第4期 谢锡麟等:有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用 553 -2 60120180240300360 60120180240300360 图7内边界上变形率张量特征问题分析:(左图)涡量与最大特征值之比沿内边界的分布,注:理论预测值为2或-2. (右图)最大特征值所对应的特征向量同内边界切向量的夹角沿内边界的分布.注:理论预测值为45°或135° Fig 7 Eigenproblem analysis of the strain tensor on the inner boundary: (left subplot Distribution of the ratio of the orticity and the maximum eigenvalue of the strain tensor along the inner boundary of the undulated helicoidal surface. Remark: The theoretical indicated value of the ratio is 2 or -2. (right subplot Distribution of the angle between the eigenvector with respect to the maximum eigenvalue of the strain tensor and the tangent vector of the boundary along the inner boundary of the undulated helicoidal surface. Remark: The theoretical indicated value of the angle is 45 or 135 degree. 固定曲面上的二维流动可以对应星体表面上的大气运动,或者地球表面上的洪水蔓延过洼地、山丘或 者盘山公路等,这些流动的法向尺度(流层厚度)远远小于流动的流向尺度,故可将流动视为二维.近期,作 者类比于一般涡量动力学[2,发展了固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架[23,希望能为研究此类 流动铺垫了一定的理论基础 2海面上油污扩散 海面上油污扩散表现为几何形态为曲面的油污在海面上的运动过程,对应的物理构型以及参数构型 构造如图8所示,现运动刻画的参数表示为x=xx(x,t)∈R2.可得油污质点的速度表示为:V (x2,1)+,:(,1),质量守恒具有形式 2(x21)+(2,1)+p(V-HV)=0 为法向速度分量 初始物理构型 初始参数构型 曲面方程:E(x,D) 当前物理构型吃 曲面方程:E(x,4) 当前参数构型V 动刻画x=x(l 图8海面上油污扩散问题对应的构型构造:(左图)物理构型,(右图)参数构型 Fig 8 Sketch of the constructions of configurations with respect to oil diffusions on sea surfaces (left subplot) Physical configurations, (right subplot parametric configurations 动量守恒具有形式 切平面:P((,)+F+ ags(I C1994-2013ChinaAcademicJOurnalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net图７ 内边界上变形率张量特征问题分析：（左图）涡量与最大特征值之比沿内边界的分布．注：理论预测值为２或－２． （右图）最大特征值所对应的特征向量同内边界切向量的夹角沿内边界的分布．注：理论预测值为４５°或１３５°． Ｆｉｇ．７ Ｅｉｇｅｎ－ｐｒｏｂｌｅｍａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｓｔｒａｉｎｔｅｎｓｏｒｏｎｔｈｅｉｎｎｅｒｂｏｕｎｄａｒｙ：（ｌｅｆｔｓｕｂｐｌｏｔ）Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒａｔｉｏｏｆｔｈｅ ｖｏｒｔｉｃｉｔｙａｎｄｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｓｔｒａｉｎｔｅｎｓｏｒａｌｏｎｇｔｈｅｉｎｎｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｏｆｔｈｅｕｎｄｕｌａｔｅｄｈｅｌｉｃｏｉｄａｌ ｓｕｒｆａｃｅ．Ｒｅｍａｒｋ：Ｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｉｎｄｉｃａｔｅｄｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｒａｔｉｏｉｓ２ｏｒ－２．（ｒｉｇｈｔｓｕｂｐｌｏｔ）Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅ ａｎｇｌｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｓｔｒａｉｎｔｅｎｓｏｒａｎｄｔｈｅｔａｎｇｅｎｔｖｅｃｔｏｒ ｏｆｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙａｌｏｎｇｔｈｅｉｎｎｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｏｆｔｈｅｕｎｄｕｌａｔｅｄｈｅｌｉｃｏｉｄａｌｓｕｒｆａｃｅ．Ｒｅｍａｒｋ：Ｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｖａｌｕｅｏｆｔｈｅａｎｇｌｅｉｓ４５ｏｒ１３５ｄｅｇｒｅｅ． 固定曲面上的二维流动可以对应星体表面上的大气运动，或者地球表面上的洪水蔓延过洼地、山丘或 者盘山公路等，这些流动的法向尺度（流层厚度）远远小于流动的流向尺度，故可将流动视为二维．近期，作 者类比于一般涡量动力学［２４］，发展了固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架［２３］，希望能为研究此类 流动铺垫了一定的理论基础． ２．３．２ 海面上油污扩散 海面上油污扩散表现为几何形态为曲面的油污在海面上的运动过程，对应的物理构型以及参数构型 构造如图８所 示，现 运 动 刻 画 的 参 数 表 示 为 ｘΣ ＝ｘΣ（ξΣ，ｔ）∈ 瓗２．可得油污质点的速度表示为：Ｖ珝 ＝ Σ珝 ｔ （ｘΣ，ｔ）＋ｘｓ Σｇ珝ｓ，ｘｓ Σ∶＝ ｘｓ ｔ （ξΣ，ｔ）．质量守恒具有形式： ρ ｔ （ｘΣ，ｔ）＋ｘｓ Σ ρ ｘｓ Σ （ｘΣ，ｔ）＋ρ Δ ｓ Σ Ｖｓ （ ） －ＨＶ３ ＝０， Ｖ３ 为法向速度分量． 图８ 海面上油污扩散问题对应的构型构造：（左图）物理构型，（右图）参数构型 Ｆｉｇ．８ Ｓｋｅｔｃｈｏｆｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓｏｆｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｏｉｌｄｉｆｆｕｓｉｏｎｓｏｎｓｅａｓｕｒｆａｃｅｓ： （ｌｅｆｔｓｕｂｐｌｏｔ）Ｐｈｙｓｉｃａｌｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ，（ｒｉｇｈｔｓｕｂｐｌｏｔ）ｐａｒａｍｅｔｒｉｃｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ 动量守恒具有形式： 切平面：ρｘｌ Σ（ξΣ，ｔ）＋Γｌ ｐｑｘｐ Σｘｑ Σ ＋ ２ Σ珝 （ ） ｔ２ （ｘΣ，ｔ），ｇ珝ｌ 瓗３ ＋２ｘｓ Σ ｇ珝ｓ ｔ（ ） （ｘΣ，ｔ），ｇ珝ｌ （ ） 瓗３ ＝ 第４期 谢锡麟等：有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用 ３５５