基于动载荷谱的齿轮弯曲疲劳寿命预测

D0L:10.13374.issn1001-053x.2013.06.018 第35卷第6期 北京科技大学学报 Vol.35 No.6 2013年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2013 基于动载荷谱的齿轮弯曲疲劳寿命预测 俞必强，李威四，薛建华，蒋磊 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:liweiustbe@sina.com 摘要为了探讨齿轮弯曲疲劳寿命计算问题，将齿轮疲劳总寿命分为两个阶段，即疲劳裂纹萌生寿命和裂纹扩展寿 命.通过ADAMS软件仿真实验齿轮的工作情况，使其接近真实状况，得到齿轮载荷谱.根据齿轮载荷谱，利用有限元 ANSYS软件分析在齿轮齿根危险截面处的最大应力.采用断裂力学、雨流法和Min©r疲劳损伤累积模型，对考虑动载 荷情况下的齿轮弯曲疲劳寿命进行预测，推导了齿根裂纹萌生期和扩展期的疲劳寿命计算公式.在高频疲劳试验机上对 算例齿轮进行了双齿脉动加载齿根弯曲疲劳寿命实验研究，理论计算结果与实验结果基本吻合，验证了本文理论分析的 正确性. 关键词齿轮传动：动载荷：裂纹萌生：裂纹扩展：疲劳损伤：使用寿命 分类号TH132.4 Prediction of bending fatigue life for gears based on dynamic load spectra YUBi-qiang,LI Wei☒，XUE Jiar-hua,JIANG Lei School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:liweiustb@sina.com ABSTRACT To calculate the bending fatigue life of gears,the fatigue process was divided into crack initiation and crack propagation periods.The real working condition of gears was imitated with ADAMS software and a loading spectrum during the work process was gained.According to the loading spectrum the maximum stress in the dangerous cross-section of the gear root was analyzed by the finite element method based on ANSYS software.Fracture mechanics, the rain flow counting method,and the Miner fatigue cumulative damage model were used to predict the bending fatigue life of gears under the dynamic load,and two calculation models of bending fatigue life were proposed for crack initiation and crack propagation,respectively.To verify the calculation models,bending fatigue testing was performed on a high- frequency fatigue testing machine.The experimental data comply with the numerical simulation results,indicating the correctness of the theoretical analysis. KEY WORDS gear transmission;dynamic loads;crack initiation;crack propagation;fatigue damage;service life 在现代工业生产中，齿轮传动是最常见也是强度有了很大提高，齿面抗点蚀胶合能力也得到增 应用最为广泛的传动形式之一四，它具有传动效 强，因此齿轮的主要失效形式表现为齿根弯曲疲劳 率高、工作可靠、结构紧凑、寿命长、传动比准 断裂10-12).对于齿轮在设计时往往要求在满足使 确、功率及速度适应范围广等特点2-).齿轮常 用条件的要求下，能够有高承载能力、高性能、高 见的失效形式有齿面点蚀疲劳和齿根弯曲疲劳.近 强度、高可靠性以及相对较低的成本，所以就需要 年来，随着表面处理技术的迅速发展，如表面热处 创建合理的计算模型来预测齿轮疲劳寿命.齿 理、表面强化和激光处理技术6-，齿轮齿面的 根疲劳过程包括疲劳裂纹萌生、疲劳裂纹扩展和裂 收稿日期：2012-03-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275035)

第 35 卷 第 6 期 北 京 科 技 大 学 学 报 Vol. 35 No. 6 2013 年 6 月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun. 2013 基于动载荷谱的齿轮弯曲疲劳寿命预测 俞必强，李 威 ，薛建华，蒋 磊 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: liweiustb@sina.com 摘 要 为了探讨齿轮弯曲疲劳寿命计算问题，将齿轮疲劳总寿命分为两个阶段，即疲劳裂纹萌生寿命和裂纹扩展寿 命. 通过 ADAMS 软件仿真实验齿轮的工作情况，使其接近真实状况，得到齿轮载荷谱. 根据齿轮载荷谱，利用有限元 ANSYS 软件分析在齿轮齿根危险截面处的最大应力. 采用断裂力学、雨流法和 Miner 疲劳损伤累积模型，对考虑动载 荷情况下的齿轮弯曲疲劳寿命进行预测，推导了齿根裂纹萌生期和扩展期的疲劳寿命计算公式. 在高频疲劳试验机上对 算例齿轮进行了双齿脉动加载齿根弯曲疲劳寿命实验研究，理论计算结果与实验结果基本吻合，验证了本文理论分析的 正确性. 关键词 齿轮传动；动载荷；裂纹萌生；裂纹扩展；疲劳损伤；使用寿命 分类号 TH132.4 Prediction of bending fatigue life for gears based on dynamic load spectra YU Bi-qiang, LI Wei , XUE Jian-hua, JIANG Lei School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China Corresponding author, E-mail: liweiustb@sina.com ABSTRACT To calculate the bending fatigue life of gears, the fatigue process was divided into crack initiation and crack propagation periods. The real working condition of gears was imitated with ADAMS software and a loading spectrum during the work process was gained. According to the loading spectrum the maximum stress in the dangerous cross-section of the gear root was analyzed by the finite element method based on ANSYS software. Fracture mechanics, the rain flow counting method, and the Miner fatigue cumulative damage model were used to predict the bending fatigue life of gears under the dynamic load, and two calculation models of bending fatigue life were proposed for crack initiation and crack propagation, respectively. To verify the calculation models, bending fatigue testing was performed on a high￾frequency fatigue testing machine. The experimental data comply with the numerical simulation results, indicating the correctness of the theoretical analysis. KEY WORDS gear transmission; dynamic loads; crack initiation; crack propagation; fatigue damage; service life 在现代工业生产中，齿轮传动是最常见也是 应用最为广泛的传动形式之一 [1]，它具有传动效 率高、工作可靠、结构紧凑、寿命长、传动比准 确、功率及速度适应范围广等特点 [2−5] . 齿轮常 见的失效形式有齿面点蚀疲劳和齿根弯曲疲劳. 近 年来，随着表面处理技术的迅速发展，如表面热处 理、表面强化和激光处理技术 [6−9]，齿轮齿面的 强度有了很大提高，齿面抗点蚀胶合能力也得到增 强，因此齿轮的主要失效形式表现为齿根弯曲疲劳 断裂 [10−12] . 对于齿轮在设计时往往要求在满足使 用条件的要求下，能够有高承载能力、高性能、高 强度、高可靠性以及相对较低的成本，所以就需要 创建合理的计算模型来预测齿轮疲劳寿命 [13] . 齿 根疲劳过程包括疲劳裂纹萌生、疲劳裂纹扩展和裂 收稿日期：2012–03–10 基金项目：国家自然科学基金资助项目 (51275035) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2013.06.018

.814 北京科技大学学报 第35卷 纹失稳断裂三个阶段.由于裂纹失稳断裂阶段时间因子K来表示.K的大小反映了裂纹尖端附近区 极短，因此在计算疲劳过程的总寿命时，只将疲劳 域内弹性应力场的强弱程度，可以用来判断裂纹尖 裂纹的萌生寿命和扩展寿命相加.本文应用局部应 端是否发生失稳的指标，即当载荷达到某一临界值 力-应变法和疲劳损伤累积理论推导疲劳裂纹的萌 时，构件发生裂纹扩展，同时应力强度因子K也达 生寿命，采用动载荷谱和疲劳裂纹扩展理论推导疲 到某一临界值.对于一般情况下，应力场强度因子 劳裂纹的扩展寿命 K的普遍形式如下： 1理论模型 K=Yovaa. (6) 1.1疲劳裂纹萌生寿命 式中：Y是取决于裂纹长度a和试样宽度W的比 决定工程构件疲劳强度和寿命的是应变集中 值的几何因子：对内部裂纹和贯穿裂纹而言a为裂 处最大局部应变和应力.当利用塑性应变幅△p/2 纹的半长度，对表面裂纹而言a为裂纹深度.在用 的对数与发生破坏的载荷循环次数N:的2倍的对 线弹性断裂力学描述疲劳裂纹的扩展速率时，应用 数作图时，对于金属材料存在直线关系： 应力场强度因子范围△K=Kmax一Kmin,其中 p=42N)f. 2 (1) Kmax =Yomax Vita, (7) 式中，N是疲劳裂纹萌生寿命，©是疲劳延性系 Kmin =YominVia, (8) 数，c是疲劳延性指数.由于在恒应变幅实验中，总 △K=Y△oVa (9) 应变幅△e/2可以写成弹性应变幅△ee/2和塑性应 △g=Omax-0min~ (10) 变幅△ep/2之和，即 △Eg 式中，Kmax和Kmin分别是一个疲劳应力循环过 2 2 (2) 程中的应力场强度因子的最大和最小值，Omax和 omim分别是一个疲劳应力循环中的应力的最大和 E 2=a=f(2N),可得 最小值.根据疲劳裂纹扩展速率da/dW(N为齿轮 弯曲疲劳的总寿命)与应力场强度因子范围△K在 e=(2NgP. 2 E (3) 双对数坐标系中呈线性关系，即 式中：oa为应力幅，为疲劳强度系数，b为疲劳 =C(AK)", da (11) 强度指数，均可以通过查资料得出：E为材料的弹 将应力场强度因子范围△K=Y△o√元a代入疲劳 性模量. 裂纹扩展速率式(11)后得 将式(1)和(3)代入式(2)可以得出 da =CYm△amx罗a罗 (12) 告-兽2NP+ear. dN E (4) 将变量分离后得 如果将式（④）和材料的循环应力-应变曲线结 da 合起来就可以得到如下关系式： dN= CYm元苦△gma受' (13) 对上式两边同时积分可得 -是+() (5) ae da Np= dN= CYm元号△oma罗= 式中，是循环应变硬化指数.式(4)表示了应变 1-号一0 1-罗 与疲劳裂纹萌生寿命的函数关系，式（⑤）表示了应 ac (14) 变与应力之间的函数关系，因此将式(4)和（⑤）联 (-罗)Crmr号△gm 合求解就可以获得应力与疲劳裂纹萌生寿命的函数 式中，N。为疲劳裂纹扩展寿命，a。为临界裂纹长 关系，如果已知应变△或应力△σ和有关参数，就 度，C和m为材料常数，需由实验确定 可以通过式(4)及（⑤）联立求解疲劳裂纹萌生寿命. 1.2疲劳裂纹扩展寿命 2 基于雨流计数法的等效循环应力分析 现代断裂理论指出，当物体内存在裂纹时，裂 要合理预测齿轮的疲劳寿命，需要根据齿轮动 纹尖端的应力在理论上为无穷大，需用应力场强度 载荷谱确定名义应力、应变范围和相应的循环次

· 814 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 纹失稳断裂三个阶段. 由于裂纹失稳断裂阶段时间 极短，因此在计算疲劳过程的总寿命时，只将疲劳 裂纹的萌生寿命和扩展寿命相加. 本文应用局部应 力–应变法和疲劳损伤累积理论推导疲劳裂纹的萌 生寿命，采用动载荷谱和疲劳裂纹扩展理论推导疲 劳裂纹的扩展寿命. 1 理论模型 1.1 疲劳裂纹萌生寿命 决定工程构件疲劳强度和寿命的是应变集中 处最大局部应变和应力. 当利用塑性应变幅 ∆εp/2 的对数与发生破坏的载荷循环次数 Nf 的 2 倍的对 数作图时，对于金属材料存在直线关系： ∆εp 2 = ε 0 f (2Nf) c . (1) 式中，Nf 是疲劳裂纹萌生寿命，ε 0 f 是疲劳延性系 数，c 是疲劳延性指数. 由于在恒应变幅实验中，总 应变幅 ∆ε/2 可以写成弹性应变幅 ∆εe/2 和塑性应 变幅 ∆εp/2 之和，即 ∆ε 2 = ∆εe 2 + ∆εp 2 . (2) ∆εe 2 = ∆σ 2E = σa E ，且 ∆σ 2 = σa = σ 0 f (2Nf) b，可得 ∆εe 2 = σ 0 f E (2Nf) b . (3) 式中：σa 为应力幅，σ 0 f 为疲劳强度系数，b 为疲劳 强度指数，均可以通过查资料得出；E 为材料的弹 性模量. 将式 (1) 和 (3) 代入式 (2) 可以得出 ∆ε 2 = σ 0 f E (2Nf) b + ε 0 f (2Nf) c . (4) 如果将式 (4) 和材料的循环应力–应变曲线结 合起来就可以得到如下关系式： ∆ε 2 = ∆σ 2E + ε 0 f µ ∆σ 2σ 0 f ¶ 1 n0 . (5) 式中，n 0 是循环应变硬化指数. 式 (4) 表示了应变 与疲劳裂纹萌生寿命的函数关系，式 (5) 表示了应 变与应力之间的函数关系，因此将式 (4) 和 (5) 联 合求解就可以获得应力与疲劳裂纹萌生寿命的函数 关系，如果已知应变 ∆ε 或应力 ∆σ 和有关参数，就 可以通过式 (4) 及 (5) 联立求解疲劳裂纹萌生寿命. 1.2 疲劳裂纹扩展寿命 现代断裂理论指出，当物体内存在裂纹时，裂 纹尖端的应力在理论上为无穷大，需用应力场强度 因子 K 来表示. K 的大小反映了裂纹尖端附近区 域内弹性应力场的强弱程度，可以用来判断裂纹尖 端是否发生失稳的指标，即当载荷达到某一临界值 时，构件发生裂纹扩展，同时应力强度因子 K 也达 到某一临界值. 对于一般情况下，应力场强度因子 K 的普遍形式如下： K = Y σ√ πa. (6) 式中：Y 是取决于裂纹长度 a 和试样宽度 W 的比 值的几何因子；对内部裂纹和贯穿裂纹而言 a 为裂 纹的半长度，对表面裂纹而言 a 为裂纹深度. 在用 线弹性断裂力学描述疲劳裂纹的扩展速率时，应用 应力场强度因子范围 ∆K = Kmax − Kmin，其中 Kmax = Y σmax√ πa, (7) Kmin = Y σmin√ πa, (8) ∆K = Y ∆σ √ πa, (9) ∆σ = σmax − σmin. (10) 式中，Kmax 和 Kmin 分别是一个疲劳应力循环过 程中的应力场强度因子的最大和最小值，σmax 和 σmin 分别是一个疲劳应力循环中的应力的最大和 最小值. 根据疲劳裂纹扩展速率 da/dN(N 为齿轮 弯曲疲劳的总寿命) 与应力场强度因子范围 ∆K 在 双对数坐标系中呈线性关系，即 da dN = C(∆K) m, (11) 将应力场强度因子范围 ∆K = Y ∆σ √ πa 代入疲劳 裂纹扩展速率式 (11) 后得 da dN = CY m∆σ mπ m 2 a m 2 , (12) 将变量分离后得 dN = da CY mπ m 2 ∆σma m 2 , (13) 对上式两边同时积分可得 Np = Z Np 0 dN = Z ac a0 da CY mπ m 2 ∆σma m 2 = a 1− m 2 c − a 1− m 2 0 ³ 1 − m 2 ´ CY mπ m 2 ∆σm . (14) 式中，Np 为疲劳裂纹扩展寿命，ac 为临界裂纹长 度，C 和 m 为材料常数，需由实验确定. 2 基于雨流计数法的等效循环应力分析 要合理预测齿轮的疲劳寿命，需要根据齿轮动 载荷谱确定名义应力、应变范围和相应的循环次

第6期 俞必强等：基于动载荷谱的齿轮弯曲疲劳寿命预测 815. 数，这需要一种合理的循环计数法，以便对复杂载 如果已知应变△E或应力△σ和有关参数，就 荷谱中的每个循环既不漏记也不重复.本文采用雨 可以通过式(4)和式（⑤）计算得到疲劳裂纹萌生寿 流计数法，其计数规则如下：首先重新安排应力一时 命N,所以首先应该用有限单元法求出齿轮齿根的 间历程，以最高峰或最低谷为起点：其次雨流依次最大弯曲应力，根据前面的雨流计数法的结果，应 从每个峰或谷的内侧向下流，在下一个峰或谷处落 用有限单元法就可以得出对应载荷峰值的齿根最大 下，直到对面有一个比其起点更高的峰值或更低的 应力，并将结果列入表1.此处应用MATLAB将式 谷值停止：接着当雨流遇到来自上面屋顶流下的雨 (⑤)进行编程计算，对应Fmax的齿根弯曲疲劳萌生 流时，即行停止：最后取出所有的全循环，并记录 寿命也列入表1中 下各自的幅值和均值 表1齿根弯曲疲劳裂纹萌生寿命 下面将雨流计数法应用于齿轮的动载荷谱处 Table 1 Crack initiation life of gear bending fatigue 理.为了便于处理，首先从齿轮载荷中提取一个周 齿根最大 期的载荷情况.齿轮从进入啮合到退出啮合是轮齿 全循环，i峰值载荷kN 萌生寿命，N:/104 应力/MPa 的一个受力周期，经历双齿啮合、单齿啮合和双齿 第一循环 19.4 919 2.48 啮合.图1给出了齿轮传动系统的动载荷谱，依据 第二循环 19.3 906 3.92 第三循环 19.2 892 6.25 雨流计数法的步骤，对于每个循环，可以得到最大 第四循环 17.6 839 22.10 载荷值Fmax· 第五循环 17.5 820 35.70 第六循环 17.3 812 68.30 19.5 在疲劳设计中对于一个应力幅的循环加载，可 19.0 以用表示外加应力和标准试样疲劳寿命关系的应 18.5 18.0 力-寿命(S-N)曲线来估算寿命.但是，在实际生 17. 活中，很多构件承受的是不规则的交变应力，其最 大和最小应力是变化的，这种情况很复杂，即无法 17 单独用S-N曲线来估算寿命.因此，本文采用疲劳 16.5 累积损伤理论来解决这类问题. 16. 若试件在应力σ1下每次循环对材料的损伤率 15.5 0.7 0.8 09 1.1 .2 为1/N1,循环n1次的o1对材料的损伤率为1/N1. 时间/s 同理应力2循环n2对材料的损伤率为n2/N2.以 图1齿轮传动系统的载荷谱 此类推，应力o:循环n:对材料的损伤率为n/N. Fig.1 Load spectrum of gear transmission 这时总损伤D=光，式中，为不同应力水平的 个数.当损伤率累积到100%时，材料就会发生疲劳 3数值计算及实验分析 破坏，此时有如下关系式： 3.1齿轮弯曲疲劳裂纹萌生寿命 根据前面阐述的原理与方法，本文以标准渐开 +++ n1 ni nr N. =ni =1.(15) N N i=1 线直齿圆柱齿轮为例，其参数为：模数m=5mm, 齿数z=30,压力角a=20°，齿宽b=14mm, 对于给定名义应力的常幅载荷，每次运行中六 传递的扭矩T=1350Nm,平均啮合刚度m= 种循环次数都是一致的.将一次运行过程中六种循 21.15×103Nmm-2,齿轮材料为20CrNi2MoA,渗碳 环看成一个载荷块，则每运行一次，六种循环也各 淬火弹性模量E=2.1×105MPa.通过上述数值解 循环一次.根据Miner疲劳损伤累积法则，各级载 法获得齿轮弯曲疲劳寿命，并分析比较裂纹萌生期 荷的累积损伤为 和扩展期的寿命.依据算例齿轮材料及参数查手册 6 、1141,1 得静强度极限b=1180MPa、n'=0.10、c=-0.5 i=1 1p=45%,代入0f=m+350、b=-石g b .1 1,1 f=n1- -,可得a=1530MPa、b=-0.069和 ++=9.06×10-3 (16) ef=0.5978. 由此可得齿轮在该动载荷谱作用下的疲劳寿命为

第 6 期 俞必强等：基于动载荷谱的齿轮弯曲疲劳寿命预测 815 ·· 数，这需要一种合理的循环计数法，以便对复杂载 荷谱中的每个循环既不漏记也不重复. 本文采用雨 流计数法，其计数规则如下：首先重新安排应力–时 间历程，以最高峰或最低谷为起点；其次雨流依次 从每个峰或谷的内侧向下流，在下一个峰或谷处落 下，直到对面有一个比其起点更高的峰值或更低的 谷值停止；接着当雨流遇到来自上面屋顶流下的雨 流时，即行停止；最后取出所有的全循环，并记录 下各自的幅值和均值. 下面将雨流计数法应用于齿轮的动载荷谱处 理. 为了便于处理，首先从齿轮载荷中提取一个周 期的载荷情况. 齿轮从进入啮合到退出啮合是轮齿 的一个受力周期，经历双齿啮合、单齿啮合和双齿 啮合. 图 1 给出了齿轮传动系统的动载荷谱，依据 雨流计数法的步骤，对于每个循环，可以得到最大 载荷值 Fmax. 图 1 齿轮传动系统的载荷谱 Fig.1 Load spectrum of gear transmission 3 数值计算及实验分析 3.1 齿轮弯曲疲劳裂纹萌生寿命 根据前面阐述的原理与方法，本文以标准渐开 线直齿圆柱齿轮为例，其参数为：模数 m = 5 mm， 齿数 z = 30，压力角 α = 20◦，齿宽 b = 14 mm， 传递的扭矩 T = 1350 N·m，平均啮合刚度 km = 21.15×103 N·mm−2，齿轮材料为 20CrNi2MoA，渗碳 淬火弹性模量 E = 2.1 × 105 MPa. 通过上述数值解 法获得齿轮弯曲疲劳寿命，并分析比较裂纹萌生期 和扩展期的寿命. 依据算例齿轮材料及参数查手册 得静强度极限 σb = 1180 MPa、n 0 = 0.10、c = −0.5 和 ϕ = 45%，代入 σ 0 f = σb + 350、b = − 1 6 lg 2σ 0 f σb 和 ε 0 f = ln 1 1 − ϕ ，可得 σ 0 f = 1530 MPa、b = −0.069 和 ε 0 f = 0.5978. 如果已知应变 ∆ε 或应力 ∆σ 和有关参数，就 可以通过式 (4) 和式 (5) 计算得到疲劳裂纹萌生寿 命 Nf，所以首先应该用有限单元法求出齿轮齿根的 最大弯曲应力，根据前面的雨流计数法的结果，应 用有限单元法就可以得出对应载荷峰值的齿根最大 应力，并将结果列入表 1. 此处应用 MATLAB 将式 (5) 进行编程计算，对应 Fmax 的齿根弯曲疲劳萌生 寿命也列入表 1 中. 表 1 齿根弯曲疲劳裂纹萌生寿命 Table 1 Crack initiation life of gear bending fatigue 全循环，i 峰值载荷/kN 齿根最大 应力/MPa 萌生寿命，Nf /104 第一循环 19.4 919 2.48 第二循环 19.3 906 3.92 第三循环 19.2 892 6.25 第四循环 17.6 839 22.10 第五循环 17.5 820 35.70 第六循环 17.3 812 68.30 在疲劳设计中对于一个应力幅的循环加载，可 以用表示外加应力和标准试样疲劳寿命关系的应 力–寿命 (S-N) 曲线来估算寿命. 但是，在实际生 活中，很多构件承受的是不规则的交变应力，其最 大和最小应力是变化的，这种情况很复杂，即无法 单独用 S-N 曲线来估算寿命. 因此，本文采用疲劳 累积损伤理论来解决这类问题. 若试件在应力 σ1 下每次循环对材料的损伤率 为 1/N1，循环 n1 次的 σ1 对材料的损伤率为 n1/N1. 同理应力 σ2 循环 n2 对材料的损伤率为 n2/N2. 以 此类推，应力 σi 循环 ni 对材料的损伤率为 ni/Ni . 这时总损伤 D = Pr i ni Ni ，式中 r 为不同应力水平的 个数. 当损伤率累积到 100%时，材料就会发生疲劳 破坏，此时有如下关系式： n1 N1 + n2 N2 + · · · + ni Ni + · · · + nr Nr = Xr i=1 ni Ni = 1. (15) 对于给定名义应力的常幅载荷，每次运行中六 种循环次数都是一致的. 将一次运行过程中六种循 环看成一个载荷块，则每运行一次，六种循环也各 循环一次. 根据 Miner 疲劳损伤累积法则，各级载 荷的累积损伤为 D = X 6 i=1 1 Nfi = 1 Nf1 + 1 Nf2 + 1 Nf3 + 1 Nf4 + 1 Nf5 + 1 Nf6 = 9.06 × 10−5 . (16) 由此可得齿轮在该动载荷谱作用下的疲劳寿命为

816 北京科技大学学报 第35卷 1 N=D=1.10×104. (17) 裂纹扩展寿命N。代入式(19)就可以得到齿轮弯曲 疲劳的总寿命N=1.27×101 即齿轮弯曲疲劳裂纹萌生寿命是1.10×104 3.4实验研究 3.2齿轮弯曲疲劳裂纹扩展寿命 在高频疲劳试验机上对算例参数齿轮进行了 通过查手册可以得到初始裂纹长度a0=0.1 齿轮弯曲疲劳寿命实验，实验夹具、实验齿轮及加 mm,临界裂纹长度值ac=8.6mm和应力场强度 载形式如图3所示.在与前面算例相同齿轮参数及 几何因子Y=0.4088,m=4.16,C=3.31×10-17, 载荷工况下测试了五组实验数据，其实验测试结果 代入式(14)得 分别为1.15×104、1.18×101、1.22×104、1.25× N。=12.742×1017 104、1.26×101.根据实验数据可得实验齿轮的平均 △o4.16 (18) 寿命为 根据式(18)，如果已知△σ，则对应的疲劳裂 下=+%++N4+=1.21×104 纹扩展寿命N。就可以很容易得到.以往人们将没 5 有产生裂纹时的齿根危险处的最大应力作为此处的 应力△σ代入公式进行计算，但实际情况是一旦齿 轮根部产生了疲劳裂纹，裂纹处的应力就会比没有 产生疲劳裂纹时的应力大得多，如图2所示，此时 如果仍然按照没有裂纹时的最大应力作为应力△σ 代入公式进行计算，势必会产生很大的误差.为了 使计算更准确，△σ应采用裂纹处的最大应力.由 有限元方法得出的应力值△g=3.81×103MPa,见 图2，代入式(18)得N。=1.66×103,所以齿根弯 曲疲劳裂纹扩展寿命是1.66×103 LANSYS 2 图3实验齿轮夹具 Fig.3 Testing gear and machine 由此可见，用本文提出的齿轮弯曲疲劳寿命计 算模型计算得到的齿轮弯曲疲劳总寿命和齿轮弯曲 疲劳实验得出的平均寿命是非常接近的，这也进 一步证明了本文所提出的齿轮弯曲疲劳寿命计算模 句样管经n的 型的合理性和准确性.通过进一步分析疲劳过程 图2疲劳裂纹处的应力分布（单位：Pa) 中疲劳裂纹萌生寿命和疲劳裂纹扩展寿命所占的比 Fig.2 Stress distribution at the fatigue crack (unit:Pa) 例，可以得到疲劳裂纹萌生寿命和疲劳裂纹扩展寿 3.3齿轮弯曲疲劳的总寿命 命占总寿命的百分比分别为：=心 =86.89%和 疲劳寿命是指工程构件在疲劳失效以前所经 p 2=13.11% 历的应力或应变的循环次数，用N来表示.它是 从中可以看出整个齿轮弯曲疲劳过程中，疲劳 由产生初始裂纹所需要的循环次数，即疲劳裂纹萌 裂纹萌生期是主要的，占总寿命的很大一部分，而 生寿命N:和由临界的初始裂纹扩展到临界裂纹长 疲劳裂纹扩展期只占疲劳总寿命的13.11%. 度所需要的循环次数，即裂纹扩展寿命N。构成， 4结论 N=Nr Np. (19) 本文推导了综合考虑动载荷和累计疲劳损伤 根据前面已经计算得出的疲劳裂纹萌生寿命N:和 的齿轮齿根弯曲疲劳裂纹萌生寿命和扩展寿命的理

· 816 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 Nf = 1 D = 1.10 × 104 . (17) 即齿轮弯曲疲劳裂纹萌生寿命是 1.10 × 104 . 3.2 齿轮弯曲疲劳裂纹扩展寿命 通过查手册可以得到初始裂纹长度 a0 = 0.1 mm，临界裂纹长度值 ac = 8.6 mm 和应力场强度 几何因子 Y = 0.4088，m = 4.16，C = 3.31 × 10−17， 代入式 (14) 得 Np = 12.742 × 1017 ∆σ 4.16 . (18) 根据式 (18)，如果已知 ∆σ，则对应的疲劳裂 纹扩展寿命 Np 就可以很容易得到. 以往人们将没 有产生裂纹时的齿根危险处的最大应力作为此处的 应力 ∆σ 代入公式进行计算，但实际情况是一旦齿 轮根部产生了疲劳裂纹，裂纹处的应力就会比没有 产生疲劳裂纹时的应力大得多，如图 2 所示，此时 如果仍然按照没有裂纹时的最大应力作为应力 ∆σ 代入公式进行计算，势必会产生很大的误差. 为了 使计算更准确，∆σ 应采用裂纹处的最大应力. 由 有限元方法得出的应力值 ∆σ = 3.81×103 MPa，见 图 2，代入式 (18) 得 Np = 1.66 × 103，所以齿根弯 曲疲劳裂纹扩展寿命是 1.66 × 103 . 图 2 疲劳裂纹处的应力分布 (单位：Pa) Fig.2 Stress distribution at the fatigue crack (unit: Pa) 3.3 齿轮弯曲疲劳的总寿命 疲劳寿命是指工程构件在疲劳失效以前所经 历的应力或应变的循环次数，用 N 来表示. 它是 由产生初始裂纹所需要的循环次数，即疲劳裂纹萌 生寿命 Nf 和由临界的初始裂纹扩展到临界裂纹长 度所需要的循环次数，即裂纹扩展寿命 Np 构成， N = Nf + Np. (19) 根据前面已经计算得出的疲劳裂纹萌生寿命 Nf 和 裂纹扩展寿命 Np 代入式 (19) 就可以得到齿轮弯曲 疲劳的总寿命 N = 1.27 × 104 . 3.4 实验研究 在高频疲劳试验机上对算例参数齿轮进行了 齿轮弯曲疲劳寿命实验，实验夹具、实验齿轮及加 载形式如图 3 所示. 在与前面算例相同齿轮参数及 载荷工况下测试了五组实验数据，其实验测试结果 分别为 1.15 × 104、1.18 × 104、1.22 × 104、1.25 × 104、1.26 × 104 . 根据实验数据可得实验齿轮的平均 寿命为 N = N1 + N2 + N3 + N4 + N5 5 = 1.21 × 104 . 图 3 实验齿轮夹具 Fig.3 Testing gear and machine 由此可见，用本文提出的齿轮弯曲疲劳寿命计 算模型计算得到的齿轮弯曲疲劳总寿命和齿轮弯曲 疲劳实验得出的平均寿命是非常接近的，这也进 一步证明了本文所提出的齿轮弯曲疲劳寿命计算模 型的合理性和准确性. 通过进一步分析疲劳过程 中疲劳裂纹萌生寿命和疲劳裂纹扩展寿命所占的比 例，可以得到疲劳裂纹萌生寿命和疲劳裂纹扩展寿 命占总寿命的百分比分别为 ϕf = Nf N = 86.89% 和 ϕp = Np N = 13.11%. 从中可以看出整个齿轮弯曲疲劳过程中，疲劳 裂纹萌生期是主要的，占总寿命的很大一部分，而 疲劳裂纹扩展期只占疲劳总寿命的 13.11%. 4 结论 本文推导了综合考虑动载荷和累计疲劳损伤 的齿轮齿根弯曲疲劳裂纹萌生寿命和扩展寿命的理

第6期 俞必强等：基于动载荷谱的齿轮弯曲疲劳寿命预测 817. 论计算模型，研究了齿轮齿根弯曲疲劳损伤的有限 gear transmission system.J Mech Eng,2011,47(7):22 元模拟仿真分析方法，给出了基于雨流计数法的等 (唐进元，周炜，陈思雨.齿轮传动啮合接触冲击分析.机 效循环应力计算流程，将有限元分析得到不同裂纹 械工程学报，2011,47(7)：22) 尺寸和损伤程度状态下的危险应力应用到齿根弯曲 [7]Lou Y Z,Wang X Q.Dynamics analysis of involute gears 疲劳寿命计算中，从而通过实例计算得到了齿轮的 with asymmetric teeth.J Univ Sci Technol Beijing,2005 疲劳裂纹萌生寿命和疲劳裂纹扩展寿命，最后将两 27(3):334 (娄依志：王小群.非对称渐开线圆柱齿轮的动力学特性 部分相加得出齿轮的弯曲疲劳总寿命，其中齿根疲 北京科技大学学报，2005,27(3)：334) 劳裂纹萌生期的寿命占疲劳总寿命的比例很大.通 [8]Khabou M T,Bouchaala N,Chaari F,et al.Study of 过齿轮弯曲疲劳实验验证了理论分析的正确性 a spur gear dynamic behavior in transient regime.Mech Syst Signal Process,2011,25(8):3089 参考文献 9 Yuksel C,Kahraman A.Dynamic tooth loads of planetary gear sets having tooth profile wear.Mech Mach Theory, [1]Baragetti S.Fatigue resistance of steel and titanium PVD 2004,39(7):695 coated spur gears.Int J Fatigue,2007,29:1893 [10 Dion J L.Le Moyne S,Chevallier G,et al.Gear impacts [2]Mendi F,Can H,Kuilekci M K.Fatigue properties of and idle gear noise:experimental study and non-linear polypropylene involute rack gear reinforced with metallic dynamic model.Mech Syst Signal Process.2009,23(8): springs.Mater Des,2006,27(5):427 2608 3]Asi O.Fatigue failure of a helical gear in a gearbox.Eng [11]Faggioni M,Samani F S,Bertacchi G,et al.Dynamic op Failure Anal,2006.13(7):1116 timization of spur gears.Mech Mach Theory,2011,46(4): [4 Mathis R,Remond Y.Kinematic and dynamic simulation 544 of epicyclic gear trains.Mech Mach Theory,2009,44(2): [12 Andersson A,Vedmar L.A dynamic model to determine 412 vibrations in involute helical gears.J Sound Vib,2003, 5]Vedmar L,Andersson A.A method to determine dynamic 260(2):195 loads on spur gear teeth and on bearings.J Sound Vib, [13]Tao J X,Smith S,Duff A.The effect of overloading se- 2003,267(5):1065 quences on landing gear fatigue damage.Int J Fatigue. [6]Tang J Y,Zhou W,Chen S Y.Contact-impact analysis of 2009.31(11):1837

第 6 期 俞必强等：基于动载荷谱的齿轮弯曲疲劳寿命预测 817 ·· 论计算模型，研究了齿轮齿根弯曲疲劳损伤的有限 元模拟仿真分析方法，给出了基于雨流计数法的等 效循环应力计算流程，将有限元分析得到不同裂纹 尺寸和损伤程度状态下的危险应力应用到齿根弯曲 疲劳寿命计算中，从而通过实例计算得到了齿轮的 疲劳裂纹萌生寿命和疲劳裂纹扩展寿命，最后将两 部分相加得出齿轮的弯曲疲劳总寿命，其中齿根疲 劳裂纹萌生期的寿命占疲劳总寿命的比例很大. 通 过齿轮弯曲疲劳实验验证了理论分析的正确性. 参 考 文 献 [1] Baragetti S. Fatigue resistance of steel and titanium PVD coated spur gears. Int J Fatigue, 2007, 29: 1893 [2] Mendi F, Can H, K¨ulekci M K. Fatigue properties of polypropylene involute rack gear reinforced with metallic springs. Mater Des, 2006, 27(5): 427 [3] Asi O. Fatigue failure of a helical gear in a gearbox. Eng Failure Anal, 2006, 13(7): 1116 [4] Mathis R, Remond Y. Kinematic and dynamic simulation of epicyclic gear trains. Mech Mach Theory, 2009, 44(2): 412 [5] Vedmar L, Andersson A. A method to determine dynamic loads on spur gear teeth and on bearings. J Sound Vib, 2003, 267(5): 1065 [6] Tang J Y, Zhou W, Chen S Y. Contact-impact analysis of gear transmission system. J Mech Eng, 2011, 47(7): 22 (唐进元，周炜，陈思雨. 齿轮传动啮合接触冲击分析. 机 械工程学报, 2011, 47(7): 22) [7] Lou Y Z, Wang X Q. Dynamics analysis of involute gears with asymmetric teeth. J Univ Sci Technol Beijing, 2005, 27(3): 334 (娄依志; 王小群. 非对称渐开线圆柱齿轮的动力学特性. 北京科技大学学报, 2005, 27(3): 334) [8] Khabou M T, Bouchaala N, Chaari F, et al. Study of a spur gear dynamic behavior in transient regime. Mech Syst Signal Process, 2011, 25(8): 3089 [9] Yuksel C, Kahraman A. Dynamic tooth loads of planetary gear sets having tooth profile wear. Mech Mach Theory, 2004, 39(7): 695 [10] Dion J L, Le Moyne S, Chevallier G, et al. Gear impacts and idle gear noise: experimental study and non-linear dynamic model. Mech Syst Signal Process, 2009, 23(8): 2608 [11] Faggioni M, Samani F S, Bertacchi G, et al. Dynamic op￾timization of spur gears. Mech Mach Theory, 2011, 46(4): 544 [12] Andersson A, Vedmar L. A dynamic model to determine vibrations in involute helical gears. J Sound Vib, 2003, 260(2): 195 [13] Tao J X, Smith S, Duff A. The effect of overloading se￾quences on landing gear fatigue damage. Int J Fatigue, 2009, 31(11): 1837