D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1994.02.021 第16卷第2期 北京科技大学学报 Vol.16 No.2 1994 Joural of University of Science and Technology Beijing Apr.1994 三阶常系数非齐次线性微分方程的通解 吴檀 北京科技大学数力系，北京100083 摘要本文按三阶常系数非齐次线性微分方程（这里，非齐次项∫(x)是任意的连续函数）对应之 齐次方程的特征方程的特征根的不同情形，给出了该类方程的通解具体形式， 关键词线性微分方程，通解，特征根 中图分类号0175 The General Solutions of Nonhomogeneous Linear Differential Equations of Third-order with Constant Coefficients Wu Tan Department of Mathematics and Mechanics.USTB,Beijing 100083,PRC ABSTRACT This paper studies the general solutions of nonhomogeneous linear differential equa- tions of third-order with constant coefficients,where the nonhomogeneous member is any continuous function. KEY WORDS linear differential equations,general solutions,characteristic roots 文献[1]指出：常系数非齐次线性微分方程 y+py(-D+.+p-v'+Pay=f(x) (1) 的通解为 y=e∫ew小ew∫-eed.ddd (2) 其中、rn是与方程(1)对应的齐次方程的特征方程的n个特征根(k重根按k个 根计)，而∫(x)是任意的连续函数，文献[1]还就特征根两两互不相等和全相等两种情况， 未加推导地给出了方程(1)的通解具体形式（见文献[1]定理3、4）. 应当指出，文献[1]定理4的结论存在因疏忽而导致的错误.正确结论可由下述定理给 出. 定理1设方程(1)对应的齐次方程的特征方程的特征根为r=2=…=,=r,则该方 程的通解为 1993-10-18收稿 第一作者男52岁副教授
第 卷 第 期 2 1 6 年 月 4 4 9 9 1 北 京 科 技 大 学 学 报 J o ~ 1 t s s f f i i U v r n o e o y ~ c e n a m T d [ C ] e o g f j i B o e y g i n V o l . N 1 6 o . 2 碑 A . 4 99 1 三 阶常系 数非 齐次线性微分方程 的通解 吴 檀 北京科技大 学数力系 . 北京 以粥 0 3 1 摘要 本文按三阶常系数非 齐次线性微分方程 这 里 ( , 非齐次项 f (x) 是任意 的连续 函数 ) 对应之 齐次方程的特征方 程的特征根的不同情形 , 给出了该类方程的通解具体形式 . 关键词 线性微分 方程 , 通解 , 特征根 中图分类号 0 175 T he eG ne alr S of ut in ns of N b n h o mo g e n e o us iL nea r D i fe r e n t ial 鞠皿it o ns o f T h idr 一 o r d e r iw t h C o ns at n t C o ief ic e nst W “ aT n 块P art ~ t o f M a t】把 n 祖 t心 a n d M eC 址 I n l“ , U S T B , B旬ing l (X 幻8 3 , P R C A BS T R AC T hT is Pa Per s tu d i巴 t h e g en ra l s o lut io ns o f n o n h o mo g en eo us il n 份r d迁re re n tin l 叹ua - it o ns of t h 让d 一 o rd er iw ht co ns ta nt co e if 白en ts , w h er t h e no n h o mo g e n co us n r m be r 15 a n y co n t i n u o us ft m ct in .n 、了、 ., 矛 , . 1 2 了.、了吸、 K E Y W O R 】粥 iln 份r d正fe er n it al eq ua it o sn , g e n e r a l so l u t i o ns , ch a ar d 比isr ict or o st 文 献 【l] 指 出: 常 系数非 齐次线性 微分 方程 夕( ” )+ 夕1夕( ” 一 ’ ) + … + 几 一 少 ` + 几 夕= f ( x ) 的通解为 ’ 一 e r ” { e ` r ’ 一 r ” ` { e ` r’ 一 r ” ` 川 e 叭 一 r ’ 一 ” ` { f (x , e 一 『 “ ` “ “ “ x ` ” “ x d ’ 其中 lr 、 ` 、 … 、 ` 是 与方 程 ( l) 对应 的 齐次方 程 的特征 方程 的 n 个 特 征 根 ( k 重 根 按 k 个 根计 ) , 而 f (x ) 是 任意 的连 续 函 数 . 文 献 【l] 还 就 特 征 根 两 两 互 不 相 等 和全 相 等 两种 情 况 , 未加 推导地给 出了方 程 ( l) 的通 解具 体形 式 (见 文献 【l] 定 理 3 、 4) . 应 当指 出 , 文献 【1 定理 4 的结论存在 因疏 忽而 导致 的错 误 . 正 确 结 论可 由下 述 定 理 给 出 . 定理 1 设方 程 ( l) 对应 的 齐次方程 的特 征方 程 的特 征 根 为 r l = 几= · 一几= r , 则 该方 程 的通 解 为 1男3 一 10 一 18 收 稿 第一作者 男 52 岁 副教授 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1994. 02. 021
·196 北京科技大学学报 第16卷 xf(x)edxe" (3) 鉴于文献[1]未给出其定理4的具体论证过程，在此我们对阶数n应用数学归纳法给出 (3)式的证明.根据线性方程解的结构定理，并注意到 0g=Ga≥ -1)(n-)！ 只需证明：当，=2=…==r时，方程(1)具有特解 产n2-cx小esa (4) 这里)dx表示f心纠对应于积分常数c=0的一个原函数（体文下同）. 证明：当n=2时，由(2)式及，=r2=r,应用分部积分法可得 产-ere(eujd=e(xfroed-∫oear） (-1)Cfedx 设(n-I)阶方程当r=2=…=r-,=r时具有特解 =ee∫feroo 2-cee (5) 则当=r2=…=.=r时，n阶方程的特解为 eddx-dx dx 注到CC以便有 图wc×小erae-区-c 厚-wcw -c小fe (证毕) 我们指出，如果引用下述记号：
19 6 北 京 科 技 大 学 学 报 第 16 卷 夕一 信一) · …阵卡}}{斋命{ 一了` · ,一 d · 」 一 ` , , 鉴 于 文献 【l] 未 给出其定理 4 的具体论证过 程 , 在此 我 们 对阶数 n 应 用 数学 归 纳法 给 出 ( 3) 式 的证明 . 根据线性 方程 解 的结构 定理 , 并 注意到 C 二{ 二 (n 一 l ) ! ( i 一 l ) ! ( n 一 i ) ! 只需 证 明 : 当 r l 二 几 = · 一 ` = ; 时 , 方 程 ( l) 具有 特解 y * ( n 一 l ) ! 睿 ( 一 1) 卜 I c : 、一丁一 , ` · ,一 ` · ( 4 ) “ 里 少 x( ) d · 表 示 f( X ) “ 应于 积” 常“ 一 0 的一个 原 函” `本文下 同 , X 一 勺八丈d ! y * = e r (介 · , e 一『 “ 一 ( · 少 x() 一丁 、 ` · ,一) . 时肤 - 勺白 C . 证明: 当 n ` , 由 ( 2 ) 式 及 lr = 几= r , 应用分部积 分法 可得 = e 一 艺( 一 l ) ` 一 ’ c 丁 ’ x , 一 ` : ’ 一 f x( ) e 一 r ’ d x 设 ( n 一 l) 阶方程 当; ; = 几 = · 一 几 _ , = r 时具有 特解 /一介 。 · 于 二 介 。 · { 了( · ,一 d · d · … ` · C 护 x ( n 一 2 ) ! 艺(一 l ) `一 ’ 。 二;一丁一xf( )一 d · ( , , 则 当 r l = 几 = · 一 ` = ; 时 , n 阶方程 的 特解 为 夕一介 。· }{ 一于 二 丁 一介 (x ) · - · · d 一」 d · 、 , * _ 。 , 二 f [ _ 1 y 一 妇 . 1 奋 不石 J L 沪 一 乙厂 工( 一 l) `一 ’ C 黔 x ” 一 ’ 一 `丁一 , x( )一 ` · 」 d · C r x (n 一 2 ) ! (一 l ) ` 一 ’ 六 C:二;「一{ 一 , x( )一 d一 { 一, x( )一 d · 」 曰艺同 注意 到 -土一 C华飞 l n 一 l C某 ,1 , 便有 山 C , x y , = 万尸一下又下 协 一 l ) ! ! · 二二;一{ 一 , ( · )一 d一 (国 (一 , ) `一 C ; 、 ){ 一 , x( )一 xd · 」 e , x (n 一 l ) ! e x, (n 一 l ) ! 我们指 出 , [客 ( 一 , ) ` _ 圈 (一 , ) ` _ ` C犷气x ” 一 ` 卜 1 , x( )一 d二 (一 1)一 c :二、丁一, x( )一 d · 」 工(一 l ) ` 一 ’ C华} x ” 一 ` _ 厂x( ) e 一 “ d x (证毕 ) 舟 犷找 . 了’x- , J 产 . JxI 如果 引用下 述记号 :
第2期 吴植：三阶常系数非齐次线性微分方程的通解 197 fxryos-[r-y0ea] (6) 则特解(4)可改写为比较简洁的形式 产a[-d- (7) 事实上，由二项式定理，可知 2(-rCx1-2Cx(-1=(x-1 从而 fo-eod 1 文献[1]按二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py'+qy=f(x) (8) 对应的齐次方程的特征方程的特征根的不同情形，给出了方程（⑧）的通解具体形式·.这 里，我们将就三阶常系数非齐次线性方程 y"+py"+pay'+pay=f(x) (9) 进行讨论，所得结果可表述为： 定理2设方程(9)对应齐次方程的特征方程的特征根为、乃（化重根按k个根计）. (1)如果公两两互不相等，则方程(9)的通解为 y-4ce+--网eed+-n-eewax 1 )edx 1 (10) 特别地，当r2.,=a士B(a.B∈R)时，则(9)式的通解为 ycte"ccosi))endx (sin Bx-ponB)r)eodx -e-ousx+nB刘f树emxd]} (11) (2)如果≠2=1=r,则方程(1)的通解为 6e+可[jroe-eoea时
第 2 期 昊植 : 三 阶常系数非 齐次线性微分方程 的通解 { 一, x( )一 `一〔丁 亡`一 , (。一` ! 」 : 一二 ( 6 ) 则 特解 (4) 可 改写 为 比较简洁的形 式 , · 认清万 〔x(J 一 。一 , ( r )` ! 」 !一 ( 7 ) 事 实上 , 由二项式 定理 . 可知 从而 艺( 一 l) `一 ’ C 二}护 一 ` , `一 ’ = 艺C 洲护 一` (一 )t ` 一 ’ = x( 一 )nt 一 ’ , · 认篇下 睿 (一 ` , 卜 I C ; 、一 〔{ ! 卜 了。 )一 d亡 」 `一 二 一 尚〔丁信 (一 ) 卜 1 · : : 、一) f ( t ,一」 ! 一 一 尚 [x([ 一 。一 了`。 d 艺 ] ,一 文献 t l] 按二 阶 常系数 非 齐次线 性微分 方 程 ’r + 刃 ’ 十 qy 二 f(x ) 对应 的 齐次方 程 的 特 征方 程 的 特 征根 的 不 同 情形 , 给 出 了方 程 里 , 我们将就三 阶常 系数非 齐次线 性方 程 夕, + 尹1夕 ” + 乃夕 ` + 乃 夕= f ( x ) 进行讨论 , 所得 结果 可表 述为 : 定 理 2 设方程 ( 9) 对应 齐次方程 的特 征方程 的 特征根 为 ; l 、 ( l) 如 果 lr 、 几 、 r 3 两 两互不 相等 , 则方程 ( 9) 的通解 为 ( 8 ) ( 8) 的 通 解 具体形 式 . 这 ( 9 ) 几 、 r 3 (k 重 根按 k 个根 计) . y 一 艺c , e 叭· + (r 一 r办(r ,一 sr) 一少 x( ,一 d二 l (rz 一 lr ) (rz 一 几 ) 一 少 x( ,一 ` d · + 砰下六而 当 r Z , 。 = : 士 i口( : 、 一少 ( · ,一 d · ( 10 ) 特别地 , 口分 R) 时 , 则 ( 9) 式 的通解 为 y = c l e 『,’ + e ” ( cZ co s 口 x + c3 s i n 口 x ) + ( “ 一 r l ) ’ + 刀 ’ { 砂 · 如一 ’ d ` · 爷[ ( 。 一) S。 ,一。 co s。 · )少 x( ,一 “ · d · 一 、 (一 ; l ) co s 。二你。 。 · ) · 丁 x( )一 in , · ` · 」} ( 1 1 ) ( 2) 如果 r l笋几 = ` = r , 则方 程 (l ) 的通解 为 , 一 。 l e ·: · 十 (。 + 。 二 ) 。 。 七毕卞 「 。 r、 · 份 ( x ) 。 一 d 二 一 e 二 份 x( ) 。 一 d 二 ) 扩 一 r l ) L J J 」
…198 北京科技大学学报 第16卷 +frex-小oea] (12) (3)如果1=2=1，=”，则方程(1)的通解为 y-(toxe)eedx 2e+小e/ea]小em (13) 其中c(i=1,2,3)为任意常数. 证明：根据线性微分方程解的结构定理，只需推证：按特征根的不同情形，方程(9)分 别具有通解式(10)~(13)中所指出的特解即可. (1)当T23两两互不相等时，由(2)式进行分部积分，得方程(9)的特解 aj e(n-nx. edx-fedxdx 注意到 1 1 3-2 -5--)G-)’ (I0)式得证；特别地，当23等于x士邛时，由于 (-2)(m-r)=(a-r)2+B2 弋 万rera+-o-f 1 【a-+81·2eaw/)e-tdx 1 1 [a-r)-i](-2$m e(fx)e(dx (csx+isin))(cosx-sinpz)dx B+(a-n)i +B-(a-n)i -28B+a-7e“(-isi血Bx) f(x)e **(cosBx+isinBx)dx a-r)singx-BonBs
19 8 北 京 科 技 大 学 学 报 第 16 卷 r 一 r ] 一 卜少 (x )一 d一 丁 · , x( ,一 d · 」 ( 12) ( 3) 如果 r l二 几 = 几“ r , 则方 程 ( l) 的通解 为 , 一 `一 q二 乌分 , · … 合卜于 ( x) 一 d · 一 2 · 介xf( )一 d二介 , x( )一 d · } … ( 13 ) 其 中 q i( 二 1 , 2 , 3) 为任意 常 数 . 证 明 : 根据线 性微分方 程解 的 结构定 理 , 只需 推证 : 按 特 征 根 的不 同情 形 , 方 程 ( 9) 分 别具有 通解 式 ( 10) 一 ( 13) 中所指 出 的特解 即可 . ( l) 当 lr 、 几 、 3r 两 两互 不相 等时 , 由 ( 2) 式进行 分部积 分 , 得方程 ( 9) 的特解 y * 一 e 『 , 一[介 (一 (少 (x )一) d · 」 d · e 〔 、 一 动 二 六 e[ (一lf(x ) 一介 (x ,一xl d · 了月J 月 上丁 几 一 几 r 3一 r Z 一 [丁一 (孙 ,一) d一丁一(孙 )一) d · · 『 ·1 」 [告 (一少 ( · ) 一少 。 )一) 告 (一介 x( ) 。 一`一卜 )一 d · )」 注意到 - 卫一 _ _ r l一 几 ( 10 )式 得证 ; 特 别地 , 3r 一 几 lr 一 几 (r l 一 幼 (r l 一 心 ’ 当 几 、 r 3 等于二 士 iP 时 , 由于 ( r l 一 几) ( r , 一 几) = 恤一 r . ) ’ + 刀 ’ , (rz 一 lr ) (几 一 s)r l …介 (x ,一 ’ d二 a(r 一 lr ) a(r 一 动 。 r 3· xf(j ,一 ` d · ) e ( 一 “ + ` 刀) ` dx 如和 e ( 区 + .口 ) 二 [恤一 r】 ) + 谓』 · 2刀i x( ) e 一 ( “ + 谓 ) ’ d x é 十 一 — 上一一一 【恤一 r l )一 i刀』(一 2刀i) 口+ 恤一 r l ) i 一 2刀【刀 , + ( : 一 r l ) ’ 』 e “ x ( co s 月 x + i s in P x ) ( co s吞 x 一 台in 刀 x ) d x 口一 ( : 一 r l ) i 一 2刀[刀 , + ( : 一 r l ) ’ ] (co s 十` S in “ · ,卜 )一 “一 in ” · )孙 ) e 一 “ 尤 ( co s刀 x + 台i n脚 ) d x C “ x 刀【 : 一 r l ) ’ + 刀 ’ 1 {〔 (一 ) S in ,一 , co s “ · 」介 ,一 “ · d ·
第2期 火榈：三阶常系数非齐次线性微分方程的通解 199. 故根据(10)式，可知(11)式正确， (2)当r,≠2=3=r时，方程(9)有特解 oe"ddx dx je…[eds]r 在上式中，再对 wTroaJa 进行分部积分，便可知(12)式成立， (3)当7，=2=r=r时，将n=3代入(3)式，即得(13)式.（定理2证毕） 应当说明：当引用形如(6)式的记号时，同样可以较为简洁地表述公式(10)~(13)， 例1解方程y"+4y'=s6c2x(0<x<π/4) 解2+4r=r(+4)=0,n=0,r23=±2i 由公式(11)，得该方程通解为 y=c+c cos 2x+csin 2x+ In(+-2xow2x +in2xlow2x 例2解方程y-3y+3y-y= 解r3-3r2+3r-1=(r-1)3=0,r=r2=r=1 由公式(13)，可得通解 =6*ooe+[y号es-2号e+jeg时e =G+ax+6xe+[-2+e -S+ex+gx2+艺a-子)e(x0, 参考文献 1吴亚敏.谈常系数非齐次线性微分方程的求解，教材通讯，1992，（们）：17
第 2 期 哭棺 : 三 阶常 系数非 齐次 线 性微分 方程 的 通 解 1卯 一 [ (一 ) oc s ,二 , S in , · 」孙 )一 in “ · d · 故根 据 ( 10) 式 , 可 知 ( 1 1) 式 正确 . ( 2) 当 r l 笋几 二 几 = ; 时 , 方程 ( 9) 有特 解 /一介 仓一 〔; 饭 (夕 (x )一 d · , d · 」 d · 一{ 。 (一 [ · 夕 x( )一丁 xf x( ,一] d · C 『 l x r 一 r l 在上式 中 , 再 对 一 { · ` 『一 r ” ’ 介 { · ` r 一 [ · 少 (x )一介 , 。 )一] 〔孙 )一 d · 」 d · } (一〔少 x( )一」 d · 进行 分部积分 , 便可知 ( 12) 式成 立 . ( 3) 当 r l 二 几= 几= r 时 , 将 n ” 3 代人 ( 3) 式 , 即得 ( 13) 式 . ( 定理 2 证毕 ) 应 当说明 : 当引用形 如 ( 6) 式 的记号 时 , 同样 可 以 较 为简 洁地表 述公式 ( 10 ) 一 ( 13) 例 1 解方程 y , + 匆 ’ 二 sce 欢 ( O < x < 7r/ 4) 解 尸+ 4r = r份+ 4 ) = o , r l = o , r ; 。 = 士 2 1 由公式 ( 1 1 ) , 得该方 程通解 为 夕一 。 0 5 2二 。 s in Z二 音卜 ( S ceZ 二龟 2 · 卜 2一 2一 ` · 2 · in co S Z · 」 例 2 解 方程 y一 3y ’+, y3 ` 一 , 一 专 解 尸一 3 r , + 3 : 一 l = ( r 一 l ) ’ = 0 , r l = 几 = 八 = 由公式 ( 13 ) , 可得 通解 一! , !一IL l esesL 一一2l1 夕= c( , + 几 x + 3C x Z ) e ` + = c( , + 几 x + c3 犷 )己 + 一 {子 · · 一{ 二 髻 护 ’川` , 一 Z +xz 合于 . 厂 。 e 支 一 a x 十 ! x - . J 一x d x 3 、 〕 _ c l十 c声 十 马 x 一 十 一不一 Lm }州 一 二万 、 少 } e 一 t x 笋 U少 “ 」 参 考 文 献 吴亚敏 . 谈常系 数非 齐次线性微分方程 的求解 . 教 材通讯 , 19 2 , (3) : 17