.574 郭兴旺等：圆锯片振动模态的准确解 Vol.16 No.6 节径位置由方程⊙(=0确定，即为： 0m=(2m-1)π/(2n)+6。(n=1,2,3,;m=1,2,…,n) 节圆的无量纲半径位置为方程 R(Φ)=0 (3) 在区间0<D,≤1上的根， 频率方程(1)和决定节圆位置的方程(3)是含有Bssl函数的复杂超越方程，没有解析 解.振型因子函数R(D,)是含有Bssl函数的复杂超越函数，难以想象其曲线形状.因此、无 论是求固有频率还是振型，都只能借助于电子计算机用数值计算方法完成.这时遇到的一个 重要问题是如何计算各类Bessel函数的值.计算Bessel函数通常使用的方法有两种：一是利用 Bessel函数的级数表达式是利用Bessel函数的近似多项式逼近公式及递推算式.Bessel 函数计算的具体过程比较冗长和复杂，在此不作详细讨论.振动模态的全部计算过程由自编 的计算机程序完成，程序操作简便，运算迅速，并具有振型图绘制功能， 取泊松比=03，在各种夹径比下普通圆锯片的无量纲频率的计算结果如表1.夹径比 ④=0.5的锯片的2个典型模态振型如图1和图2所示，图中曲线R是归一化振型因子函数 的曲线图，R,(④，)=R(①，)/R(④，)lms,R,(④，)取最大值1的位置由一竖线标出.数对(m,n)表示节圆 数为m、节径数为n的振型模式，④，表示节圆的无量纲半径位置， 表1普通圆锯片的无量纲频率 Tablel Nondimensional frequencies of usual circular saw blades 节圆节径 夹径比 数m数n0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 0 2.563.144.035.467.8812.4222.3651.14208.4 1 2.112.913.975.528.0412.6722.7051.54208.9 3.403.904826.338.9013.6223.7752.77210.3 0 3 7.547.638.039.0611.23.15.7225.8254.91212.6 4 13.2213.2313.3613.9115.4919.4129.0958.05215.9 20.2720.2720.3120.5721.6224.8433.8262.33220.2 6 28.6728.6728.6828.8029.4631.9940.1167.86225.5 15.2919.5425.7935.4451.4681.05145.2328.91325 11 16.7520.902.0136.5452.4881.98146.0329.71326 2 22.3625.3930.8339.9155.5284.78148.6332.21328 2计算结果的检验 为了验证用精确解法获得的计算结果的正确性，特用有限单元法计算一例，以作对比， 设锯片尺寸为：外径d=1.0m厚2h=0.006m,夹盘直径d,=0.5m.锯片材料为钢：弹 性模量E=2.058×10"N/m,泊松比v=0.3,密度p=7.8×10kg血. 根据锯片的轴对称性，可只取半片建立有限元模型.将其划分成90个四边形单元，114· 5 .74 郭兴旺等 : 圆锯 片振 动模态 的准确解 Vo l . 16 No .6 节径 位置 由方程 0 (0) = 0确 定 , 即 为 : s m = ( Z m 一 l ) 二 /( Z n ) + 8 。 ( n = l , 2 , 3 , · , · ; m = l , 2 , … , n ) 款圆的无 量 纲半 径位 置 为方程 R (中 r ) = 0 (3) 在 区 间 O < 俄 蕊1 上 的根 . 频率 方程 ( l) 和 决 定 节 圆位 置 的 方 程 ( 3) 是 含 有 B es sel 函 数 的复 杂 超 越方 程 , 没 有 解 析 解 . 振型 因 子 函 数 R (电 ) 是含 有 B e 哭七】函 数 的复 杂超 越 函 数 , 难 以 想 象 其 曲线 形状 . 因此 , 无 论是 求 固有 频率 还是 振型 , 都 只能 借助 于 电子计算 机用 数值 计算 方法 完 成 . 这 时 遇 到 的一 个 重要 问题是 如何 计算各类 B 巴 s d 函数的值 . 计算 B。 弥el 函 数 通 常使用 的方 法 有 两 种 : 一 是 利 用 B 罄哭 1函 数 的 级 数 表 达试是 利 用 B 路哭1 函 数 的 近 似 多 项 式 逼 近 公 式 冈 及 递 推 算 式 . B 巴se l 函数计算的具体过程 比较 冗 长和复杂 , 在此 不作详细讨论 . 振动模态的全 部计 算过 程 由 自编 的计算机 程 序完 成 . 程序 操 作简便 , 运 算迅 速 , 并 具有 振型 图绘制功 能 . 取泊 松 比 v = .0 3 , 在各种 夹径 比 下普通 圆锯 片的无 量纲 频率 的计算结果 如表 1 . 夹径 比 中= .0 5 的锯 片 的 2 个典 型模 态振 型如 图 1 和 图 2 所 示 , 图 中 曲线 R 是 归一 化 振 型 因 子 函 数 的 曲线 图 , R l (。 r ) = R (。 r )/ R恤)}~ , R , (叭)取最大 值 1 的位置 由一 竖线标 出 . 数 对 ( , , n) 表示节 圆 数 为 m 、 节径 数为 n 的振 型模式 , 中.表 示节 圆 的无量纲半 径 位置 . 表 1 普通圆锯片的无最纲频 率 aT 决I N 谊d 如曰妇加司 示冲” 心此 of 妇. l d 川面r asw b 匕山` 节圆 节径 夹径 比 数 m 数 n 0 1 0 . 2 0 3 04 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 0 2 . 56 3 . l 4 4 D3 5 . 46 7 . 8 12 4 2 2 . 36 5 l . l4 208 . 4 1 2 . 1 1 2 9 1 3 . 97 5 . 5 2 8 . 供 1 2 . 6 7 2 . 70 5 1 . 另 20 89 2 3 一 4() 3 . 如 4名2 6 3 3 8 . 叩 1 3 . 62 2 3 . 77 5 2 . 7 7 2 103 0 3 7 . 54 7 . 63 8 D3 9 . 既 1 1 . 23 1 5刀2 25 . 82 另 . 91 2 12 . 6 4 132 2 132 3 133 6 1 39 1 1 5 . 49 1 9 . 4 1 29 . 的 5 8 . 0 5 2 15 . 9 5 20 . 2 7 2O . 27 20 3 l 2O5 7 2 l . 62 24 . 84 33 . 82 6 2 3 3 220 . 2 6 28 . 6 7 28 . 6 7 28 . 68 28 . 80 29 . 46 3 l . 9 40 . l l 67 . 86 2 5 . 5 0 15 2 9 19 . 义 2 57 9 35 . 闷4 5 1 . 《 1 8 1 . 05 14 5 2 328 . 9 132 5 1 1 16 . 75 20 . 叩 万 . 0 1 36 . 另 52 . 铭 8 1 . 98 146 . 0 329 . 7 1326 2 2 2 3 6 2 5 3 9 30 . 83 3 9 9 1 55 . 52 84 刀8 148 . 6 332 2 13 2 8 2 计算结果 的检验 为 了验 证用精 确 解法 获得 的计 算结 果 的正确性 , 特用有 限单元 法计算 一例 , 以 作对 比 . 设锯 片 尺 寸 为: 外 径 d 二 1劝 m , 厚 h2 二 .0 o 6m , 夹盘 直径 d l = .0 5m . 锯 片材 料为 钢: 弹 性 模量 ￡= 2 . 0 5 8 x 10 , ’ N mz/ , 泊松 比 v = 0 . 3 , 密 度 夕 = 7 . 8 x 10 , k g sm/ . 根 据锯 片 的轴对 称性 , 可 只取 半 片建立 有限元 模 型 . 将其 划分 成 90 个 四 边 形单 元 , 1 14