圆锯片振动模态的准确解

第i6卷3第6期ssn100103x.1994E.0紧科技大学学报 Vol.16 No.6 1994年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dee.1994 圆锯片振动模态的准确解 郭兴旺 邹家祥 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要通过对Bssl函数的精确数值计算，对普通圆锯片在不考虑离心惯性力效应时的频率方程 和振型函数分别进行了精确的求解和计算，得到了锯片振动模态的准确解.为了检验计算结果的正 确性，又用有限单元法计算了1例，两种方法的计算结果吻合.另外，本文还通过计算证明了钢材泊 松比的变化对锯片振动模态的影响很小，其计算结果可供锯片设计时直接查取. 关键词圆锯片，振动，数值计算/模态，准确解 中图分类号TH113.1 Exact Solutions of the Vibration Modes of Circular Saw Blades Guo Xingwang Zou Jiaxiang College of Mechanical Engineering.USTB,Beijing 100083,PRC ABSTRACT Based on exact numerical calculation of Bessel functions,the frequency equations and the mode functions of usual circular saw blades with the effects of the centrifigual force neglected are exactly solved and calculated respectively,so the exact vibration modes of the saw blades are obtained.In order to examine the correctness of the results,a cer- tain saw blade is analysed by finite element method.The findings by the two methods show a great consistency.Additionally,it is confirmed by computation that the influence of Poisson's ratio of steel on the vibration modes of the saw blades is very small.All the findings in this paper provide a direct use for saw blade design. KEY WORDS circular saw blade,vibration,mumerical computation/mode,exact solutions 普通圆锯片一般可简化成中间固支外边自由的环形弹性薄板，在一般情况下，圆形类板 的自由振动若采用经典解法，则在数学上非常复杂，甚至无法求解，因此人们贯常采用 各种近似方法求取其振动模态.Mote用Ritz-Galerkin(R-G)法计算了锯片的固有频率四， 文献[2,3)]用有限单元法计算了锯片的固有频率和振型，文献[4,5]则用试验模态分析法研究了 锯片的振动模态.从已查阅到的大量文献来看，还极少有人用精确的方法计算锯片的振动模 态.针对这种情况，作者在用精确解法计算普通圆锯片振动模态方面做了一些工作.作者曾 经推导了普通圆锯片在不考虑离心惯性力效应时的无量纲频率方程和无量纲振型函数间，本 1993-05-27收稀第一作者男28岁博土

第 16 卷 第 6 期 北 京 科 技 大 学 学 报 1州年 12 月 oJ u r n a l o f U in ~ iyt o f S d en ce a n d eT ch no fo g y eB ij in g V d 。 16 N心 。 6 I加义 。 1望月 圆锯 片振动模态的 准确 解 郭兴 旺 邹家祥 北京科 技大学机械 工 程学院 , 北 京 10 以犯3 摘 要 通 过对 B 朗se l 函 数的 精确 数值计算 , 对普通圆 锯片 在不考虑离心惯性 力效应时 的频率 方 程 和 振型 函数分别进行 了精确 的求 解和计算 , 得到了锯 片振动模态 的准确解 . 为了 检验计 算结果的正 确性 , 又 用有 限 单元法计 算了 1 例 , 两种方法 的计算结果吻合 . 另外 , 本文还 通过计算 证明了 钢材泊 松 比 的 变化对锯片振动模态 的影 响很小 . 其计 算结果可供锯 片设计时直接查取 . 关键 词 圆 锯片 , 振动 , 数值计算 / 模态 , 准确 解 中图分类号 T H l l 3 . l E x a ct S o llt i o ns o f t he V i b ar t i o n M o d es o f C i r e ul a r S a w B l a d es 蜘 0 iX n gw a n g Z d u iJ a x i a gn 山11卿 o f M ce ha n ica l E ign ne gn , US T B , 氏助ing l以洲犯 3 , P R C A B S T R A 〔 1 … B as de o n xe a ct n u ~ ca l 以l喇at io n of B es s el fu n ct io ns , ht e if 闰 uen cy eq au t i o ns a n d t h e mo d e fu n ct i o ns o f us u a l d 代 u l a r s a w b l a d es iw t h ht e e 伟沈st o f t h e cen t ifr g au l fo 叹 n e g leC tde a er e x a ct l y s o l v de a n d ca 1CU l a砚 esr P叭i vel y , 5 0 th e ex a ct vi b ar iot n mo d es o f t h e s a w b l a d es a er ob at l n de . I n o dr e r ot ex a 而ne t h e co n 匡军 t n e 资 o f ht e 渭川怡 , a 。江 . at i n as w b l a d e 15 a n a ly s de b y if n i et e l e n r n t me t h o d . hT e ifn id n 罗 b y ht e two r r t h o ds s h o w a g获之 t co ns is ent yC . dA d iti o n a l y , it 15 co n if r 以对 b y co m P u at t i o n t h a t ht e inl u e n c e o f oP is o n ’ s ar t i o o f s te l o n ht e v ib ar ti o n mo d es o f t h e s a w b la d es 15 v e yr s ma l . lA t h e 助d i n 多 in t h is P a P e r P or v id e a d l代犯 t us e fo r s a w b la d e d巴ig n . K E Y WO R 】粥 c i比u l a r s a w b la d e , v ib ar t i o n , mu me ir 伍1 co m P u at t io n /mo d e , ex a ct s o l u t i o ns 普通 圆锯 片一般 可 简化成 中间 固支外边 自由的环 形 弹性薄 板 . 在 一 般 情 况 下 , 圆形 类 板 的 自由振 动 若 采 用 经 典 解 法 , 则 在 数 学上 非 常复 杂 , 甚 至 无 法 求 解 . 因 此 人们 贯 常 采 用 各 种 近 似 方 法 求 取 其 振 动模 态 . M o et 用 iR tz 一 G a l e r k i n 恨 一 G ) 法 计 算 了 锯 片 的 固有 频 率 l] , 文 献 2[, 3] 用有 限单 元 法计算 了锯 片 的 固有 频 率和 振 型 , 文 献 4[, 习则 用 试 验 模 态分 析 法研究 了 锯 片 的振 动模态 . 从 已 查 阅到 的大 量 文献来 看 , 还极 少有 人 用精 确 的方 法 计算锯 片 的振 动 模 态 . 针 对这 种情 况 , 作 者在 用精确 解 法计算普 通 圆 锯 片 振 动 模 态方 面 做 了一 些 工 作 . 作 者 曾 经 推导 了普 通 圆锯 片在 不考 虑离 心惯 性 力 效 应 时 的无 量 纲 频 率 方程 和无 量 纲振 型函 数回 . 本 l卯 3一 0 5 一 2 7 收 稿 第一 作者 男 28 岁 博士 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1994. 06. 014

1994年No.6 北京科技大学学报 ·573· 文将在此基础上对频率方程和振型函数分别进行精确的数值求解和计算，从而获得圆锯片振 动模态的准确解.其计算结果将用有限单元法进行检验.另外，还研究了钢材泊松比的变化 对锯片振动模态的影响. 1圆锯片振动模态的准确解 普通圆锯片在不计离心力效应时的无量纲频率方程为： a az asas b b2 b3 ba =0 () C1 C3C3 Cs d dz ds d 其中a,=J(Φx;a,=Y,(①x); a3=In(Φx:a4=K.(④x)； b,=nJ(Φx)/(Φx)-Jn+(Φx: b2=nYn(Φx)/(④x)-Yn+i(Φx); b,=nln(Φx)/(④x)+1n+(Φx)片 b4=nK.(Φx)/(④x)-Kn+(①x); d,=Jn(x)-(1-v)[n(n-1)J(x)/x+Jn+(x)/x; d2=Y.(x)-(1-v)[n(n-1)Y(x)/x2+Yn+i(x)/x5 d3=-{I(x)+(1-vn(n-1)L,(x)/x2-1.+(x)/x划}； d4=-{K.(x)+(1-v)[n(n-1)K(x)/x2+Kn+1(x)/x}; e1=nJ,(x)-xJn+(x)+n(1-v)/x2[(n-1)J.(x)-xJn+1(x)j e2=nY.(x)-xYn+1(x)+n2(1-v)/x[(n-1)Y.(x)-xYn+(x): e3=-{nl+(x)+xln+(x-n2(1-v)/x2[(n-1)ln(x)+xln+i(x]}; e4=-{nKn+(x)-xKn+1(x)-n2(1-v)/x[(n-1)K(x)-xKn+i(x]}. 式中Jn、Y、In和K,为n阶Bessel函数，p为夹径比，v为泊松比.频率方程是关于特征值x的 方程.无量纲频率1与特征值x的关系是：1=x/[3(1-v]2 固有圆频率ω和固有频率与无量纲频率的换算关系分别为： o=h(E/p)'21a; f=1h(E/p)2/(2πa) (2) 式中a为锯片外半径，h为锯片半厚，E为杨氏弹性模量，p为密度， 无量纲振型函数为： WΦ，0)=R(Φ)⊙(0) 其中：⊙(0)=cosn(0-0。;0是待定常数，由初始条件确定. R(④)=[J(Φx)Y.(④，x)I(④x)K.(Φ，x)]{C} 式中：①，=rla为无量纲半径； b:b, b {C}= d、 d e:eses

1望〕4 年 N O . 6 北 京 科 技 大 学 学 报 · 5 73 · 文将在 此 基础上 对频 率方 程 和振 型 函数分别 进行 精确 的数值求解和计算 , 从而获 得 圆锯 片振 动模态 的准 确解 . 其 计算结 果将 用有 限单元 法进 行 检 验 . 另 外 , 还 研究 了钢 材 泊松 比 的变 化 对锯片 振动 模态 的影 响 . 1 圆锯片振 动模态的准确 解 普通 圆锯 片在 不计 离 心力效 应 时的无 量纲频 率 方程 为 : ( l 一 0 ) 久b, 几饥姚c3 气饥几d4 ó 红试alc 乌姚 其 中 a l二 去(。 x) ; a Z二 Y 。 (。 x ) ; a 3 = I 。 (中 x ) ; a ; = K , (小 x ) ; b , = n 几(中 x ) /(中 x ) 一 大 , 、 (中 x ) ; b : = n y 。 (巾 x ) / (中 x ) 一 Y 。 、 、 (小 x ) ; b 3 = n l 。 (中 x ) / (中x ) + I 。 + , (中 x ) ; b ; = n K 。 (小 x ) /(中 x ) 一 K 。 、 l (中 x ) : d 一 去( x ) 一 ( l 一 v )【 n ( n 一 l )去( x ) / x Z + 去 + 。 ( x ) / x 」; d : = Y 。 ( x ) 一 ( l 一 v )【 n ( n 一 l ) Y 。 ( x ) / x , + Y 。 、 , ( x ) / x l : d 3 = 一 { I 。 ( x ) + ( l 一 v ) [ n ( n 一 l ) I , ( x ) / x , 一 I 。 、 , ( x ) / x ]} ; d ; = 一 { K 。 ( x ) + ( l 一 v ) [ n ( n 一 l ) K 。 ( x ) / x , + K 。 + . ( x ) / x ]} : e , = n 去( x ) 一 x 大 + : ( x ) + n Z ( l 一 v ) / x , [( n 一 l )去( x ) 一 x 去 、 , ( x )〕; e Z = 。 Y 。 ( x ) 一 x y 。 十 , ( x ) + n ’ ( l 一 v ) / x , [( n 一 l ) Y 。 ( x ) 一 x y 。 、 , ( x ) ] ; e 。 = 一 { n l 。 十 , ( x ) + x l 。 十 , ( x ) 一 n ’ ( l 一 v ) / x , [ ( n 一 l ) I 。 ( x ) + x l 。 、 。 ( x ) ]} ; e 4 = 一 { n K , 、 , ( x ) 一 x K 。 十 1 ( x ) 一 n ’ ( l 一 v ) / x , [( n 一 l ) K 。 ( 二 ) 一 x K 。 + , ( x ) ]} · 式 中 大 、 玖 、 几和 凡 为 n 阶 B路 s el 函数 , 毋 为夹径 比 , ? 为泊 松 比 . 频 率方 程是 关 于特 征 值 x 的 方 程 . 无量 纲频 率 又与特征 值 x 的关系是 : 又= x 勺[3( 1 一 自l.ln 固有 圆频率 co 和 固有 频率 f 与无量 纲频 率的换算关 系分别 为 : 。 = 又 h (E /户) , / , / a , : =f 又h ( E /户) , / , /( 2 二 a , ) (2 ) 式 中 a 为锯 片外半 径 , h 为锯 片半 厚 , E 为杨 氏弹 性模 量 , p 为密度 . 无 量纲 振型 函 数 为 : W (中 r , 8 ) = R (中 r ) 0 ( 8 ) 其 中 : O (的 = co s 。 ( 口一 氏) ; 0是待定 常数 , 由初始 条件 确定 . R 呻 r ) = [大(中 r x ) Y 。 (中 f x ) I 。 (小 : x ) K 。 ( 中 r x )}{ C } 式 中 : 。 r 一 ; / 。 为无 量纲半 径 ; {一一一一一L 一一一一! 1 } b , b , b 月 } } b , 】 } { C } = <_ } J 」 」 } } J t 七 ’ 一 } 卜 讯莺片丫}!

.574 郭兴旺等：圆锯片振动模态的准确解 Vol.16 No.6 节径位置由方程⊙(=0确定，即为： 0m=(2m-1)π/(2n)+6。(n=1,2,3,;m=1,2,…,n) 节圆的无量纲半径位置为方程 R(Φ)=0 (3) 在区间0<D,≤1上的根， 频率方程(1)和决定节圆位置的方程(3)是含有Bssl函数的复杂超越方程，没有解析 解.振型因子函数R(D,)是含有Bssl函数的复杂超越函数，难以想象其曲线形状.因此、无 论是求固有频率还是振型，都只能借助于电子计算机用数值计算方法完成.这时遇到的一个 重要问题是如何计算各类Bessel函数的值.计算Bessel函数通常使用的方法有两种：一是利用 Bessel函数的级数表达式是利用Bessel函数的近似多项式逼近公式及递推算式.Bessel 函数计算的具体过程比较冗长和复杂，在此不作详细讨论.振动模态的全部计算过程由自编 的计算机程序完成，程序操作简便，运算迅速，并具有振型图绘制功能， 取泊松比=03，在各种夹径比下普通圆锯片的无量纲频率的计算结果如表1.夹径比 ④=0.5的锯片的2个典型模态振型如图1和图2所示，图中曲线R是归一化振型因子函数 的曲线图，R,(④，)=R(①，)/R(④，)lms,R,(④，)取最大值1的位置由一竖线标出.数对(m,n)表示节圆 数为m、节径数为n的振型模式，④，表示节圆的无量纲半径位置， 表1普通圆锯片的无量纲频率 Tablel Nondimensional frequencies of usual circular saw blades 节圆节径 夹径比 数m数n0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 0 2.563.144.035.467.8812.4222.3651.14208.4 1 2.112.913.975.528.0412.6722.7051.54208.9 3.403.904826.338.9013.6223.7752.77210.3 0 3 7.547.638.039.0611.23.15.7225.8254.91212.6 4 13.2213.2313.3613.9115.4919.4129.0958.05215.9 20.2720.2720.3120.5721.6224.8433.8262.33220.2 6 28.6728.6728.6828.8029.4631.9940.1167.86225.5 15.2919.5425.7935.4451.4681.05145.2328.91325 11 16.7520.902.0136.5452.4881.98146.0329.71326 2 22.3625.3930.8339.9155.5284.78148.6332.21328 2计算结果的检验 为了验证用精确解法获得的计算结果的正确性，特用有限单元法计算一例，以作对比， 设锯片尺寸为：外径d=1.0m厚2h=0.006m,夹盘直径d,=0.5m.锯片材料为钢：弹 性模量E=2.058×10"N/m,泊松比v=0.3,密度p=7.8×10kg血. 根据锯片的轴对称性，可只取半片建立有限元模型.将其划分成90个四边形单元，114

· 5 .74 郭兴旺等 : 圆锯 片振 动模态 的准确解 Vo l . 16 No .6 节径 位置 由方程 0 (0) = 0确 定 , 即 为 : s m = ( Z m 一 l ) 二 /( Z n ) + 8 。 ( n = l , 2 , 3 , · , · ; m = l , 2 , … , n ) 款圆的无 量 纲半 径位 置 为方程 R (中 r ) = 0 (3) 在 区 间 O < 俄 蕊1 上 的根 . 频率 方程 ( l) 和 决 定 节 圆位 置 的 方 程 ( 3) 是 含 有 B es sel 函 数 的复 杂 超 越方 程 , 没 有 解 析 解 . 振型 因 子 函 数 R (电 ) 是含 有 B e 哭七】函 数 的复 杂超 越 函 数 , 难 以 想 象 其 曲线 形状 . 因此 , 无 论是 求 固有 频率 还是 振型 , 都 只能 借助 于 电子计算 机用 数值 计算 方法 完 成 . 这 时 遇 到 的一 个 重要 问题是 如何 计算各类 B 巴 s d 函数的值 . 计算 B。 弥el 函 数 通 常使用 的方 法 有 两 种 : 一 是 利 用 B 罄哭 1函 数 的 级 数 表 达试是 利 用 B 路哭1 函 数 的 近 似 多 项 式 逼 近 公 式 冈 及 递 推 算 式 . B 巴se l 函数计算的具体过程 比较 冗 长和复杂 , 在此 不作详细讨论 . 振动模态的全 部计 算过 程 由 自编 的计算机 程 序完 成 . 程序 操 作简便 , 运 算迅 速 , 并 具有 振型 图绘制功 能 . 取泊 松 比 v = .0 3 , 在各种 夹径 比 下普通 圆锯 片的无 量纲 频率 的计算结果 如表 1 . 夹径 比 中= .0 5 的锯 片 的 2 个典 型模 态振 型如 图 1 和 图 2 所 示 , 图 中 曲线 R 是 归一 化 振 型 因 子 函 数 的 曲线 图 , R l (。 r ) = R (。 r )/ R恤)}~ , R , (叭)取最大 值 1 的位置 由一 竖线标 出 . 数 对 ( , , n) 表示节 圆 数 为 m 、 节径 数为 n 的振 型模式 , 中.表 示节 圆 的无量纲半 径 位置 . 表 1 普通圆锯片的无最纲频 率 aT 决I N 谊d 如曰妇加司 示冲” 心此 of 妇. l d 川面r asw b 匕山` 节圆 节径 夹径 比 数 m 数 n 0 1 0 . 2 0 3 04 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 0 2 . 56 3 . l 4 4 D3 5 . 46 7 . 8 12 4 2 2 . 36 5 l . l4 208 . 4 1 2 . 1 1 2 9 1 3 . 97 5 . 5 2 8 . 供 1 2 . 6 7 2 . 70 5 1 . 另 20 89 2 3 一 4() 3 . 如 4名2 6 3 3 8 . 叩 1 3 . 62 2 3 . 77 5 2 . 7 7 2 103 0 3 7 . 54 7 . 63 8 D3 9 . 既 1 1 . 23 1 5刀2 25 . 82 另 . 91 2 12 . 6 4 132 2 132 3 133 6 1 39 1 1 5 . 49 1 9 . 4 1 29 . 的 5 8 . 0 5 2 15 . 9 5 20 . 2 7 2O . 27 20 3 l 2O5 7 2 l . 62 24 . 84 33 . 82 6 2 3 3 220 . 2 6 28 . 6 7 28 . 6 7 28 . 68 28 . 80 29 . 46 3 l . 9 40 . l l 67 . 86 2 5 . 5 0 15 2 9 19 . 义 2 57 9 35 . 闷4 5 1 . 《 1 8 1 . 05 14 5 2 328 . 9 132 5 1 1 16 . 75 20 . 叩 万 . 0 1 36 . 另 52 . 铭 8 1 . 98 146 . 0 329 . 7 1326 2 2 2 3 6 2 5 3 9 30 . 83 3 9 9 1 55 . 52 84 刀8 148 . 6 332 2 13 2 8 2 计算结果 的检验 为 了验 证用精 确 解法 获得 的计 算结 果 的正确性 , 特用有 限单元 法计算 一例 , 以 作对 比 . 设锯 片 尺 寸 为: 外 径 d 二 1劝 m , 厚 h2 二 .0 o 6m , 夹盘 直径 d l = .0 5m . 锯 片材 料为 钢: 弹 性 模量 ￡= 2 . 0 5 8 x 10 , ’ N mz/ , 泊松 比 v = 0 . 3 , 密 度 夕 = 7 . 8 x 10 , k g sm/ . 根 据锯 片 的轴对 称性 , 可 只取 半 片建立 有限元 模 型 . 将其 划分 成 90 个 四 边 形单 元 , 1 14

1994年No.6 北京科技大学学报 ·575· 个结点，用SAP6计算振动模态，结果表明，用精确解法和SAP6所得的固有频率和 振型都非常一致，表2是用3种方法获得的固有频率的对比，砂型实验结果比理论计算结 果偏小，这主要是由于实验时实际锯片的材料、尺寸及支承情况与理论计算时有所差异而 造成的·另外，用精确解法算得的固有频率与参考文献[]上用R一G法算得的结果也非常 一致·总之，本文的精确解法和其计算结果是极其正确的· 00204060.8i.0 0d立a406o8i0 图1振型(04)、元=15.49 图2振型(1,4)，1=6782，D=089 Fig.1 The mode shape (0,4=15.49 Fg2 The mode shape(1,01=67.82Φ，=0.89 表2普通圆锯片D1000-500-6的固有频率/H Table2 The natural fregencies of the usual circular saw blade 1000-500-6/Hz 节圆数m000 00 0 0 0 0 1 节径数n012 3 4 56 7 8 0 准确解法77.378.987.3110.2152.0212.1289.0381.1 487.5504.8 SAP6法76.077.6861108.8149.8208.4282.7370.7470.8475.1 砂型实验-一67 87129184 259347447 3泊松比对振动模态的影响 无量纲频率和振型都与泊松比有关，各种钢材的泊松比有一定的差异，一般为v=024~ 0.30.前面的模态计算中均取v=0.3,现再取v=0.24计算夹径比①=0.5的锯片的振动模 态.结果表明：v=0.24时的无量纲频率和振型与v=03时的相差极小，其中，无量纲频率 的对比见表3.夹径比和泊松比取其它值时的进一步计算得出了同样的结论.因此，v=0.3时的 无量纲频率和振型的计算结果可以作为钢质普通圆锯片的通用数据， 4讨论 本文从严格的振型函数和频率方程出发求取锯片的振动模态，是属于经典解法的范踌

1望〕4 年 N o 石 北 京 科 技 大 学 学 报 个 结 点 , 用 S A P 6 计算振 动 模 态 . 结 果 表 明 , 用 精 确 解 法 和 S A P 6 所 得 的 固 有 频 率 和 振 型都非 常一 致 . 表 2 是 用 3 种方 法获 得 的固有 频率的对 比 . 砂 型 实 验 结 果 比 理 论计 算 结 果偏 小 , 这 主要是 由于 实验 时 实际锯 片 的材料 、 尺 寸及 支承 情况 与 理 论计 算 时 有 所 差 异 而 造成 的 . 另外 , 用精确 解法 算得 的 固有频 率与参考 文献【l] 上 用 R 一 G 法 算 得 的 结 果 也 非 常 一致 . 总 之 , 本 文的精 确解 法 和其计算结果 是极 其正确 的 . 0 0 . 2 .0 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 图 1 琢1 振型 (叼) , 元= 15 . 翻 刀犯 n . 山 如碑 (场毛 又二 1.5 翻 图 2 振型 (l ,4) , 元二 67 . 82, 叭二 0乏口 瑰 2 11祀 n . de 湘伴 l( ,4l 又= 价名么 中产 0乏口 表 2 普通回锯片巾 1仪班,一 , 阶 一 6的固有频率 /zH aT U睦2 11比 皿灿阁 触明州冶 of 叙 谈剐目 d “ 知姗 as w ha de 巾 1《洲 ) 一 , 洲)一 6 /H z .48750 47 节圆 数 m o 节径 数 n o 准确 解法 7 3 S A P 6法 7 6刀 砂型 实验 一 78 . 9 7 7石 0 3 1 10 . 2 108 . 8 87 0 4 1 52 . 0 14 9 . 8 129 0 5 2 12 . 1 2 (粥 . 4 184 0 6 289 . 0 2 82 . 7 2 59 0 0 8 0 38 1 . 1 3or 夕 抖 7 夕又 .8 4 7 5 . 1 02 .878667 3 泊松 比对振 动模态的影 响 无量 纲频率 和振 型都 与泊 松 比有 关 , 各 种钢 材 的泊松 比有 一定 的差 异 , 一 般 为 , = .0 24 ~ 住 30 . 前 面 的模 态 计 算 中均 取 v = 0 . 3 , 现 再 取 , = 0 . 24 计算 夹 径 比 中 二 0 . 5 的 锯 片 的 振 动模 态 . 结果 表 明: , = .0 24 时 的无量 纲 频 率 和 振 型 与 v = 0 . 3 时 的相 差 极 小 . 其 中 , 无量 纲 频 率 的 对 比见 表 3 . 夹径 比和泊 松 比取其 它值时 的进一 步计算得 出 了同样 的结论 . 因此 , v = 0 . 3 时的 无量 纲频 率 和振型 的计算结果 可 以 作为钢质 普通 圆锯 片 的通用 数据 . 4 讨论 本文 从严 格 的振 型 函数 和频 率方程 出发 求取 锯片 的振 动模 态 , 是 属 于经典解 法 的范踌

·576 郭兴旺等：圆锯片振动模态的准确解 Vol.16 No.6 表3当中=05，v=024和03时的无量纲频率 Table3 Nondimensional fregencies for the case:=0.5,v=0.24 and 0.3 节圆数m节径数nv=0.24v=0.3 节圆数m节径数nv=0.24v=0.3 0 0 7.67 7.88 0 50.41 50.46 0 885 8.90 2 54.53 55.52 0 4 15.62 15.49 4 66.8967.82 与各种近似法相比，没有对振型函数作任何预先的假定，因而求得的解是准确解.其精确度 主要取决于Bssl函数的计算精度，本文计算结果的正确性已被其它方法所证实.作者认为本 文的计算精度高于任何近似法. 本文不计锯片的离心力，当考虑离心力时，由于离心力对锯片的张紧作用，各阶固有频 率将有所提高.因此、本文所求得的各阶固有频率是旋转锯片各阶固有频率的下限值. 5结论 (1)当Φ=0.1~0.35时，基频对应的振型模式是(0,1)；当Φ=0.4~0.9时，基频对 应的振型模式是(0,0). (2)随着夹径比的增加，各阶频率单调增大.当夹径比和夹径数不变时，随着夹圆 数的增加，相应的颜率迅速增大， (3)除同时满足Φ<0.4，m=0,n≤1外，在其他情况下，当夹径比和夹圆数不变时，随 着夹径数的增加，对应的频率单调增大. (4)钢材泊松比的变化对振动模态的影响极小，可以忽略不计， (5)表1可用于确定任何钢种、任何尺寸普通圆锯片的固有频率， 参考文献 1 Mote C D Jr.Free Vibration of Initially Stressed Circular Disks.J Eng Industry,1965,87:258 2熊华.金属热切圆锯片动态特性的研究：[硕士学位论文】北京：北京科技大学，1988 3彭新根.超声锯的可行性研究：「硕士学位论文】北京：北京科技大学，1989 4吴宇东，金属圆锯片模态分析及动态特性灵敏度分析：[硕士学位论文】北京：北京科技大学，1989 5张纪锁，干太勇，张策，各种结构金属圆锯片振型的试验分析.噪声与振动控制，1988(5)：7 6郭兴旺，邹家样，圆锯片振动模态的分析.北京科技大学学报，1993.156：624 7 Hitchcock A J M.Mathematical Tables and Aids to Computation,1957,11:86

郭兴旺 等: 圆锯 片 振动模态 的 准确 解 Vo l . 1 6 N o . 6 表 3 当 中= 05 , v = 0二闷和 帕 时的无 t 纲频率 aT l众 3 N 血司如曰因加司 加钾心匕 for 血 c a s e : 巾 = 叭 , 二 0二鸿 a回 帕 节圆数 川 节径数 n , = 住24 v = .0 3 节圆 数附 节径数” v 二 .0 24 , = .0 3 0 0 7石7 7 . 88 1 0 印.4 1 父 . 46 0 2 8名5 8 . 叩 1 2 又5 3 5 5 . 5 2 0 4 15 . 62 15 . 49 1 4 6 . 89 6 7 . 82 与各 种 近似 法相 比 , 没有 对振 型 函数 作任 何预先 的假 定 , 因而 求得 的解 是 准 确 解 . 其精 确 度 主要 取 决于 B 路s e l 函 数的计算精度 . 本 文计算结果 的正 确性 已被其它 方法 所证实 . 作者 认 为本 文 的计算 精 度高 于任 何近 似法 . 本 文不 计锯 片 的离心 力 . 当考 虑离 心力 时 , 由于 离心 力对锯 片 的 张 紧作用 , 各阶固 有 频 率 将有 所提 高 . 因此 , 本 文所 求得 的各 阶固有 频率是 旋转 锯片各 阶 固有 频率的下 限值 . 5 结论 ( l) 当 中 = .0 1 一 0 . 3 5 时 , 基频 对应 的振 型 模 式 是 (0 , l) ; 当 中 = 0 .4 一 .0 9 时 , 基 频 对 应 的振型 模式 是 ( 0 , 0) . ( 2) 随 着 夹径 比 的 增 加 , 各 阶频 率 单 调增 大 . 当夹径 比和 夹 径 数 不 变 时 , 随 着 夹 圆 数 的增加 , 相应 的频 率迅 速增 大 . (3 ) 除 同 时满足 。 < .0 4 , m 二 0 , n 簇 1 外 , 在 其他情况下 , 当夹径 比和夹 圆数不 变时 , 随 着夹 径 数 的增加 , 对应 的频率单调增 大 . ( 4) 钢 材泊 松 比 的变 化对振 动模 态 的影 响极小 , 可 以 忽 略不计 . ( 5) 表 l 可用于 确 定任何 钢 种 、 任 何尺 寸 普通 圆锯 片 的固有 频率 . 参 考 文 献 M o et C D J r . F ecr V ib m t , o n o f I n i tial y St r巴粥 de Ci cr l l l a r D is kS . J E n g I n d su ytr , 19 6 5 , 87 : 2 58 熊 华 . 金 属热切圆锯 片动态特性的研究: 【硕士 学位论文 ] . 北 京: 北 京科 技大 学 , 198 彭新根 . 超声 锯的 可 行性研究 : 【硕士 学位论文 ] . 北京 : 北京科技大学 , 198 9 吴 宇 东 . 金属 圆 锯 片模态分析 及动态特性灵敏度分析 : 【硕士 学位论文 ] . 北京 : 北京科技大学 , 1989 张 纪锁 , 王 太 勇 , 张 策 . 各种 结构金属 圆 锯片 振 型 的 试验分析 . 噪 声与 振动控制 , 19 8 8 (5 :) 7 郭兴旺 , 邹家祥 . 圆 锯片振动 模态的 分析 . 北京科技大学学报 , 19 3 , 1又你 6 24 H i t e l l co k A J M . M a th ema t以1 aT b leS a nd 九ds to oC m P IJ t a tio n , 19 5 7 , 1 1: 8 6