从而∫(x)≤M一-<M,这与M是上确界矛盾,因此彐x∈[a,b],使得∫(x)=M 类似地可以证明达到下确界 3.一致连续性 定义设f(x)定义在区间上,VE>0,36=6()>0,使得当1-xk<6,x1 x2∈时,有f(x)-f(x2)<E,则称f(x)在上一致连续 致连续比一般地连续要强:∫(x)在/连续,Vx0∈,VE>0,彐6=(x0,E)>0 使得当x-x<6,x∈时,有f(x)-f(x0)<E 这里δ=6(x0,E)与点x0有关,在一致连续定义中=(E)与x1,x2无关,是在区间 放在何处而皆准的普适常数 函数在区间I上一致连续推出它在区间上连续,反之不对。但如果是闭区间,就成立了, 看下面定理 定理( Cantor1845-1918)f(x)∈C[a,b,则f(x)在[a,b]上一致连续 证明:如果不然,f(x)在[ab上不一致连续,彐E0>0,V8>0,x,x"∈[a,b] x-x"kδ,而f(x)-f(x)E0 取δ 彐xn,x"∈[a,b],|xn-x”k-,而f(x)-f(xn)≥E,由波尔察 诺定理,存在子序列x→>x∈[a,b,而由x-xk-,也有x"→)x。再由∫(x) 在x连续,在(xm)-f(xm)E0中令k→∞,得 0=lf(xo)-f(o)=lim If(n)-f(x")kEo 矛盾。所以f(x)在[a,b]上一致连续 例设∫(x)在[a+0)(a>0)上满足 Lipschi条件:f(x)-f(Oy)≤|x-,证明 f(x) 在[a,+∞)上一致连续 证分析55 从而 f x £ M - < M m 1 ( ) ，这与 M 是上确界矛盾，因此$x Î[a, b] ，使得 f (x) = M 。 类似地可以证明达到下确界。 3． 一致连续性 定义 设 f (x) 定义在区间 I 上，"e > 0 , $d = d (e ) > 0 , 使得当 x1 - x2 < d , 1 x , x Î I 2 时，有 ( ) - ( ) < e 1 2 f x f x ，则称 f (x) 在 I 上一致连续。 一致连续比一般地连续要强：f (x) 在 I 连续，" x Î I 0 ，"e > 0 ，$d = d (x0 , e ) > 0， 使得当 x - x0 < d ， x Î I 时，有 ( ) - ( ) < e 0 f x f x 。 这里 ( , ) 0 d = d x e 与点 0 x 有关，在一致连续定义中 d = d (e ) 与 1 2 x , x 无关，是在区间 I 放在何处而皆准的普适常数。 函数在区间I 上一致连续推出它在区间上连续，反之不对。但如果是闭区间，就成立了， 看下面定理： 定理（Cantor 1845-1918） f (x)Î C[a, b], 则 f (x) 在[a, b]上一致连续。 证明： 如果不然，f (x) 在[a, b]上不一致连续，$e 0 > 0，"d > 0，$x¢, x¢¢Î[a, b]， | x¢- x¢¢ |< d ，而 0 | f (x¢) - f (x¢¢) |³ e 。 取 n 1 d = ， x , x [a,b] $ n ¢ n ¢¢ Î ， n x x n n 1 | ¢ - ¢¢ |< ，而 0 | ( ¢) - ( ¢¢) |³ e n n f x f x ，由波尔察 诺定理，存在子序列 [ , ] 0 x x a b nk ¢ ® Î ，而由 k n n n x x k k 1 | ¢ - ¢¢ |< ，也有 0 x x n ¢¢ k ® 。 再由 f (x) 在 0 x 连续，在 0 | ( ¢ ) - ( ¢¢ ) |³ e nk nk f x f x 中令k ® ¥ ，得 0 0 0 0 =| ( ) - ( ) |= lim | ( ¢ ) - ( ¢¢ ) |³ e ®¥ nk nk k f x f x f x f x ， 矛盾。所以 f (x) 在[a, b]上一致连续。 例 设 f (x) 在 [a,+¥) (a > 0) 上满足 Lipschitz 条件： f (x) - f (y) £ k x - y , 证明 x f (x) 在 [a,+¥) 上一致连续。 证 分析