连续是用极限定义的,本推论是极限四则运算定理的直接结果,不证自明 定理3设y=∫(1)在t=l0点连续,t=g(x)在x=x0点连续,且t0=8(x0) 则y=∫g(x)在x=xo点连续 这是复合函数求极限定理的直接结果,因其证明方法具有典型性,这里我们还是给出其 证明 证VE>0,由f()在t连续,>0,使得当p-10<n时,有f()-f()<E 对于n>0,由g(x)在x连续,36>0,使得当-x<6时,有g(x)-(x)= -l0|<n。所以当px-x<时,有|f()-f(0=|/g(x)-g(x)<E,即 ∫[g(x在x点连续。 推论若g(x)∈C(a,b),值域包含于(α,B),f(t)∈C(a,B),则∫[g(x)∈C(a,b) 2.下面我们给出闭区间上连续函数的基本性质定理,这里我们给出证明,但目前不要求同 学们掌握,到第三册我们还会回到这个课题 定理( Bolzano-Cauchy第一定理)设∫(x)∈C[a,b],f(a)·f(b)<0,则 3ξ∈(a,b),使得∫(2)=0 f(x 一条不间断的绳子,两头夹住,一头正,一头负,总有一点使得∫()=0 证明:不妨设∫(a)<0,∫(b)>0。用中点C0=2+b将[a一分为二,得两区间 [a,co]和[c0,b。若∫(co)=0,取ξ=C0即可。不然若∫(c0)>0,取[a1,b1]=[a,co 若∫(co)<0,取[a1,b]=[co,b],这保证 f(a1)<0 f(b)>0 再用中点= 2将{a,b一分为…,如上面方法选a2]A。如此下去,在某 步如有f(cn)=0,取=cn即可,否则我们得到一区间串[anbn],满足 1)[ani,bulan,b], n=1,2,3,A53 连续是用极限定义的，本推论是极限四则运算定理的直接结果，不证自明。 定理 3 设 y = f (t) 在 0 t = t 点连续，t = g( x) 在 0 x = x 点连续，且 ( ) 0 0 t = g x ， 则 y = f[g( x)] 在 0 x = x 点连续。 这是复合函数求极限定理的直接结果，因其证明方法具有典型性，这里我们还是给出其 证明。 证 "e > 0 , 由 f (t) 在 0 t 连续，$h > 0 , 使得当 t -t 0 <h 时，有 ( ) - ( ) < e 0 f t f t . 对于h > 0 ，由 g (x) 在 0 x 连续，$d > 0 , 使得当 x - x0 < d 时，有 g(x) - g(x0 ) = t -t 0 <h 。 所以当 x - x0 < d 时 ， 有 ( ) - ( ) = [ ( )] - [ ( )] < e 0 0 f t f t f g x f g x ， 即 f [g (x)]在 0 x 点连续。 推论 若g( x) Î C(a,b) ，值域包含于(a,b ) ，f (t) Î C(a,b ) ，则 f [g (x)] ÎC (a,b) 2． 下面我们给出闭区间上连续函数的基本性质定理，这里我们给出证明，但目前不要求同 学们掌握，到第三册我们还会回到这个课题。 定理 ( Bolzano-Cauchy 第一定理）设 f (x)Î C[a, b]， f (a) × f (b) < 0 ,则 $x Î (a,b) ，使得 f (x ) = 0 。 一条不间断的绳子，两头夹住，一头正，一头负, 总有一点x 使得 f (x ) = 0 。 证明：不妨设 f (a) < 0， f (b) > 0 。用中点 2 0 a b c + = 将[a, b]一分为二，得两区间 [ , ] 0 a c 和[ , ] c0 b 。若 f (c0 ) = 0 ，取 0 x = c 即可。不然若 f (c0 ) > 0 ，取[ , ] [ , ] 1 1 0 a b = a c ; 若 f (c0 ) < 0 ，取[ , ] [ , ] a1 b1 = c0 b ，这保证 f (a1 ) < 0， f (b1 ) > 0 。 再用中点 2 1 1 1 a b c + = 将[ , ] a1 b1 一分为二，如上面方法选[ , ] a2 b2 ,L 。 如此下去，在某一 步如有 f (cn ) = 0，取 n x = c 即可，否则我们得到一区间串[ , ] an bn ，满足 1） [ , ] [ , ] an+1 bn+1 Ì an bn ，n = 1, 2, 3, L ； f(x) a b