系综 的关键性 质 。”国 内外 发 展表 明 ：网络 科 学 的理 论模 型及 其应 用 的探 索 是 最 具挑 战性 课 题。为此 ，我们联合 组 已经探 索 了若 干有意 义的 网络 理论模 型和相关应 用 课题 。根据 目前 初步统 计 ，迄今 整 个项 目组 已经发表 了 100多篇论 文 ，分 别发表在 PhysRevE(物理评论 E)，PhysLettA (物理快 报 A)，Eur physLett(欧洲物 理快报 )，PhysA，(物 理 A)，AdvanceinComplexSystems(复杂 系统 进展 )，IntJModerPhys B(国际现代物理 B)，ChinSciG(中国科学 G)，ChinPhysLett(中国物理快报 )，CommnTheorPhys(理论 物 理通讯 )，ChinPhys(中国物理 )，IEEETransactionsonSystems(IEEE电路 与系统汇刊 )，中 国科学 、物理学 进 展 、物理学 报 、自然科学进 展 、复杂 系统 与 复杂性科学 、科技 导报 、计 算机工 程与应用 、系统 工程 学报 、通 信 学 报等 2O多种 国内外 刊物上 ，这些 成果反 映 了本项 目取 得的 有意 义的进 展 ，本 文 只是 简介 和评 述 近年 的主要 进 展概况 2 探索网络模 型金字塔及其奥妙 网络科学 的发展迄今 经历 了 3个 里程 碑 ’ ，每个 里 程碑 无一 不 是 从理 论 模 型首 先 取得 突 破 的

第5卷第4期 方锦清,等:网络科学的理论模型及其应用课题研究的若干进展 因此,为了深入探索和全面了解复杂网络特性,我们首先深入分析了网络科学模型从无权网络到有权网络的 发展历程3-,提出了混合网络理论框架M-,从而提出、构建和描述了多层次的网络理论模型金字塔,如 图1所示,它总结了迄今网络模型研究的主要进展,揭示了网络金字塔的复杂性-简单性和多样性一普适 性,以及它们之间相互转变的错综复杂关系。 网络模型金字塔的最顶部(第5 层)是三大著名模型: Euler图论、ER 随机图、WS小世界网络和BA无标度 网络,它们标志着网络科学发展史上 的3个里程碑。第4层次是从无权网 络发展到有权演化网络模型 (WENM);第3层次是和谐统一混合 择优网络模型( HUHPM);第2层次是 大统一混合网络模型( LUHNM);第1 层次是统一混合变速增长网络(UH- NM-VSG);最底层是现实世界的许多 实际网络,这是金字塔的奠基层。以 下各节简述金字塔的不同层次,重点 是描述我们提出的第1层次至第3层 左边箭头从上到下表明复杂性与多样性增加了 次 右边箭头从下向上指明简单性与普适性增强了 2.1金字塔的最顶层(第5层):3个 图1复杂网络金字塔示意图 网络发展里程碑 网络科学发展的3个里程碑位居 复杂网络模型金字塔的最顶层:第1个里程碑标志欧拉( Euler)规则图论的诞生,归功于图论之父欧拉的开 创性贡献,他最早在1736年的论著中首先解决了著名的柯尼斯堡七桥问题和多面体的欧拉定理2,从此开 创了图论这门新的数学分支。第2个里程碑是两位著名的匈牙利数学家Erds(爱多士)和 Renyi,他们在 20世纪50年代末和60年代建立了著名的随机图理论3,用相对简单的随机图来描述网络,简称ER随机图 理论,他们成功地揭示了随机网络的许多重要性质都是随着网络规模的增大突然涌现的,他们创立的ER随 机图理论为图类的阈函数和巨大分支涌现的相变等提供了研究网络的一种重要的数学理论,爱多士被誉为 20世纪的欧拉,并于1984年获得数学界的最高奖——一沃尔夫奖。用图论的语言和符号精确简洁地加以描 述各种网络,为数学家和物理学家等提供了描述网络的共同语言和研究平台,至今仍然是网络科学研究的有 力方法之一。网络科学发展的第3个里程碑,首先是美国Was和 Stromal冲破了ER理论框框,提出了小世 界(SW)网络模型,揭示了复杂网络的小世界特性:较短的平均路径长度和较大的群聚系数。接着,1999年 美国 Barabasi与 Albert提出了一个无标度(SF)网络模型"-1,发现了复杂网络的度分布具有幂函数形式 即无标度性质。小世界网络和无标度网络的发现,在国际上产生了广泛而深刻的影响,不仅具有重大的先锋 意义,而且极富创新性和启迪作用,证明大多数真实网络既不是规则网络,也不是随机网络,而是混合网络 兼具小世界和无标度特性,具有与规则网络和随机图皆不同的统计特性152-3),这些特性在现实世界网 络中具有普遍意义,由此开辟了网络科学的新时代,普遍受到了空前的关注和广泛的重视,研究遍及自然科 学、社会科学、技术科学、工程技术等众多科学领域,近10年来网络科学取得了突飞猛进的发展。可见网络 科学3个里程碑当之无愧屹立在网络金字塔的最顶层(第5层),像一盏灯塔照耀着网络科学的发展历程。 2.2金字塔的第4层:WENM 不难发现:网络金字塔的最高层三大模型都是无权网络,它确实石破天惊,反映了现实世界网络主要的 基本特性,并深刻地揭示了无标度特性产生的两个主要机制:网络增长和随机择优(偏好)连接。然而,随着

第 5卷第 4期 方锦清 ，等 ：网络科学的理论模 型及其应用课题研究的若干进 展 因此 ，为 了深入探索 和全 面了解复 杂网络特性 ，我们 首先深 入分析 了网络科学模 型从 无权 网络 到有权 网络 的 发展历程 ，提 出 了混合 网络理论 框架 …。 ，从 而提出 、构 建和描 述 了多层 次 的网络 理论模 型金字塔 ，如 图 1所示 ，它总结 了迄今 网络模型研 究 的主要 进展 ，揭 示 了 网络 金字 塔 的复 杂性 一简 单性 和 多样 性 一普 适 性 ，以及 它们 之 间相 互转 变的错综 复杂关 系。 网络模 型 金 字 塔 的最 顶 部 (第 5 层 )是 三 大著 名 模 型 ：Euler图论 、ER 随机 图 、WS小世 界 网络 和 BA无标 度 网络 ，它们 标 志 着 网络 科学 发展 史 上 的 3个里程 碑 。第 4层次是从 无权 网 络 发 展 到 有 权 演 化 网 络 模 型 (WENM)；第 3层 次是 和谐统 一混 合 择优 网络模 型 (HUHPM)；第 2层次 是 大统一混 合 网络模 型 (LUHNM)；第 1 层次是 统 一混 合 变 速 增 长 网络 (UH— NM—VSG)；最底层 是 现实 世 界 的许 多 实际 网络 ，这是 金 字 塔 的奠 基 层 。以 下各节简 述金 字 塔 的 不 同层 次 ，重点 是 描述我们 提 出的第 l层次 至第 3层 次 。 2．1 金字塔 的最顶层 (第 5层 )：3个 网络发展 里程碑 左 边 箭头 从 上 到 下表 明 复 杂性 与 多 样性 增 加 了 ； 右 边 箭 头从 下 向 上 指 明简 单 性 与普 适 性 增 强 了 。 图 1 复 杂 网 络金 字 塔 示 意 图 网络科 学发展 的 3个里程 碑位居 复杂 网络模型金 字塔的最顶 层 ：第 1个里程碑 标 志欧拉 (Euler)规 则 图论 的诞生 ，归 功 于 图论 之 父欧 拉 的开 创性贡献 ，他最早 在 l736年 的论 著 中首先解决 了著名 的柯尼 斯 堡七桥 问题 和多 面体 的 欧拉 定理 ，从此 开 创 了图论 这 门新 的数学分 支 。第 2个里 程碑是 两位著 名的匈牙 利数学 家 Erdtis(爱 多士 )和 Renyi，他 们在 20世 纪 50年代末 和 60年代建立 了著名 的随机 图理论 ，用相对简 单的随 机图来描 述 网络 ，简称 ER随 机图 理论 ，他们成功地 揭示 了随机网络 的许 多重要 性质都是 随着 网络规模 的增大 突然 涌现 的 ，他 们创立 的 ER随 机 图理论 为图类 的阈函数 和巨大分 支涌现 的相 变等提 供 了研究 网络 的一 种重 要 的数学 理论 ，爱 多士 被誉 为 20世 纪的欧拉 ，并 于 l984年 获得数 学界 的最 高 奖—— 沃尔夫 奖 。用 图论 的语 言 和符 号精 确 简洁 地加 以描 述各种 网络 ，为数学 家和物理 学家等提 供 了描 述 网络 的共 同语 言和研究 平 台，至 今仍然 是网络科 学研究 的有 力方法之一 。 网络科 学发 展的第 3个 里程碑 ，首 先是美 国 Watts和 Strogatz冲破 了 ER理论 框框 ，提 出了小世 界 (SW)网络模 型 ，揭示 了复杂 网络 的小 世 界特性 ：较 短 的平 均路 径长 度 和较 大 的群 聚系 数 。接 着 ，1999年 美 国 Barabasi与 Albert提 出 了一个 无标度 (SF)网络模 型 … ，发现 了复 杂 网络 的 度分 布具 有幂 函数 形式 ， 即无标度性 质 。小世 界 网络 和无标度 网络 的发 现 ，在 国际上产 生 了广泛 而深刻 的影响 ，不仅具有 重大的先锋 意义 ，而且极 富创新性 和启迪 作用 ，证 明大多数 真实 网络既 不是 规则 网络 ，也不 是随 机 网络 ，而是 混合 网络 ， 兼具小世 界和无标度 特性 ，具 有与规 则 网络 和 随机 图 皆不 同的统 计特 性 ，这些 特 性 在现 实世 界 网 络中具有普遍 意 义 ，由此开辟 了 网络科 学 的新 时代 ，普 遍受 到 了空前 的关 注和广 泛 的重 视 ，研 究遍 及 自然科 学 、社 会科学 、技术科 学 、T程 技术等众 多科学 领域 ，近 10年来 网络科学 取 得 了突 飞猛进 的发展 。可 见 网络 科学 3个里程 碑 当之 无愧屹立 在网络 金字塔 的最顶层 (第 5层 )，像 一盏灯塔 照耀着 网络科学 的发展 历程。 2．2 金字塔 的第 4层 ：WENM 不 难发现 ：网络金字塔 的最高层 三大模 型都是无权 网络 ，它确 实石 破天 惊 ，反映 了现 实世 界 网络 主要 的 基本特性 ，并深刻地 揭示 了无 标度特性 产生 的两个主要 机制 ：网络增长 和随 机择 优 (偏 好 )连接 。然 而 ，随着

复杂系统与复杂性科学 2008年12月 网络增长模型研究的深入,许多研究进一步揭示和完善了产生小世界和无标度特性的物理机制的多样性,例 如,复制、最近邻连接、点强驱动、边权驱动、适应度等多种混合驱动机制式。研究越来越多地发现:现实世界 中实际网络节点之间相互作用的重要性程度和影响作用并非相同,具有复杂性和多样性,因此,必须在无权 网络研究的基础上,进一步研究加权演化网络,以便更深入捕捉和揭示真实网络上动力学特征与拓扑结构之 间的联系,以及权重变化对网络演化特性或系统功能所产生的重要影响。于是,在三大基本模型基础上,科 学家不断开拓创新,2000年开始陆续提出了许多有意义的有权网络模型。例如,BBV权重演化模型2提 出点强度驱动和边权逐渐加强的双驱动机制,同时得到点度、点权和边权的3种幂律分布,且依赖于权重参 数δ和训。但是该模型还无法反映真实网络中群聚系数较大和异配相称性系数问题。中国科大小组提出 交通流驱动有权网络(TDE)模型,除了获得点度、点权和边权的3个幂律分布外,还给出高群聚性和异配相 称性特征,克服BBV模型的不足。 纵观文献可见,当前有权网络模型主要是广义随机网络模型,归纳起来,根据网络节点之间连边概率p 不同,迄今有如下有权网络的主要生成方式和基本特点:1)点强驱动机制;2)边权驱动机制;3)点强与边权 混合择优驱动机制,或点强或边权的耦合排序择优;4)权重和适应度联合驱动机制;5)拓扑生长和强度耦合 同步联合驱动机制;6)“近水楼台先得月”机制,即地理位置最(次)邻近优先连接;7)利用邻近局域信息;8) 权重驱动与局域世界规则联合驱动机制;9)拓扑结构与动力学(或网络功能)演化相互影响机制,等等。总 之,在这些驱动机制下,几乎现有的有权演化网络模型的度分布、点强分布和边权分布都服从幂律分布,只是 幂指数不同而已,这就是金字塔第4层次的规律和特色所在,它揭示了多个幂律分布规律及其形成的物理机 制的多样性和复杂性。因此,在最高层次的无权网络的基础上,自然推进到WENM,作为网络金字塔的次高 层次。 23金字塔的第3层次: HUHPM-1 可以看到:第4层次所有有权网络模型几乎都属于广义随机网络模型,都忽视了确定性驱动机制,没有 反映现实世界中自然和谐统一的随机性与确定性两种混合连接的可能方式。究其最主要原因是两种混合情 形从理论上很难求得解析解,目前还缺乏有力工具和好方法。因此,进一步完善和发展网络的混合理论模型 是网络模型研究的最重要方向之一。大量研究发现:许多实际网络兼有小世界特性和无标度性质,但是又不 尽如此,而是存在错综复杂的不同特性之间的转变。为了揭示实际网络的完全特性,更好反映随机性与确定 性连接混合生长的真实网络特性,我们提出了 HUHPM构成网络金字塔的第3层次,其特点是,为了克服无 权BA网络模型和许多有权网络模型缺乏确定性择优的不足,考虑确定性择优思想,模型只引人一个总混合 比dr d总确定性择优时间步数(DA) r-总随机性择优时间步数(RA) (1) 这里,d为总确定性连接时数(DA);r为总随机性连接时数(RA);d、r∈[0,+∞),由此确定一个总混合比。 HUHPM表现出具有不同特点的3种典型的混合情形:1)如果dr<1/1,则属于随机性连接占主导情形;2)如 果如=l/1,则属于随机性与确定性两种连接相同(平分秋色,或势均力敌)情形;3)如果d≯1/1,则属于确 定性连接占主导情形。1)和2)两种都是不对称混合连接。在 HUHPM中,网络性质和生长所需的规模大小 都完全取决于一个总混合比dr。该层次 HUHPM模型能够较好地描述从规则(确定性)和随机网络之间的 转变特性。在网络生长演化过程中总混合比d大小是唯一的调控参数,实施随机性择优与确定性择优相 结合,双择优思想与方法适用于任何现有的典型模型,如无权BA模型、有权BBV模型和TDE模型,分别称 为 HUHPM-BA网络, HUHPM-BBⅤ网络和 HUHPM-TDE网络,以此类推。第3层次研究发现:除了得到原来 模型的主要结果外,新发现了混合网络的一些普适规律。首先,无权和有权 HUHPM网络(如 HUHPM-BA、 HUHPM-BBⅤ与 HUHPM-TDE)中的节点度,点强和边权3种分布都服从幂律分布,并且所有幂指数y都对 总混合比山r的变化具有敏感性,随着log(dr)的增加而增加。理论导出了幂指数γ与混合比d及权重参数 之间存在的复杂解析关系,不论是无权网络,还是有权网络,它们的幂律指数y与混合比dr以及与权重参

复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 2008年 l2月 网络 增长模 型研究 的深 入 ，许 多研 究进 一步揭示 和完善 了产生 小世界 和无标度特 性的物理 机制 的多样性 ，例 如 ，复制 、最 近邻 连接 、点强驱动 、边权驱 动 、适应 度等 多种混合 驱动机制式 。研究 越来越 多地发现 ：现实世界 中实 际 网络 节点之间相 互作用 的重要性 程度 和影 响作 用并 非相 同 ，具 有复 杂性 和 多样性 ，因 此 ，必 须在 无权 网络 研究 的基 础上 ，进 一步研究 加权演 化网络 ，以便更 深入捕 捉和揭示 真实 网络上 动力学 特征与拓 扑结构之 间的联系 ，以及权重 变化对 网络 演化特性 或 系统 功能 所产 生 的重要 影响 。于是 ，在 三大基 本 模型 基础 上 ，科 学 家不断开 拓创新 ，2000年 开始陆续提 出 了许 多有意 义的有权 网络模 型” 。例如 ，BBV权 重演化模 型 提 出点强度驱 动和边权 逐渐加强 的双驱 动机制 ，同时得 到点度 、点 权和边 权 的 3种 幂 律分 布 ，且 依赖 于权 重参 数 6和 W 。但 是该模 型还无法 反映真 实 网络 中群 聚 系数 较大 和异 配相 称性 系数 问题 。中 国科 大 小组 提 出 交通 流驱动 有权 网络 (TDE)模 型 ，除 了获得点 度 、点权 和边权 的 3个幂 律分 布外 ，还 给 出高群 聚性 和 异配相 称性 特征 ，克 服 BBV模 型的不 足。 纵观文 献可见 ，当前有权 网络模 型主要 是 广义 随机 网 络模 型 ，归 纳起 来 ，根据 网络 节点 之 间连边 概 率 P 不同 ，迄今有 如下有 权 网络 的主要生 成方式 和基本 特点 ：1)点强 驱 动机 制 ；2)边 权驱 动机 制 ；3)点强 与边权 混合择优驱 动机制 ，或点强或 边权 的耦 合排序 择优 ；4)权重和适 应度联 合 驱动机 制 ；5)拓 扑生 长和强 度耦 合 同步联合驱 动机制 ；6)“近水楼 台先得月 ”机制 ，即地理位 置最 (次 )邻 近优 先连 接 ；7)利用 邻近 局域信 息 ；8) 权 重驱动 与局域世界 规则联 合驱动机 制 ；9)拓 扑结 构 与动 力学 (或 网络功 能 )演化 相互 影 响机制 ，等 等 。总 之 ，在这些 驱动机 制下 ，几乎 现有 的有 权演化 网络模 型的度分 布 、点强 分布和边 权分布 都服从幂 律分布 ，只是 幂指数不 同而 已 ，这 就是金字 塔第 4层 次的规 律和特 色所在 ，它揭示 了多个幂 律分布规 律及其形成 的物理 机 制的多样性 和复杂性 。因此 ，在最高 层次 的无 权 网络 的基础 上 ，自然 推进 到 WENM，作 为网络 金字塔 的次 高 层次 。 2．3 金 字塔的第 3层次 ：HUHPM ll 可以看到 ：第 4层次所有 有权 网络模型几 乎都属 于广 义随 机 网络 模 型 ，都 忽视 了确 定性 驱 动机制 ，没有 反映 现实世界 中 自然和谐统 一的随机 性与确 定性两种 混合连 接 的可能方式 。究其最 主要原 因是 两种混合情 形从 理论上很 难求得解 析解 ，目前还 缺乏有力 工具 和好方法 。 因此 ，进 一步完 善 和发展 网络 的混合理论模 型 是 网络模型研 究的最重要 方 向之一 。大量研 究发 现 ：许多 实际 网络兼 有小世 界特性 和无标度性 质 ，但是 又不 尽 如此 ，而是存 在错综 复杂的不 同特 性之 间的转变 。为 了揭 示实 际网络 的完全特性 ，更好反 映随机性与 确定 性连 接混合生 长的真 实网络特 性 ，我们 提 出了 HUHPM，构 成 网络金 字塔 的第 3层次 ，其特点 是 ，为了克服 无 权 BA网络模型 和许 多有权 网络模 型缺乏确定 性择优 的不 足 ，考虑确 定性择优 思想 ，模 型只引 入一个 总混 合 比 ： 一 ， d 总确 定性择 优时间步 数 (DA) ，，、 r 总 随机性择 优时 间步数 (础 ) 这里 ，d为总确定性 连接时数 (DA)；r为 总随机性 连接时数 (RA)；d、r∈[0，+∞)，由此 确定 一个 总混合 比。 HUHPM表现 出具有不 同特点 的 3种典 型的混合情 形 ：1)如果 dr<<l／1，则属 于随机性连 接 占主导情 形 ；2)如 果 dr=l／1，则属 于随机性 与确 定性两 种连接相 同(平 分秋 色 ，或势 均力 敌 )情形 ；3)如果 》 1／1，则 属 于确 定性连 接 占主 导情形 。1)和 2)两种都是 不对称 混合连 接。在 HUHPM 中 ，网络性质 和生 长所 需 的规 模 大小 都完 全取决于 一个总混合 比 dr。该 层 次 HUHPM模 型 能够 较好 地 描述 从规 则 (确定性 )和 随机 网络 之 间的 转变 特性 。在 网络生长 演化过程 中总混 合 比 dr大 小是 唯 一 的调控 参数 ，实施 随机 性择 优 与确定 性 择优 相 结合 ，双择优思 想与方法适 用于任何 现有 的典型模 型 ，如 无权 BA模 型 、有权 BBV 模型 和 TDE模 型 ，分别 称 为 HUHPM—BA网络 ，HUHPM．BBV网络和 HUHPM—TDE网络 ，以此类推 。第 3层次研 究发现 ：除 了得到 原来 模型 的主要结果外 ，新发 现 了混合 网络 的一 些普 适规 律 。首先 ，无权 和有 权 HUHPM 网络 (如 HUHPM—BA 、 HUHPM-BBV与 HUHPM—TDE)中 的节点度 ，点 强 和边权 3种 分布 都服从 幂 律分 布 ，并且 所 有幂指 数 '，都 对 总混合 比 的变化 具有敏感性 ，随着 log(dr)的增 加而增加 。理论 导 出了幂 指数 与混 合 比 dr及 权重 参数 之间存在 的复杂解析关 系 ，不论是 无权 网络 ，还 是有权 网络 ，它 们 的幂律指 数 与混合 比 dr以及 与权重 参

第5卷第4期 方锦清,等:网络科学的理论模型及其应用课题研究的若干进展 5 数(8,切)和连接边数m之间都存在复杂的指数及参数成反比的复合关系,并非原来模型中简单的指数关 系,所有公式都与混合比和权重参数(d/r,δ,)之间相互关联,说明这种错综复杂的拓扑关系与产生的网 络混合方式、结构、模型类型(参数)等紧密相关,这样第3层次揭示了两种混合择优网络既保持了和谐混合 共存,又能体现它们之间的相互作用与竞争的状况。其理论结果与数值模拟结果相一致。同时 HUHPM网 络具有更突出的小世界特性(最短平均路径距离L和最大的平均群聚系数C),更符合许多实际网络的拓扑 特性27281。此外,当满足网络同步第一判据(类型I)时该层次增强了网络同步能力;网络的熵随着d增加 而减少,可增强网络系统的自组织的有序度13)。总之,第3层次 HUHPM模型,在采取双择优后,通过调 控一个总混合比达到和谐统一,同时产生了无标度特性和小世界效应,并出现了网络新特点 2.4金字塔的第2层次: LUHNM1-21 第3层次 HUHPM模型不足是:它仅仅考虑两大类的择优连接方式,还不能完全地反映实际世界网络形 成中存在连接方式的多样性和复杂性。因为不论随机性连接,还是确定性连接,只考虑一种择优方式,而不 考虑其他的可能连接方式,并不完全符合实际情形。在现实世界网络中,随机性和确定性两大类连接都存在 多种混合方式,比如,既可择优,又能扶贫,还有折中、平衡、特殊等其他多种混合连接方式。因此,我们把 HUHPM推广到 LUHNM,其特点是在总混合比dr下,又分别引人了2个混合比:一是随机混合比gr定义为 般随机连接的时步数(GRA) 总随机性连接的时步数(RA) (2) 是确定性混合比fd定义为 =确定性扶贫连接的时步数(mP4) (3) 它们之间的关系为:DA=HPA+DPA,RA=GRA+RPA或DA=f+d,RA=g+r。根据实际需要,该模型还可 灵活增加混合比个数。因此,第2层次模型形成了具有多个混合比的大统一混合网络模型。该模型包括了 不对称连接比。第2层次与第3层次类似,存在3种不同的典型混合情形。第2层次模型与第3层次模型 不同的是考虑了3个混合比(dr,gr,fd)。研究显示了结构及特性的多样性和复杂性,把目前文献上绝大多 数网络模型类型基本都统一起来,作为特例包括在该理论框架内。第2层次 LUHNM网络通过3个混合比 灵活控制网络生长,能够更细致揭示复杂网络的特性。第2层次不仅囊括了前面各层次模型的主要结果,又 发现了新特性和新现象。值得关注的是度-度关联系数r(或相称性系数)通过调控3个混合比(dr,gr,f )参数,使r在(-1,1)大范围的正负值之间实现转变,并出现了多极值现象。在不同gr和d情形下发现 的与3个混合比(dr,gr,fd)之间关系错综复杂,既有线性关系,也有非线性关系,取决于3个混合比的不同 匹配、工作模式和大小。利用这个层次的理论结果,可以解释为什么社会网络和技术及生物网络之间的r出 现的差异。其次发现:累计度分布随着3种混合比的变化可在幂律函数分布和指数分布之间进行转变,一些 奥秘和规律隐藏在混合比的巧妙组合之中。因此,第2层次 LUHNM更具灵活性,无论无权和有权网络都能 通过调控3个混合比发现网络的新特点和新现象,且完全依赖于3个混合比的组合和变化。 25金字塔的第1层次:UHNMⅤSG1 进一步不难发现,即使在理论模型第2层次模型里,仍然还有考虑不周之处,即没有全面反映网络实际 增长情形,而网络演化变化必然影响网络特性。因为许多实际网络不论是节点的增减和边的增长速度都是 不同的,而且同时随时间和空间而变化。如中国四川汶川抗震救灾网、高技术网络、因特网、人类社会关系 网、通讯网等等,通常它们是随时间空间快速变化的。因此,我们又进一步构造了第1层次模型:UHNM VSG3,其特点是,在总混合比d及第2层次混合比基础上,又引进了一个变速增长混合比eg: DVG RVG 这里,DVG为确定性变速增长时步数;RVG为随机性变速增长时步数。 实际复杂网络存在多种变速增长方式,其中典型的变速方式之 m (t)=p(N(t)) (5)

第 5卷第 4期 方锦清，等 ：网络科学 的理论模型及其应用课题研究的若干进展 ·5· 数 (6，W)和连接边 数 m 之间都 存 在复 杂 的指 数 及参 数 成反 比的 复合关 系 ，并非 原 来模 型 中 简单 的指 数关 系 ，所有公式 都与混合 比和权 重参数 (d／r，6，W)之 间相 互关 联 ，说 明这 种错 综 复杂 的拓 扑关 系 与产生 的网 络混合 方式 、结 构 、模 型类型 (参 数 )等 紧密相关 ，这样 第 3层次 揭示 了两种混合 择优 网络既保持 了和谐混合 共存 ，又能体 现它们之 间 的相互 作用 与竞争 的状况 。其 理论结 果与 数值 模拟 结果 相一 致 。同时 HUHPM 网 络具有 更突 出的小世 界特性 (最 短平均路 径距 离 和最 大 的平 均群 聚系数 c)，更 符合 许多实 际 网络 的拓扑 特性 。此外 ，当满足 网络 同步第-N 据 (类 型 I)时该 层次 增强 了 网络 同步能力 ；网络的熵 随着 dr增加 而减少 ，可增强 网络系统 的 自组 织的有 序 度 。总之 ，第 3层 次 HUHPM 模 型 ，在 采取 双择 优后 ，通 过调 控一个 总混合 比达到 和谐 统一 ，同时产 生 了无标 度特性 和小世 界效应 ，并 出现 了网络新特 点。 2．4 金 字塔 的第 2层次 ：LUHNM I2 第 3层次 HUHPM模 型不足是 ：它仅 仅考虑两 大类 的择 优连接方 式 ，还 不能完全 地反映 实 际世界 网络形 成 中存 在连接方 式的 多样性和 复杂性 。因为不论 随机性 连接 ，还 是确定 性 连接 ，只考 虑一 种 择优 方式 ，而不 考虑其 他的可 能连接方 式 ，并不 完全符 合实际情 形 。在 现实世界 网络 中 ，随机性 和确定性 两大类连 接都存在 多种混 合方 式 ，比如 ，既可 择 优 ，又能 扶 贫 ，还有 折 中 、平 衡 、特 殊 等其 他 多种 混 合连 接方 式 。 因此 ，我 们把 HUHPM推广 到 LUHNM，其特点 是在 总混 合 比 下 ，又分别 引入 了 2个 混合 比 ：一是 随机混合 比 gr定 义为 一 g 一 般随机 连接 的时步数 (GRA) ， r 一 总随机性 连接 的时步数 (肼 ) 二是确 定性混 合 比 定义 为 ， ， 确定 性扶 贫连接 的时步数 (例 ) ，¨ jtt一 总确定性 连接 的时步数 ( ) 它们之 间的关 系为 ：DA= +DPA，t54=GRA+兄PA或 DA=，+d，RA=g+r。根 据 实际需 要 ，该 模 型还可 灵活增 加混合 比个数 。因此 ，第 2层 次模 型形成 了具有 多个混 合 比的 大统一 混合 网络模 型 。该 模 型包 括 了 不对称 连接 比。第 2层次 与第 3层 次类似 ，存在 3种 不 同的典 型混 合情 形 。第 2层 次模 型与 第 3层次 模 型 不 同的是考虑 了 3个混合 比( ，gr，．厂d)。研究显 示 了结 构及特性 的多样 性和 复杂性 ，把 目前 文献 上绝 大多 数 网络 模型类 型基本都统 一起来 ，作 为特 例包 括在 该理 论 框架 内。第 2层次 LUHNM 网络 通 过 3个 混 合 比 灵活控 制网络生 长 ，能够更 细致揭示 复杂 网络 的特性 。第 2层次不仅 囊括 了前 面各层 次模 型的主要结 果 ，又 发现 了新特性 和新现象 。值得关 注的是度 一度关 联系数 rr(或相 称性系 数 )通过 调控 3个 混 合 比(d，，gr， )参数 ，使 r在 (一1，1)大 范围的正 负值之 间实现转 变 ，并 出现 了多极 值现 象 。在不 同 g，和 ，d情形 下发 现 的与 3个 混合 比(dr，gr，fd)之 间关系错综 复杂 ，既有线性 关系 ，也 有非线性 关系 ，取决 于 3个 混合 比的不 同 匹配 、工作模式 和大小 。利用这个层 次 的理 论结果 ，可 以解 释为什 么社会 网络和技术 及生物 网络之 间的 r出 现的差异 。其次 发现 ：累计度 分布 随着 3种混 合 比的变化可在 幂律 函数分布 和指数分 布之 间进 行转变 ，一些 奥秘 和规律隐藏在 混合 比的巧妙组 合之 中。因此 ，第 2层次 LUHNM更具灵 活性 ，无 论 无权 和有权 网络 都能 通过调控 3个混合 比发现 网络 的新特 点 和新 现象 ，且 完全依 赖于 3个 混合 比的组合 和变化 。 2．5 金字塔 的第 1层次 ：UHNM．VSG¨ 进一 步不难发 现 ，即使 在理论模 型第 2层 次模 型里 ，仍 然还 有考 虑不 周之 处 ，即没 有全 面反 映 网络 实际 增 长情形 ，而 网络演 化变化必 然影 响网络特性 。因为许 多实际 网络 不论 是节点 的增 减 和边 的增 长速 度都 是 不同 的 ，而且 同时随时间 和空间而变 化 。如 中 国 四川汶 川I抗 震 救灾 网 、高 技术 网络 、因特 网 、人类 社 会关 系 网 、通讯 网等等 ，通 常 它们 是 随 时 间 空 问快 速 变 化 的。因 此 ，我 们 又进 一 步 构造 了第 1层 次 模 型 ：UHNM． VSG ，其特点 是 ，在 总混合 比 及 第 2层 次混合 比基础上 ，又引进 了一个变 速增长混 合 比 g： vg- (4) 这里 ，DVG为确定性 变速增长 时步数 ；RVG为随机性变 速增长 时步数 。 实际复杂 网络存在 多种 变速增长 方式 ，其 中典 型的变速方 式之一 ： m(t)=P(N(t)) (5)

复杂系统与复杂性科学 2008年12月 其中,m(t)为t时刻增加的节点连接边数,N(t)为t时刻网络的节点数目,p(t)为常数时属于确定性增长, 当为随机概率,00)等多种情形。这样,第1层次能够把各种实际网络增长过程中变速的特点仔细描述进去, 反映了增长方式的多样性。该 UHNM-VSG网络研究了两种变速增长的特性3-59:随机增长图象与确定性 增长图象。例如,在式(5)中当p为概率变化时为随机增长图象,而当p为常数时则为确定性增长图象。混 合比g体现了两种混合增长,显然第1层次把各种实际网络中存在着变速的特点包含在内,这使第l层次 模型比前两层次模型理论更趋于完善,发现了一些网络新特性和转变关系。主要点有 1)累计度分布P(k)在幂律分布与广延指数分布之间的转变:如果考虑式(5)中变速指数a=0.3和 p(t)为随机概率增长时,随着d变化出现两种累积度分布:既有幂律分布,又有双广延伸长指数分布。广延 指数分布定义为 其中,b和k为两个参数,c为广延指数,双广延指数分布是指曲线具有两段不同广延指数c和c2。如果c 较小,则它越接近接近SF。在α比较小(α=0.3)时,在dr三种基本模式:总混合比是确定性占主导(dr 4/1,49/1)、两者相当(dr=1/1)和随机性混合占主导(dr=1/49,1/4)时,累计度分布P(k)仍然是幂律分 布,但是随着α增加(如0.6,0.9),P(k)却都出现双广延指数分布。γ随k增加而增加,广延指数c随k增 加可出现极值(最大或最小),密切依赖于α增加;随α变化,网络的拓扑特性在幂律分布和广延指数分布之 间转变,具体转变类型完全取决于混合比和指数α数值或变速增长方式。不论随机连接方式还是确定性变 速增长下,都能够出现类似的累积度分布的转变。 2)不同累计度分布P(k)转变与混合增长比vg的关系:第1层次中的混合增长比vg是一个对网络特性 有重要影响的关键调控参数。在固定(dr=1/1,fd=0/1和gr=0/1)情形下比较了不同vg下累计度分布 P(k)的转变特性研究发现:存在另外一种多标度分布之间的转变,出现广延指数分布和高斯分布。在(dr= 1/1、fd=0∥1和gr=0/1)和其他工作模式下都出现了特性转变。它们取决于4个混合比的组和或匹配等 3)群聚系数C与变速指数α的关系:第1层次网络的数C与混合比及变速指数a之间存在更复杂的三 维关系意图,可在[0,1]之间大范围变化,C既可以达到很高,又可以比较小,完全取决于3个混合比和增长 指数a,整个变化呈现错综复杂的非线性关系。 4)相称性系数r与混合比关系:在第1层次里,反映网络之间相关的特性的相称性系数r与混合比关 系及变速指数α之间存在复杂的三维关系。当采用式(5)中不论是随机性增长方式(p为概率)还是确定性 增长方式(p()为常数)时,当工作在d≥1/1模式时,r出现了波峰,随着a的增加,此起彼伏;而随着a的 增加C出现非线性变化;当工作dr<1/1(随机性占主导)模式时,在α=0.3之前C明显上升,而后稍微下 降;当工作d≥1/1(确定性占主导)模式情形,C一直在上升。 总之,在第1层次里,网络特性与4个混合比(d,fd,gr,g)之间存在着复杂的非线性关系,波峰和波谷 起伏交错,其奥秘和规律隐含在许多特殊混和比匹配之中。 字塔的最底层是真实世界网络,它是复杂网络金字塔的奠基石,真实世界的网络多种多样、丰富 多彩,例如,因特网、万维网、各种交通网、电力传输网、各种通信网络、各种生物网络、各种社会网络、生态和 环境网络等,是所有网络理论模型研究的源泉和根据所在。 综上所述,我们构建了复杂网络模型金字塔,分析和总结了具有多层次的复杂网络金字塔的基本特性, 揭示和反映了复杂网络金字塔不同层次上网络的特色和规律以及错综复杂的关系,这将有助于加深理解和 进一步挖掘网络的多样性-复杂性,以及简单性-普适性之间的转变规律,从金字塔的最顶层到最底部,复 杂性和多样性程度越来越高,反之,简单性与普适性增强。利用4个混合比可以统一研究金字塔各层次模 型,研究一些实际增长网络的基本特性。这类网络模型金字塔还可以进一步拓广和完善。同时,我们还提岀 了广义 Farey组织的金字塔,从理论上推导了该网络的拓扑特性、相称性系数和群聚系数等

复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 其 中，m(t)为 t时刻增加 的节点连接 边数 ，N(t)为 t时 刻 网络 的节 点数 目，P(t)为常 数 时属 于确 定性增 长 ， 当为随 机概率 ，00)等 多种情形 。这样 ，第 1层 次 能够 把各 种 实际 网络 增 长过 程 中变速 的特 点仔 细 描述进 去 ， 反映 了增 长方式 的多样性 。该 UHNM．VSG 网络 研究 了两 种 变速 增 长 的特性 ：随机增 长 图象 与确定 性 增长 图象。例如 ，在式 (5)中当 P为概 率变化 时为 随机增 长 图象 ，而当 P为 常数 时则为确 定性增 长 图象。混 合 比 体 现了两种 混合增长 ，显然第 1层次把 各种 实 际 网络 中存在 着变 速 的特 点包 含在 内，这 使 第 l层次 模型 比前 两层次模 型理论更 趋于完 善 ，发现 了一些 网络新 特性和转 变关 系。主要 点有 ： 1)累计度分 布 P(k)在幂 律 分 布与 广 延指 数分 布 之 间 的转 变 ：如果 考 虑式 (5)中变 速 指数 =0．3和 P(t)为随机概 率增长时 ，随着 变化 出现两 种 累积度 分布 ：既有幂律 分布 ，又有 双广延 伸长 指数 分布 。广延 指数分 布定义为 P()：b。一(寺) (6) 其 中 ，b和 k为两个 参数 ，c为广延指 数 ，双广 延指 数 分布 是 指 曲线具 有 两段不 同 广延 指数 c．和 C。如果 c 比较小 ，则它越 接近接近 sF。在 Ot比较小 ( =0．3)时 ，在 dr三种 基本模 式 ：总混合 比是确 定性 占主导 (dr： 4／1，49／1)、两者相 当(dr=1／1)和 随 机性 混 合 占主导 (dr=1／49，1／4)时 ，累计 度分 布 P(k)仍 然是 幂律 分 布 ，但是 随着 增 加 (如 0．6，0．9)，P(k)却都 出现 双广延指 数分布 。 随 k增 加 而增 加 ，广延指 数 C随 k增 加可 出现极值 (最 大或最 小 )，密切 依赖 于 增加 ；随 仅变化 ，网络 的拓扑特性 在幂律 分布 和广延 指数分 布 之 间转变 ，具体转 变类型完 全取决 于混合 比和指数 Ot数值 或变 速增 长方 式 。不 论 随机连 接方式 还 是确定 性 变 速增 长下 ，都能 够 出现类 似 的累积度分布 的转变 。 2)不 同 累计 度分布 P(k)转变 与混合 增长 比 曙 的关 系 ：第 1层次 中的混合增 长 比 g是一 个对 网络 特性 有重 要影响 的关 键调控 参数 。在 固定 (dr=1／1，fa=0／1和 gr=0／1)情 形 下 比较 了不 同 下 累 计度 分 布 P(k)的转 变特性研 究发现 ：存在另外 一种 多标度分 布之 问的转变 ，出现 广延 指数 分布 和高斯 分布 。在 (dr= 1／1，fd=0／1和 gr=0／1)和其他 工作模式 下都 出现 了特性 转变 。它们取 决于 4个 混合 比的组和或 匹配等 。 3)群聚系数 c与变速指 数 的关系 ：第 1层次 网络 的数 C与混合 比及变速指 数 O／之间存在更 复杂 的三 维关 系意 图 ，可 在 [0，1]之 间大范 围变化 ，c既可 以达到很 高 ，又 可 以比较小 ，完 全取决于 3个混 合 比和增 长 指 数 ，整 个变 化呈现 错综 复杂的非线 性关 系。 4)相 称性 系数 r与混合 比关 系 ：在第 1层 次里 ，反 映 网络之 间相 关 的特 性 的相称 性 系数 r与混合 比关 系及变速指数 之间存在 复杂 的三维关 系 。当采 用式 (5)中不论是 随机 性增 长方 式 (P为 概率 )还是 确定性 增长方式 (P(t)为常数 )时 ，当工作在 dr>>1／1模 式时 ，r出现 了波 峰 ，随着 Ol的增加 ，此 起彼 伏 ；而随 着 的 增加 c出现非线性 变化 ；当工作 dr<1／1(随机性 占主导 )模 式 时 ，在 Ol=0．3之 前 C明显上 升 ，而后稍 微 下 降 ；当工作 ≥1／1(确定性 占主导 )模式 情形 ，C一直在 上升 。 总之 ，在第 l层次里 ，网络特性 与 4个混合 比 (dr，． ，gr，曙)之 问存在 着复 杂 的非线 性关 系 ，波峰 和波 谷 起伏交错 ，其 奥秘和规律 隐含在 许多特殊 混 和比匹 配之 中 。 网络 金字塔 的最 底层是真 实世界 网络 ，它 是复杂 网络 金字塔 的 奠基石 ，真 实世 界 的 网络 多种 多样 、丰 富 多彩 ，例如 ，因特 网 、万 维 网 、各种 交通 网 、电力传 输 网 、各 种 通信 网络 、各种 生 物 网络 、各 种社 会 网络 、生态 和 环境 网络 等 ，是所有 网络理论模 型研究 的源 泉和根据 所在 。 综上所述 ，我们构 建 了复杂 网络模 型金字塔 ，分析 和总结 了具 有 多层 次 的复杂 网络 金字 塔 的基本 特性 ， 揭示 和反映 了复杂 网络 金字塔不 同层 次上 网络 的特色 和规 律 以及错 综复 杂 的关系 ，这将 有助 于 加深理 解 和 进一 步挖掘 网络 的多样 性 一复杂性 ，以及 简单性 一普适 性 之 间的转 变规 律 ，从 金字 塔 的最顶 层到 最底 部 ，复 杂性和多样性 程度越来 越高 ，反 之 ，简单 性 与普 适 性增 强 。利 用 4个 混 合 比可 以统 一研 究 金字 塔 各层 次模 型 ，研究 一些实际增 长网络 的基本特性 。这类 网络模 型金字塔 还可 以进一步 拓广和 完善。 同时 ，我们还提 出 了广义 Farey组织 的金字塔 ，从 理论上 推导 了该 网络 的拓扑特性 、相称性 系数 和群聚系数 等

第5卷第4期 方锦清,等:网络科学的理论模型及其应用课题研究的若干进展 3从宏观网络推进到微观网络:量子信息与纳米相千网络模型2 令人感兴趣的是, Bianconi和 Barabasi把玻色一爱因斯坦凝聚同复杂网络联系起来,由此启发我们探索 从宏观网络推进到微观网络:量子信息网络和纳米相干网络,从复杂网络视角来探索微观世界的量子网络的 拓扑和动力学性质。于是,我组提出和构造了一种高斯通道的量子信息网络模型(图2)和纳米相干网络模 型。首先构造了一种量子高斯通道,把常用的经典信息高斯通道推广到量子领域。这种量子高斯通道容许 光子携带量子信息传递信号并具有量子并行性。这些网络的量子信息通道联结各个网点使网络非局域性地 执行各种量子计算或量子通讯的任务。物理上,量子信息网络的网点可以由空腔中的原子、离子或量子点或 光子晶体中的光子组成。不同网点间的相互作用由传输在量子信息通道中的光子决定。这些信息通道起着 网点间相互连接的作用,在网络中扮演十分重要的角色。通过求解在动量表象中量子信息密度的 Fokker Plank方程。同时考虑到随机的用户和环境噪音不可避免地要引入到量子信息网络,在量子信息网络的网 点中引入一定的外部驱动或控制外场。它能驱动或控制网络到管理员期望的方向。所有特点会使量子信息 网络具有复杂性行为。在外场驱动下,通过求解量子信息网络节点的度比率方程,我们研究了该量子信息网 络的若干信息性质和拓扑特性,包括传输容量、量子高斯通道量子动力互信息,以及网点度时空分布等 在3种特定外部驱动条件和参数下得到度分 布特点:1)当外场为周期力,则度分布也为周期 函数;2)如果外场为指数函数,则度分布为对数 节点B 函数。当时间大于1.25时出现无标度特性,其 纠缠戏EP) 幂指数随时间增加而缓慢增加;3)如果外场为突 变多项式,如为椭圆脐带型突变形式,这个突变驱 节 EP子信道(∝ 动项的引入,使量子信息网络的度分布具有时空 特性,它可随时间上升达到某个饱和值,而随空间 在不同网络参数下,节点度的幂律分布可出现负 随机连接(RL 指数标度或正指数标度的,正负指数取决于量子 节点E 随机节 网络结构和条件参数,而且正负幂指数可影响网 图2量子信息网络模型示意图 络的相称性系数,在外部突变场驱动下,相称性系 数随着正负幂指数变化而在一定范围内发现突变,出现了正相称性系数。这有助于揭开不同类型网络产生 不同拓扑特性的不同机制和它们之间内在联系的奥妙,提供探索产生机制的一种线索和途径。 进一步,把量子信息的运动方程扩展到量子场领域。为此,通过结合量子场有关理论和 Liouville方程 的方法,我们研究了量子信息的 Schwinger-Tomonaga方程和在开放量子电动力学的系统中的量子信息动力 方程。然后,我们提出了纳米相干网络。讨论了基于六角纳米线圈的量子相干网络的特性。这些研究观察 到:电子电流和一个电磁场之间存在量子相干作用,可能为量子相干器件的构造提供依据。这样的器件可 由纳米线构成,这对构造量子信息网络是有意义的。因为这里关键的物理作用是电子电流同一般横向辐射 场的作用,这种量子相干可看为 Aharonov-Bohm作用的推广,即电子电流密度在金属或半导体圈中同磁场 或电场产生效应的推广。值得注意的是,利用具有选择性的分子束外延方法,一种六角纳米线网络可以生 长在(111)B基体面上,且用纳米孔铝土模板可以生长有序的纳米线。这些实际进展启发我们利用纳米线 来实现一种量子相干网络,该网络可测量电子电流同辐射场的相互作用,且可以探索量子相干网络的特征 为基于纳米线的量子相干网络提供新的知识。我们的理论分析表明,量子相干网络功能取决于电子在网络 对称联接线中最后的相对速度。网络的级数越高,则允许相对速度被增加,具有放大量子相干的作用。纳 米线的量子相干网络联接分布的时间演变服从幂函数法则。这种无标度特性意味着量子相干网络对外来攻 击具有鲁棒性。 这个纳米线的量子相干网络区别于 bosonic和 fermionic网络,主要不同在于其节点的联接数同影响泛

第 5卷 第 4期 方 锦 清 ，等 ：网络 科 学 的 理 论模 型及 其 应 用 课题 研 究 的若 干 进 展 3 从宏观网络推进到微观 网络 ：量子信息与纳米相干 网络模型 令 人感兴趣 的是 ，Bianconi和 Barabasi把玻 色 一爱 因斯坦 凝聚 同复杂 网 络联 系起来 ，由此 启发 我们 探索 从宏观 网络推进 到微观 网络 ：量 子信息 网络和纳米 相干 网络 ，从 复杂网络 视角来探 索微观世 界的量 子网络 的 拓扑 和动力学性 质。 于是 ，我组提 出和构造 了一种 高斯通 道 的量子 信息 网络模 型 (图 2)和纳 米相 干 网络模 型 。首先 构造 了一种量子 高斯通道 ，把常用 的经典信 息 高斯通 道推 广到 量子 领域 。这 种量 子 高斯通 道 容许 光子携带 量子信息 传递信 号并具有量 子并行 性 。这些 网络 的量子信 息通道联 结各个 网点使 网络非局域 性地 执行各 种量子计 算或量 子通讯 的任务 。物 理上 ，量 子信息 网络 的网点可 以由空腔 中的原子 、离子或量 子点或 光子 晶体中的光 子组成 。不 同网点间 的相互 作用 由传输在 量子信 息通道 中的光子决 定 。这些 信息通 道起着 网点 问相互连接 的作用 ，在 网络 中扮 演 十分 重要 的角 色 。通 过 求解 在 动量 表 象 中量 子 信息 密 度 的 Fokker— Plank方程 。同时考虑到 随机 的用户和环 境噪 音 不可 避免 地要 引 入到 量 子信 息 网络 ，在 量 子信 息 网络 的 网 点 中引入一定 的外部驱 动或控制 外场 。它能驱动 或控制 网络到管 理员期望 的方 向。所有特 点会使量 子信息 网络具 有复杂性 行为 。在外场驱 动下 ，通 过求解量 子信息 网络节点 的度 比率 方程 ，我们研究 了该量子 信息 网 络 的若 干信息性 质和拓 扑特性 ，包 括传输容 量 、量 子高斯通 道量子 动力互信 息 ，以及 网点度 时空分布 等。 在 3种特定 外部驱 动条件 和参 数下得 到度分 布特点 ：1)当 外场 为周 期 力 ，则 度 分 布也 为周 期 函数 ；2)如 果 外场 为指 数 函 数 ，则 度分 布 为 对 数 函数 。 当时 间 大于 1．25时 出 现无 标 度 特 性 ，其 幂指 数随时间增 加 而缓 慢增 加 ；3)如 果外 场 为 突 变多项 式 ，如 为椭圆脐带 型突变形 式 ，这个 突变驱 动项 的引入 ，使 量子 信 息 网络 的度 分 布具 有 时空 特性 ，它可随 时间上升 达到某个饱 和值 ，而随空 间 在不 同网络参 数下 ，节 点度 的幂律 分 布可 出现负 指数 标度或正 指数 标度 的 ，正 负指 数取 决 于 量子 网络 结构 和条 件 参数 ，而且 正 负幂 指 数可 影 响 网 络 的相称性 系数 ，在外 部突变场 驱动下 ，相称性 系 图2 量子信息网络模型示意图 数 随着正负幂 指数变 化而在一定 范围 内发 现突变 ，出现 了正相 称性 系数 。这 有助 于揭 开不 同 类型 网络 产生 不 同拓扑特性 的不 同机制和它们 之间 内在 联系 的奥妙 ，提供探 索 产生机制 的一种线 索和途径 。 进一步 ，把量 子信息 的运 动方程扩 展到量 子场领 域 。为此 ，通 过结 合量 子场有 关理 论 和 Liouville方程 的方 法 ，我们研 究 了量 子信息 的 Schwinger-Tomonaga方程 和在 开 放量 子 电动 力学 的 系统 中的量 子 信息 动力 方程 。然后 ，我 们提 出了纳米相 干网络 。讨论 了基 于六 角纳米 线 圈的量 子相 干 网络 的特性 。这 些研 究 观察 到 ：电子 电流 和一个 电磁 场之 间存在量子相 干作 用 ，可 能为 量 子相 干器 件 的构造 提 供依 据 。这样 的器 件可 由纳 米线构成 ，这对 构造量 子信息 网络 是有意 义的 。因为这里关 键 的物理作用 是电子 电流 同一般 横 向辐射 场 的作用 ，这种量子 相干可看 为 AharonovBohm作 用 的推 广 ，即 电子 电流 密度 在 金属 或半 导 体 圈 中同磁 场 或 电场产生效 应的推广 。值得注 意的是 ，利用具 有选 择性 的分子 束外 延 方法 ，一 种六 角纳 米线 网络 可 以生 长在 (111)B基体 面上 ，且 用纳米孑L铝土模 板可 以生 长 有序 的 纳米线 。这些 实际 进展 启发 我们 利用 纳 米线 来实 现一种量 子相干 网络 ，该 网络 可测量 电子 电流同辐射 场 的相互 作用 ，且 可 以探 索 量子 相 干 网络 的 特征 ， 为基 于纳米线 的量 子相 干网络提供新 的知识 。我们 的理论 分析表 明 ，量 子相干 网络功 能取决 于 电子在 网络 对称 联接线 中最后 的相对速度 。网络 的级 数越 高 ，则 允 许相 对速 度被 增 加 ，具有 放 大量 子相 干 的作用 。纳 米线 的量 子相干 网络 联接分布 的时间演 变服从幂 函数法 则。这种 无标度特性 意 味着量子相 干网络对 外来攻 击具有鲁棒性 。 这个 纳米线 的量 子相干 网络区别 于 bosonic和 ~rmionic网络 ，主要 不 同在 于其 节点 的联 接 数 同影 响泛

复杂系统与复杂性科学 2008年12月 函相关,而不是与能量有关。这表明,纳米线的量子相干网络的拓扑性质发生了变化,例如,k(t)或P(k) 可影响网络的动力学性质,诸如量子相干相位等,网络的动力学特征与网络的拓扑结构有关。 无疑,探索量子相干网络的特性及其应用是很有意义的一个研究方向,随着复杂网络研究的发展,该课 题深层次的规律和应用必将被进一步揭示出来。 4非局域连接模型及相关模型23-1 我组从规则网络出发采用在规则网络上添加非 局域连接方式,构造了一种简单的复杂网络,如图3 所示。研究了复杂网络的同步现象及其动力学机 制,探讨了网络结构对同步动力学的影响,发现了 由于对称性破缺而产生的部分同步现象,并对该现 象的形成机制进行了理论探讨。该工作的主要特点 aN=8.(1,4),一条非局域 bN=10:3.9) 连接使网络分成4个同步集团图6个同步集团 在于:1)没有从传统的SW或SF出发,而是注意到 一般网络的非局域连接特征,研究非局域连接对系 统同步的影响;2)发现了由于对称性破缺导致的部 分同步现象,这种现象以前在复杂网络中没有观察 到;3)对称性是必要条件,但不充分,不是所有满足 cN=10,5个集团 dN=9,5个同步集团 对称性的网络都会出现部分同步;4)给出部分同步 的理论判据,以往人们只给出了完全同步的判据,但 图3在规则网络上构造简单网络所 部分同步从来没有理论结果,BNU小组首次给出结 采用的4种非局域连接方式 果,此判据又独立于网络结构,因此具有理论价值。由于非局域连接使得规则网络的对称性破缺,所以不同 的连接方式会导致不同的部分同步时空斑图。在研究网络的连接矩阵的基础上,给出了这种部分同步现象 的发生条件。同时,还解释了由非局域连接带来的系统李亚指数谱的“简并解除”现象。理论和数值结果都 表明了非局域连接能够使网络的动力学发生大的改变。 利用上面工作研究了具有稀疏连接的两个时空系统的同步问题。以往研究的时空系统间同步往往考虑 对应耦合,未考虑具有更加实际背景的少数连接的情况。对此我们进行了理论探讨,将整个网络结构分 成环状网络和开放网络,发现这两种不同结构具有不同的同步性能;计算了这两种结构的同步性,得到判断 时空系统间同步的标准与判据。利用这个判据,可以对任意耦合的时空系统的同步进行考察,并发现体系不 同的动力学相:非同步相链间部分同步相、链内部分同步相和整体同步相。随着耦合强度的变化,可以观察 到在这几个动力学相间的转换与跃迁,反映出系统的动力学分叉。这个结果具有理论和实际意义 以往网络的研究考虑具有完全连接属性或结点的差异性,但对连接属性的差异考虑很少。实际上,网络 中的结点间相互作用可能具有不同属性,例如带电个体间具有吸引或排斥作用,人之间可能有好的或不好的 关系等等。为此,我们提出并研究了具有双重连接属性(例如吸引性连接与排斥性连接)的网络的同步问 题。基于传统的研究同步的 Kuramoto模型,并考虑到振子相位的阻挫效应。研究发现,随着两种连接比例 的变化,系统的同步也随之发生变化,研究了不同连接属性对同步的影响,发现两种因素的竞争效应。 5含权合作网络模型23-38 我们研究了含权科学家合作网络模型,发现权重的重新分布能影响到网络的统计性质,如减小平均最 短路径长度,能影响到点、边介数值。进而发现权重重新分布后网络的集团的划分结果具有较大的差别,采 用D函数来定量刻画其差别,以说明权重在网络中的地位和作用。对不同群聚系数算法进行了比较,发现 GN算法对经济物理科学家合作网、电子邮件网络的群聚结果较好,更加符合实际情况。进一步发现在总权 重不变的前提下,权重由δ分布变为正态分布过程中,可以缩短平均最短路径,而群聚系数变大,即出现了小

· 8· 复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 2008年 12月 函相关 ，而不是 与能量有 关。这表 明 ，纳 米线 的量子相 干 网络 的拓扑性 质 发生 了变化 ，例如 ，k(t)或 P(k) 可影 响网络的动 力学性 质 ，诸 如量 子相干相 位等 ，网络的 动力学特 征与 网络 的拓扑结 构有关 。 无 疑 ，探索量 子相干 网络的特性 及其应 用是很有 意义 的一 个研究 方 向 ，随着复 杂 网络研 究 的发 展 ，该 课 题深层 次的规律 和应用 必将 被进一 步揭示 出来 。 4 非局域连接模型及相关模型 我 组从规则 网络 出发采用在规 则 网络上添加 非 局域连 接方式 ，构造 了一种 简单 的 复杂 网络 ，如 图 3 所示 。研究 了复 杂 网络 的 同 步 现 象 及 其 动 力 学 机 制 ，探讨 了网络 结 构对 同步 动 力学 的 影 响 ，发 现 了 由于对 称性破缺 而 产生 的 部分 同步 现 象 ，并对 该 现 象 的形 成机制进 行 了理 论探讨 。该 工作 的主要特 点 在于 ：1)没有从传 统 的 SW 或 SF出发 ，而 是注 意 到 一 般 网络 的非局 域 连接 特 征 ，研 究 非局 域 连接 对 系 统 同步的影 响 ；2)发 现 了 由于对称 性 破缺 导致 的部 分 同步现象 ，这 种现 象 以前 在 复杂 网络 中没有 观 察 到 ；3)对称性是 必 要条件 ，但 不充 分 ，不是 所 有满 足 对 称性的 网络 都会 出现 部分 同步 ；4)给 出部 分 同步 的理 论判据 ，以往人们 只给 出了完全 同步的判 据 ，但 部 分同步从来 没有理 论结 果 ，BNU小 组 首次 给 出结 aN：8，(1．4)．一 条非 局域 bⅣ=10；(3．9) 连接使网络分 成4个同步集团图 6个同步集团 9 8 cN=1O．5个集团 dN=95个同步集团 图 3 在 规 则 网络 上 构 造 简 单 网络 所 采 用 的 4种 非 局 域 连接 方 式 果 ，此判据又独 立于 网络结构 ，因此具有 理论价值 。由于非局 域连 接使 得规 则 网络 的对称 性破 缺 ，所 以不 同 的连接方式会 导致不 同的部分 同步时空 斑 图。在 研究 网络 的连接 矩 阵的基 础上 ，给 出 了这 种部 分 同步 现象 的发生条件 。同 时 ，还 解释 了由非局域 连接带来 的 系统 李亚指 数谱 的“简并 解除 ”现象 。理 论和 数值结 果都 表明 了非局 域连接 能够使 网络 的动力学 发生 大的改变 。 利用 上面工作研 究 了具有 稀疏连接 的两个 时空 系统的 同步问题 。以往研究 的时空 系统间 同步 往往考 虑 一 一 对应耦 合 ，未考 虑具有更加 实 际背 景 的少 数连接 的情况 。对此我们 进行 了理论探讨 ，将整个 网络结构 分 成环状 网络和开放 网络 ，发现 这两种不 同结构 具有不 同 的同步性 能 ；计算 了这 两种结 构 的 同步性 ，得 到判 断 时空系统 间同步 的标 准与判据 。利用 这个判据 ，可 以对任意耦 合的 时空系统 的同步进行考 察 ，并发 现体 系不 同的动力学 相 ：非 同步相 、链 间部 分 同步相 、链 内部 分同步相 和整体 同步相 。随着耦合强度 的变 化 ，可 以观 察 到在这几 个动力学 相间的转 换与跃迁 ，反映 出系统 的动力学 分叉 。这 个结果具 有理论 和实际意义 。 以往 网络的研究 考虑具有 完全连 接属性或 结点 的差异性 ，但对 连接属性 的差 异考虑很 少 。实 际上 ，网络 中的结点 间相互作用 可能具有 不 同属 性 ，例 如带 电个体 间具有 吸引或排 斥作用 ，人之 间可能有好 的或不好 的 关系等等 。为此 ，我 们提 出并 研究 了具 有 双重 连接 属性 (例 如吸 引性 连 接与 排 斥性 连 接 )的网 络 的 同步 问 题。基于传 统的研究 同步 的 Kuramoto模 型 ，并考 虑 到振 子相 位 的阻挫 效应 。研 究发 现 ，随着 两种 连接 比例 的变化 ，系统 的 同步 也随之 发生变化 ，研究 了不同连接 属性 对同步 的影 响 ，发现两 种 因素 的竞争效 应 。 5 含权合作网络模型 j 我们研 究 了含 权科学 家合 作 网络 模型 ，发现 权重 的 重新 分布 能影 响 到 网络 的统 计 性质 ，如 减小 平均 最 短路径长 度 ，能影 响到点 、边 介数值 。进而 发现权重 重新分 布后 网络 的集 团 的划分 结果 具有 较大 的差别 ，采 用 D函数 来定量刻 画其差 别 ，以说 明权 重在 网络 中的地 位 和作用 。对不 同群聚 系数 算法 进行 了 比较 ，发 现 GN算法对 经济物 理科学家合作 网 、电子 邮件 网络 的群聚结果 较好 ，更加符合 实际情况 。进一 步发 现在总 权 重 不变 的前提 下 ，权重 由 6分 布变为正 态分布过 程 中 ，可 以缩短平 均最短路 径 ，而 群聚系数 变大 ，即出现 了小

第5卷第4期 方锦清,等:网络科学的理论模型及其应用课题研究的若干进展 世界效应。同时发现权重的重新分布同样会影响 Ising(伊辛)模型的相变和混沌同步等动力学行为,提高了 体系由无序相向铁磁相转变的临界温度,同时通过研究耦合 Logistic映像模型,发现权重的随机化可以增强 网络的同步能力,使得体系可以在比较小的耦合强度下就达到完全同步。在此基础上,我们对权重分布对混 沌同步的影响进行了深人细致的研究,给出了在加权邻接矩阵下决定同步稳定性的 Lyapunov指数,发现该 指数的变化与完全同步的出现对应一致,并讨论了权重分布的方差等因素对同步的影响。 在已有对于加权网络的研究当中,国际上尚无明确讨论权重意义的工作,研究方法也是我们所特有的。 初步结果表明了该研究线路和方法对于讨论加权网络上的同步等动力学问题具有价值。 此外,在BBⅤ含权无标度网络模型的基础上,提出了一个可大范围调节群聚系数的加权无标度网络模 型——广义BB模型。理论分析和数值实验表明,该模型保留了BBⅤ模型的许多特征,节点度、节点权重 和边权值等都服从幂律分布,克服了BBⅤ模型只能小范围调节群聚系数的缺陷,从而可以用于具有大群聚 系数的网络建模。 6提高网络同步能力的模型16-19 综述文章[18-19]中我们已经描述了复杂网络基本结构及其有关模型对网络同步化能力的影响。这 里简要提及这方面相关的研究进展。 1)为了提高BA无标度网络的同步化能力,联合组首先提出了一种同步最优网络模型,研究了具有这 两种无标度拓扑结构的连续动态网络的同步化能力,比较了它们的同步化性能对于随机故障或恶意攻击的 鲁棒性,发现最优网络模型对于恶意攻击非常脆弱。于是,为了提高上述网络对于恶意攻击的鲁棒性,基于 度优先连接,我组又提出了一个同步优先连接机制,即新的节点自组织连接到网络中的已有节点,连接概率 与构成的新网络的同步化能力有关。将该机制应用于BA无标度网络中,得到同步优先网络模型,与BA无 标度网络模型和同步最优模型进行了比较。观察到同步优先网络模型的同步化性能是三者之中最弱的,但 它却对于随机故障和恶意攻击具有非常强的鲁棒性 2)我们针对节点的介数与度不成正比例关系的复杂网络提出了两类新的方法来提高其同步性能,并研 究了这些方法对于网络的一些结构特征的影响。(1)首先找到网络中介数最大的边,同时向网络中添加两 个节点,全连接以上4个节点;然后分别把介数最大的边的端点的邻居分配一部分给新加人的节点,使以上 4个节点具有大概相同的邻居数目。(2)找到网络中介数最大的边,在它的端点的邻居中分别随机选择两个 没有连接的节点,在这两个节点之间连接一条边。结果证明两类方法都可以有效地提高此类网络的同步性 能 3)在不改变网络节点的度的情况下,提出了一个利用重连边方法构建的加权均质网络模型。具体方法 是首先从规则网络中随机选取两条边,接着交换这两条边的端点,形成两条新的边。定义边重连概率为网络 中发生重连的边的数目占网络中所有边的比例。发现随着加权均质网络中边重连概率的增加,网络变得更 容易同步。对于相同的边重连概率,随着网络规模的增加,加权均质网络的同步化能力降低;但是无权的 NW小世界网络的同步化能力加强。 在上述理论模型的基础上,“一院两校”联合组还研究了与复杂网络动力学特性以及与应用有关的广泛 问题,下面略作介绍。 束流传输网络中束晕-混沌的同步与控制 0-32] 束流输运网络(BTN)属于规则网络,其中束晕-混沌的复杂性及其控制是核科学技术领域的一个重要 课题。近年复杂网络研究为此课题带来了新视角,提供了新思路。BTN问题变成:构造具有小世界或无标 度拓扑特性的束流传输网络( BTN-SW或 BTN-SF)对于束晕一混沌的控制和同步有什么影响?分析和计算 表明由于小世界网络既具有短程作用(近邻边),又具有长程作用(长程边), BTN-SW或 BTN-SF网络可提高 束流输运网络中的同步能力,有利于束晕-混沌的同步和控制。首先,我们CIAE利用WS模型和SD模型

第 5卷第 4期 方锦清 ，等：网络科学 的理论模型及其应用课题研究的若干进展 ·9· 世界 效应。 同时发现权 重的重新分 布 同样 会影 响 Ising(伊辛 )模型 的相变 和混沌 同步 等动力 学行 为 ，提 高 了 体系 由无序相 向铁 磁相转 变的 临界温度 ，同时通 过研究 耦合 Logistic映像模 型 ，发 现权 重 的随 机化 可 以增强 网络 的同步能力 ，使得体 系可 以在 比较小 的耦合强 度下就 达到完 全同步 。在此基础 上 ，我们对 权重分 布对混 沌 同步 的影响进行 了深入 细致 的研究 ，给 出了在 加权 邻接 矩 阵下 决 定 同步稳 定性 的 Lyapunov指数 ，发 现该 指数 的变化与完全 同步 的出现对应 一致 ，并 讨论 了权 重分 布的方差 等因 素对 同步 的影响 。 在 已有对 于加权 网络 的研究 当中 ，国际上 尚无 明确讨 论权 重意 义 的工作 ，研究 方 法也是 我 们所 特有 的 。 初步 结果表明 了该 研究线路 和方法 对 于讨论 加权 网络上 的同步 等动力学 问题具有 价值 。 此外 ，在 BBV含权无标 度 网络模 型 的基 础上 ，提 出了一个 可 大 范 围调节 群 聚系数 的加 权无 标度 网络模 型—— 广义 BBV模 型 。理论 分析 和数值实 验 表 明 ，该模 型保 留了 BBV模 型 的许 多 特征 ，节 点度 、节 点权 重 和边权 值等都服从 幂律分 布 ，克服 了 BBV模 型只能 小范 围调 节 群聚 系数 的缺 陷 ，从 而可 以用 于具有 大 群聚 系数 的网络建模 。 6 提高网络 同步能力的模型 综述 文章 [18—19]中我们 已经描述 了复 杂 网络基 本 结构 及其 有 关模 型 对 网络 同步 化 能力 的影 响 。这 里简 要提及这方 面相关 的研究进展 。 1)为 了提 高 BA无标 度 网络 的同步 化 能力 ，联 合 组首 先 提 出了一 种 同步 最优 网络模 型 ，研究 了具有 这 两种 无标度拓扑结 构 的连续 动态 网络 的同步化能力 ，比较 了它们 的 同步 化性 能对 于 随机故 障或 恶 意攻 击 的 鲁棒性 ，发现最优 网络模 型对 于恶 意攻击非 常脆 弱。于是 ，为 了提 高上述 网络对 于恶 意攻击 的鲁棒 性 ，基 于 度优先 连接 ，我组 又提 出了一个 同步优先连 接机制 ，即新 的节 点 自组织 连接 到 网络 中的 已有 节 点 ，连 接概 率 与构成 的新 网络 的同步化 能力有关 。将该 机制应 用 于 BA无标 度 网络 中，得 到 同步优 先 网络模 型 ，与 BA无 标度 网络模 型 和同步最优模 型进行 了 比较 。观察 到同步 优先 网络模 型 的 同步化性 能是 三者 之 中最 弱 的 ，但 它却对 于随机故 障和恶意攻 击具有非 常强 的鲁棒性 。 2)我们针对 节点 的介 数与度 不成正 比例关 系的复杂 网络提 出了两类 新的方法来 提高其 同步性 能 ，并研 究 了这些方法对 于网络 的一 些结构 特 征 的影 响。 (1)首 先找 到 网络 中介 数最 大 的边 ，同时 向 网络 中添加 两 个节 点 ，全连接 以上 4个节点 ；然后分 别把介 数最大 的边 的端点 的邻 居分 配一 部分 给新 加入 的节点 ，使 以上 4个 节点具有 大概相 同的邻居数 目。 (2)找 到 网络 中介数最 大 的边 ，在它 的端 点 的邻 居 中分别 随机选 择 两个 没有连 接的节点 ，在这两个节 点之 间连接一条 边 。结 果证 明两 类方 法都 可 以有 效 地提 高此 类 网络 的同步 性 能 。 3)在不改变 网络节点 的度 的情 况下 ，提 出 了一 个利用重 连边方 法构建 的加权均 质 网络模 型 。具 体方 法 是首 先从规则 网络 中随机选 取两条边 ，接着交 换这两 条边 的端点 ，形 成两条新 的边 。定义边重 连概率为 网络 中发生 重连的边 的数 目占网络 中所有 边 的比例 。发 现 随着 加权 均 质 网络 中边 重连 概率 的增 加 ，网络 变得 更 容易 同步。对 于相 同的边 重 连 概率 ，随着 网络规 模 的增 加 ，加 权均 质 网络 的 同步 化 能 力 降低 ；但 是 无 权 的 NW 小世界 网络的 同步化能力加 强 。 在上述 理论模 型的基础 上 ，“一 院两校 ”联 合组还研 究 了与复杂 网络 动力学 特性 以及 与应 用有关 的广 泛 问题 ，下 面略作介绍 。 7 束流传输网络中束晕 一混沌 的同步与控制 弛] 束流输 运网络 (BTN)属 于规则 网络 ，其 中束晕 一混沌 的复 杂性及 其控 制是 核科 学技 术 领域 的一 个重 要 课题 。近年 复杂 网络 研究 为此课题带 来 了新 视角 ，提 供 了新 思 路 。BTN 问题变 成 ：构 造具 有 小世 界 或无 标 度拓扑特性 的束 流传输 网络 (BTN—SW 或 BTN．SF)对 于束晕 一混 沌 的控 制和 同步 有什 么影 响?分 析 和计 算 表 明由于小世界 网络既具有 短程作用 (近邻边 )，又具有 长程作用 (长程边 )，BTN．SW 或 BTN．SF网络 可提 高 束流输 运网络 中的 同步能力 ，有 利于束 晕 一混沌 的同步 和控 制。首 先 ，我们 CIAE利用 WS模 型和 sD模 型

复杂系统与复杂性科学 2008年12月 分别生成了线性耦合的束流输运网络,每个节点由粒子运动轨道的受控包络(束晕-混沌)方程描述。从线 性耦合网络的同步判定条件,选取合适的耦合强度c,可达到控制束流输运网络的同步。设计的线性控制器 为G=c∑anIx2,=1,2,…,N根据同步稳定判据,只有当任意两个节点之间最大同步误差Dn趋于0时 复杂动力学网络才达到了同步。数值计算表明:对于 BTN-WS模型在适当的耦合强度和所有演化概率下Dn 趋于0,则 BTN-WS网络达到了同步。其中取不同耦合强度c=2,c=5和演化概率p=0.04,0.4,0.9时,对 于WS模型和SD模型下束流输运网络分别都达到了同步。该结果的意义是:在无WS拓扑结构时应用线性反 馈控制不能实现束晕-混沌同步,一旦有了WS拓扑结构就可实现了,这是以前所没有的新结果,对束流实 验研究和工程设计具有一定的参考意义 我们不仅能够实现上述束晕-混沌的同步控制,而且可以稳定控制束晕-混沌达到所期望的周期态。 在 BTN-WS网络中,我们设计了特殊而简单的控制器 G Txa-5(x2-1),=1,2,…,N 当取c=0.1,N=100,K=6时,分别在具有WS和SD拓扑结构的BTN中实现了单周期态的稳定控制。 8复杂混池网络的多目标分区同步的控制31-31 复杂混沌网络的节点多种多样,依具体问题而定。所谓混沌网络指节点为非线性方程或混沌的动力学 方程,这时网络的动力学复杂性和整体演化的特性是令人关注的另一个课题,这类网络中的平衡态和周期态 在不同子网络区域的同步与控制是非线性系统中混沌控制与同步课题研究的延伸和发展。混沌动力学方程 具有大量的不稳定周期轨道和多个平衡点,例如 Lorenz方程就有3个平衡点,混沌吸引子内有无限个不稳 定周期轨道。虽然已可把整个网络的所有节点控制稳定在一个平衡点上,或如上面控制稳定到一个周期态。 但目前尚未看到报道分别能够实现复杂网络中的多目标分区同步地控制到不同的子网络内。为此,我们 CIAE-SJTU小组合作把复杂网络分成若干数目的子网络区域,子网络数目与所要平衡点和所需周期态数目 的总和相等,然后根据需要分别把各个平衡点和周期态稳定控制到相应的子网络内。为此,我们提出了一种 适当的耦合控制方法,证明了实现这种控制的基本定理和方法是有效性的,从理论上确保在复杂网络中实现 上述的多目标控制。我们已经分别应用该方法于节点为 Lorenz方程和束晕-混沌方程的复杂网络中,数值 模拟验证了理论方法的正确性。例如,构造具有无标度特性的BA网络,规模为N=50,每个节点是 lorenz 混沌系统。然后把整个网络分成节点数日分别为4,8和38三组子网络。然后分别对各个子网络中一个节 点采用以各自节点变量与控制的目标态之差值为增益的线性耦合控制器,在满足全局稳定性定理要求下,只 控制每个子网络中的一个节点,可以实现网络分区稳定控制到3个的平衡点上:[8.4853,8.4853,27], [0,0,0]和[-8.4853,-8.4853,27] 我们应用上述类似的耦合控制方法择取不同参数,同样实现了对 BTN-SF网络中平衡点、周期态和混沌 同步的控制。这样,该耦合控制方法可根据实际需要把大规模复杂网络控制到不同的子网络区域的不同 此外,牵制控制的重要课题是研究牵制控制策略与网络结构的关系。我们利用一种新的节点重要性指 标—— ControlRank(CR)来量化网络中节点的重要程度,充分发掘了有向网络的链式结构特性,通过牵制具 有最大CR值的节点设计了一种新的牵制策略,建立了有向网络结构与牵制控制策略的联系。在有向无标 度网络中验证了这种基于CR值的牵制控制策略的有效性,与以往随机牵制节点、牵制最大出度等牵制策略 相比,牵制具有最大CR值节点的控制策略取得了最好的控制效果。 已有的研究表明,通过对网络中的至少一个节点增加线性误差反馈控制,可以使得网络中所有的节点都 被控制到同步状态。很多网络中的节点可以分为几组,其中同一个组中的节点起着相同的作用,不同组中的 节点起着不同的作用。我们研究了控制一个复杂动态网络到一个异质平衡点,即同一个组中的节点达到同

复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 2008年 12月 分别生 成了线性耦 合的束 流输 运 网络 ，每个 节点 由粒 子运动轨 道 的受控包 络 (束晕 一混沌 )方程 描述 。从线 性耦合 网络的 同步判 定条 件 ，选 取合 适 的耦 合强 度 C，可 达到控 制束 流输 运 网络 的同步 。设计 的线 性控 制器 为 G=c ’ ， ，i=1，2，… ，Ⅳ。根据 同步稳定判 据 ，只有 当任 意两个节点 之问最大 同步误差 D… 趋 于0时 ， 复杂动 力学 网络 才达到 了同步 。数 值计算 表明 ：对 于 BTN．WS模 型在适 当的耦合强 度和所 有演化概 率下 D… 趋 于 0，则 BTN—WS网络达 到了 同步 。其 中取 不 同耦合 强度 c=2，C=5和演化概 率P =0．04，0．4，0．9时 ，对 于 WS模 型和 SD模 型下束流 输运 网络 分别都 达到 了同步 。该结 果 的意 义是 ：在 无 WS拓 扑结构时 应用线性 反 馈控制 不能实现束 晕 一混沌 同步 ，一旦有 了 WS拓扑结构 就可实 现 了 ，这是 以前 所没 有 的新 结果 ，对束 流 实 验研究 和工程设计具 有一定 的参考 意义 。 我们 不仅能够 实现上述束 晕 一混沌 的同步控 制 ，而且可 以稳定 控 制束晕 一混 沌达 到所期 望 的周期 态 。 在 BTN—WS网络 中 ，我们 设计 了特 殊而简 单的控制 器 ： G=cJ∑= l nr 一5( 一1)，i=1，2，…，』7v 当取 C=0．1，N = 100，K =6时 ，分 别在具有 WS和 SD拓扑结 构的 BTN中实现 了单 周期态 的稳定控制 。 8 复杂混沌网络的 多目标分区同步的控制 卜 复杂混沌 网络的节 点多种多 样 ，依具 体问题 而定 。所 谓混 沌 网络指节 点 为非线 性 方程 或混 沌 的动力 学 方程 ，这 时 网络 的动力学 复杂性 和整体演 化的特性 是令人关 注 的另 一个课题 ，这类 网络 中的平 衡态 和周期 态 在不 同子网络 区域 的 同步与控制是 非线性 系统 中混沌控 制与 同步课 题研究 的延伸 和发展 。混沌 动力学方 程 具有大 量的不稳 定周期轨 道和多个 平 衡点 ，例 如 Lorenz方 程就 有 3个平 衡 点 ，混沌 吸引 子 内有无 限 个不 稳 定 周期 轨道 。虽 然 已可 把整个 网络的所 有节点控 制稳定 在一个平 衡点上 ，或如上 面控制稳定 到一个周期 态 。 但 目前 尚未看 到报道分 别 能够 实 现 复杂 网络 中 的多 目标 分 区同 步地 控 制 到不 同的 子 网络 内 。为此 ，我 们 CIAE—SJTU小组 合作把 复杂 网络 分成若 干数 目的子 网络 区域 ，子 网络数 目与所要平 衡 点和所 需周 期态数 目 的总和相等 ，然 后根据需 要分别 把各个平 衡点 和周期态稳 定控制 到相应 的子 网络 内。为此 ，我们提 出了一种 适 当的耦合控制 方法 ，证 明 了实 现这种控 制 的基 本定理 和方法是 有效性 的 ，从理论 上确保 在复杂 网络 中实现 上 述的多 目标 控制 。我们 已经 分别应 用该方法 于节点 为 Lorenz方 程和束 晕 一混 沌方 程 的复杂 网 络 中 ，数 值 模 拟验证 了理 论方法 的正确性 。例如 ，构 造具有 无标度 特性 的 BA 网络 ，规模 为 N=50 ，每个节 点是 Lorenz 混沌系统 。然后把整 个 网络 分成节点数 目分 别为 4，8和 38二三组 子网络 。然后分 别对 各个 子网络 中一个 节 点采 用 以各 自节点变量 与控制 的 目标态 之差值 为增益 的线性耦合 控制器 ，在满足 全局稳定性 定理要求 下 ，只 控制 每个 子 网络 中的一 个节 点 ，可 以实 现 网络分 区稳 定控 制 到 3个 的平衡 点 上 ：[8．4853，8．4853，27]， [0，0，0]和 [一8．4853，一8．4853，27]。 我们应 用上述类 似的耦合控 制方法 择取不 同参数 ，同样实现 了对 BTN—SF网络 中平 衡 点 、周 期态 和混沌 同步的控制 。这样 ，该 耦 合控 制方法可 根据 实际需 要把 大规 模 复杂 网络 控制 到不 同的子 网络 区域 的不 同 目 标 上 。 此外 ，牵 制控制 的重要 课题 是研究牵 制控 制策略 与网络 结构 的关 系。我 们利 用 一种新 的节点 重要 性指 标—— conlr0lRank(CR)来量化 网络 中节点 的重要 程度 ，充 分发 掘 了有 向 网络 的链 式 结构 特性 ，通 过牵 制具 有最 大 CR值 的节点设计 了一种新 的牵制 策 略 ，建立 了有 向 网络结 构 与牵制 控 制策 略 的联 系。在 有 向无标 度 网络巾验证 了这种基 于 CR值 的牵 制控 制策略 的有效性 ，与 以往随机牵制 节点 、牵制 最大 出度 等牵制 策略 相 比 ，牵 制具有 最大 CR值节点 的控 制策 略取得 了最好 的控 制效果 。 已有 的研 究表 明 ，通 过对 网络 中的至少一个 节点增加 线性误 差反馈控 制 ，可 以使得 网络 中所有 的节点都 被 控制到 同步状 态 。很 多 网络 中的节点 可 以分 为几组 ，其 中同一个 组 中的节点起 着相 同的作 用 ，不 同组 中的 节点起着 不同的作 用。我们研 究 了控制 一 个复杂动态 网络 到一个 异 质平衡 点 ，即 同一 个 组 中的节 点达 到 同