bn 3)∫(an)<0<∫(bn) 由区间套定理,存在∈[an,bn],使得 5=lm b 再由3)及连续函数性质,有 ∫(2)=imf(an)≤0 f()=lmf(bn)≥0 从而f(2)=0。 定理( Bolzano- cauchy第二定理)设f(x)∈C{a,b],值η介于f(a)和f(b)之 间,则3∈[a,b,使得∫(2)=n 证不妨设n≠f(a),f(b),作F(x)=f(x)-n,F(x)∈C[{a,b且 F(b)·F(a)<0,则由 Bolzano-Cauchy第一定理∈(a,b),使F()=0,即 f∫(5) 定理( Weierstrass第一定理)f(x)∈C[a,b],则f(x)在[a,b]上有界。 证明:如若不然,f(x)在[ab上无界,Ⅶn∈N,丑xn∈[ab],使得f(xn)卜n 对于序列{xn},它有上下界a≤xn≤b,波尔察诺子序列定理告诉我们彐x使得 xn→xo∈[a,b],由∫(x)在x0连续,及∫(xn)>nk有 f(x0)上m|f(xm)上+∞0, 矛盾。 定理( Weierstrass第二定理)f(x)∈C[a,b],则f(x)在[a,b上达到上、下确界。 证令M=sup{f(x)},M<+∞,如果∫(x)达不到M,则恒有f(x)<M。 asx≤b 考虑函数q(x)= ,则φ(x)∈C[a,b],因而有界,即q(x)≤(4>0), M-f(x)54 2） ( ) 0 2 1 bn - an = n b - a ® ，当n ® ¥时； 3） ( ) 0 ( ) n bn f a < < f 。 由区间套定理，存在 [ , ] Î an bn x ，使得 n n n n a b ®¥ ®¥ lim = x = lim 。 再由 3）及连续函数性质，有 ( ) = lim ( ) £ 0 ®¥ n n f x f a ， ( ) = lim ( ) ³ 0 ®¥ n n f x f b ， 从而 f (x ) = 0 。 定理（Bolzano-Cauchy 第二定理） 设 f (x)Î C[a, b]，值h 介于 f (a) 和 f (b) 之 间，则$x Î[a, b]，使得 f (x ) = h 。 证 不妨设h ¹ f (a), f (b) ， 作F( x) = f ( x) -h ， F( x) Î C[a,b]且 F(b) × F(a) < 0 ，则由 Bolzano-Cauchy 第一定理$x Î (a,b) ，使 F(x ) = 0，即 f (x ) = h 。 定理（Weierstrass 第一定理） f (x)Î C[a, b]，则 f (x) 在[a, b]上有界。 证明： 如若不然，f (x) 在[a, b]上无界，"n ÎN， x [a,b] $ n Î ，使得| f (xn ) |> n ， 对于序列 { }n x ，它有上下界 a £ xn £ b ，波尔察诺子序列定理告诉我们 nk $x 使得 [ , ] 0 x x a b nk ® Î ，由 f (x) 在 0 x 连续，及 n k f x n k | ( ) |> 有 = = +¥ ®¥ | ( ) | lim | ( ) | 0 nk k f x f x ， 矛盾。 定理（Weierstrass 第二定理） f (x)Î C[a, b], 则 f (x) 在[a, b]上达到上、下确界。 证 令M sup { f (x)} a£x£b = ， M < +¥ , 如果 f (x) 达不到 M ，则恒有 f (x) < M 。 考虑函数 ( ) 1 ( ) M f x x - j = ，则j( x)Î C[a, b]，因而有界，即j( x) £ m (m > 0)