D0I:10.13374/i.issnl00113.2007.09.025 第29卷第9期 北京科技大学学报 Vol.29 No.9 2007年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sep·2007 蜡沉积凝析气液固变相态复杂渗流数学模型 朱维耀)鞠岩2)燕良东)王明) 胡永乐3) 罗 凯3) 1)北京科技大学土木与环境学院，北京1000832)廊坊师范学院，廊坊065000 3)北京石油物探开发研究院，北京100083 摘要含蜡凝析气藏开采过程中伴有凝析液，蜡析出呈气一液固变相态多相复杂流动.在渗流机理的实验研究基础上，对 气一液固复杂渗流的数学模型进行描述，以期揭示伴有蜡沉积的凝析气一液一固变相态复杂渗流规律·根据相的变化受析蜡 线、露点线的相态变化规律控制，分析相变特性会导致储层内油气饱和度的变化，揭示蜡沉积在多孔介质表面引起孔隙性质 改变和气、液、固在储集层中的微观空间分布会影响凝析气的流动特征·在蜡沉积变相态渗流实验和渗流数学模型的研究基 础上，引入蜡沉积数学模型、考虑毛管力和表面张力的相对渗透率模型等，建立了相应的多孔介质中气一液一固变相态多相流一 固耦合渗流数学模型·数值模拟结果表明，蜡沉积可使部分区域孔隙减少，流动阻力增大·不考虑蜡沉积会对产量预测明显 偏大，蜡沉积可使产量下降·该模型较好地反映了凝析气一液一固变相态复杂渗流的物理实质。 关键词蜡沉积：气一液固；相变；复杂流动：数学模型：产能方程 分类号TE357.4 含蜡凝析气藏作为一种特殊的复杂气藏，其复 隙介质，部分随气、液携带流动，蜡沉积是通过相平 杂性表现在凝析气在析蜡点和露，点压力下发生凝析 衡和蜡沉积规律来考虑；(7)相变和流动过程中没 相变，蜡沉积、油相、气相将会发生相间传质现象， 有发生化学作用，物质特性（如密度、热容、热传导系 油、气的相态也会随之发生转变，相变特性会导致储 数)是不变的 层内油气饱和度的变化，蜡沉积在多孔介质表面引 1.2物理特性三区渗流数学模型 起孔隙性质改变，从而影响和改变气体和凝析油的 凝析气藏衰竭开采过程中，可把凝析气藏划分 渗流，气、液、固在储集层中的微观空间分布会影响 为三个区域， 凝析气的流动特征].凝析气藏的相变特性会导 区域1：压力低于露点压力，凝析油饱和度大于 致温度场及孔隙流体压力分布改变，从而影响和改 临界流动饱和度，析出的凝析油形成连续相，流动压 变气体渗流的特性和过程；同时，近井带流体高速流 力梯度变化大，凝析气液以不同的速度高速流动，该 动，流体运动符合广义达西定律]，为了更加准 区域大小随时间的增加而增加，如果压力低于析蜡 确描述伴有蜡沉积的凝析气液固变相态多相渗流规 点压力，凝析气液在流动同时蜡沉积，蜡伴随在液相 律，建立此类变相态多相复杂渗流数学模型. 或气相中被携带流动· 区域2：（中间带）压力低于露点压力，凝析油饱 1变相态复杂渗流数学模型 和度小于临界流动饱和度，析出的凝析油处于分散 1.1基本假设 相，没有形成连续相，凝析油不流动，只有凝析气流 在油气藏中，流体及岩石满足如下条件：(1)储 动，如果压力低于析蜡点压力，蜡沉积部分在凝析 层内存在的油、气两相流体流动均符合非达西渗流 液中，部分吸附在孔隙介质表面，部分伴随在气相中 规律：(2)岩石微可压缩：(3)油气体系存在N个固 被携带流动· 定烃类拟组分，这N个固定拟组分能较确切地反映 区域3：压力高于露点压力，只有单相凝析气流 动，流速较低，渗流符合达西定律，如果压力低于析 油气流体间相间传质，同时也能满足石油化工及油 气藏开发的要求：(4)渗流过程视为等温过程；(5) 蜡点压力，蜡沉积吸附在孔隙介质表面，部分伴随在 气相中被携带流动· 蜡固相被认为是不可压缩的物质：(6)蜡吸附在孔 1.3多孔介质中凝析气液固混合渗流数学模型 收稿日期：2006-03-06修回日期：2006-12-31 1.3.1渗流微分方程 基金项目：国家重点基础研究发展规划项目“973”计划资助项目 (1)质量守恒方程 (No.2001CB209100) 作者简介：朱维耀(1960一)，男.教授，博士生导师 气相：
蜡沉积凝析气－液－固变相态复杂渗流数学模型 朱维耀1） 鞠 岩2） 燕良东1） 王 明1） 胡永乐3） 罗 凯3） 1） 北京科技大学土木与环境学院北京100083 2） 廊坊师范学院廊坊065000 3） 北京石油勘探开发研究院北京100083 摘 要 含蜡凝析气藏开采过程中伴有凝析液、蜡析出呈气－液－固变相态多相复杂流动．在渗流机理的实验研究基础上对 气－液－固复杂渗流的数学模型进行描述以期揭示伴有蜡沉积的凝析气－液－固变相态复杂渗流规律．根据相的变化受析蜡 线、露点线的相态变化规律控制分析相变特性会导致储层内油气饱和度的变化揭示蜡沉积在多孔介质表面引起孔隙性质 改变和气、液、固在储集层中的微观空间分布会影响凝析气的流动特征．在蜡沉积变相态渗流实验和渗流数学模型的研究基 础上引入蜡沉积数学模型、考虑毛管力和表面张力的相对渗透率模型等建立了相应的多孔介质中气－液－固变相态多相流－ 固耦合渗流数学模型．数值模拟结果表明蜡沉积可使部分区域孔隙减少流动阻力增大．不考虑蜡沉积会对产量预测明显 偏大蜡沉积可使产量下降．该模型较好地反映了凝析气－液－固变相态复杂渗流的物理实质． 关键词 蜡沉积；气－液－固；相变；复杂流动；数学模型；产能方程 分类号 T E357∙4 收稿日期：2006-03-06 修回日期：2006-12-31 基金项目：国家重点基础研究发展规划项目“973” 计划资助项目 （No．2001CB209100） 作者简介：朱维耀（1960－）男教授博士生导师 含蜡凝析气藏作为一种特殊的复杂气藏其复 杂性表现在凝析气在析蜡点和露点压力下发生凝析 相变蜡沉积、油相、气相将会发生相间传质现象 油、气的相态也会随之发生转变相变特性会导致储 层内油气饱和度的变化蜡沉积在多孔介质表面引 起孔隙性质改变从而影响和改变气体和凝析油的 渗流．气、液、固在储集层中的微观空间分布会影响 凝析气的流动特征［1－3］．凝析气藏的相变特性会导 致温度场及孔隙流体压力分布改变从而影响和改 变气体渗流的特性和过程；同时近井带流体高速流 动流体运动符合广义达西定律［4－13］．为了更加准 确描述伴有蜡沉积的凝析气液固变相态多相渗流规 律建立此类变相态多相复杂渗流数学模型． 1 变相态复杂渗流数学模型 1∙1 基本假设 在油气藏中流体及岩石满足如下条件：（1） 储 层内存在的油、气两相流体流动均符合非达西渗流 规律；（2） 岩石微可压缩；（3） 油气体系存在 N 个固 定烃类拟组分这 N 个固定拟组分能较确切地反映 油气流体间相间传质同时也能满足石油化工及油 气藏开发的要求；（4） 渗流过程视为等温过程；（5） 蜡固相被认为是不可压缩的物质；（6） 蜡吸附在孔 隙介质部分随气、液携带流动蜡沉积是通过相平 衡和蜡沉积规律来考虑；（7） 相变和流动过程中没 有发生化学作用物质特性（如密度、热容、热传导系 数）是不变的． 1∙2 物理特性三区渗流数学模型 凝析气藏衰竭开采过程中可把凝析气藏划分 为三个区域． 区域1：压力低于露点压力凝析油饱和度大于 临界流动饱和度析出的凝析油形成连续相流动压 力梯度变化大凝析气液以不同的速度高速流动该 区域大小随时间的增加而增加．如果压力低于析蜡 点压力凝析气液在流动同时蜡沉积蜡伴随在液相 或气相中被携带流动． 区域2：（中间带）压力低于露点压力凝析油饱 和度小于临界流动饱和度析出的凝析油处于分散 相没有形成连续相凝析油不流动只有凝析气流 动．如果压力低于析蜡点压力蜡沉积部分在凝析 液中部分吸附在孔隙介质表面部分伴随在气相中 被携带流动． 区域3：压力高于露点压力只有单相凝析气流 动．流速较低渗流符合达西定律如果压力低于析 蜡点压力蜡沉积吸附在孔隙介质表面部分伴随在 气相中被携带流动． 1∙3 多孔介质中凝析气－液－固混合渗流数学模型 1∙3∙1 渗流微分方程 （1） 质量守恒方程． 气相： 第29卷 第9期 2007年 9月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．9 Sep．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．09．025
第9期 朱维耀等：蜡沉积凝析气液固变相态复杂渗流数学模型 .875. b[gS。+(1-y-z)8Sl= 毛管压力，p为压力，r为径向距离，、。分别为 aL 气相和油相的黏度，α为方程系数· -V[PogR.v.+(1-ye-ze)Pgug] (1) 1.3.2凝析气一液固混合渗流不稳定渗流微分方 液相： 程 xSal--V[e+y.esvo](2) 将式(4)、(5)、(6)代入式(3)中，得到如下方程： at 混合物： {wa(+eR+g+》 b[Sn十Ong R.So十Sg十PSl= 25ds.tomRe.s 1 B。 (8) -7[P。v。+Pog R.vo+gvg十Pva](3) 式中，Bg、B。分别为气相和油相的体积系数. 式中，中为孔隙度，Pg、Pg、P。分别为气相、凝析油中 从式(8)可以看出，各项参数均与压力有关，方 溶解的气、凝析油在正常条件下的密度，。为溶解 程是非线性的·为了使方程便于使用，引入虚拟压 气油比，S。为凝析液相饱和度，Sg为气相饱和度， 力函数(p): vg为气相速度，v。为油相速度，v。为固相速度，y。 (p)= 为气相中的油组分，z。为气相中的蜡组分，t为时 间. (2)动量方程.凝析气、液在多孔介质中流动， (9) 特别是在井筒附近，流体运动速度高，符合广义达西 应用平均法，从而将式(8)改写为： 定律，气、液平面径向流情况下可写成下式， 1 aa 1a 气相： rar rarDdt (10) 0g-KKaVp-KKa2p a dr (4) n(+R,R+ag+ea】 液相： D$ =7p= s投B+高+8 。 (5) (11) 固相：蜡随气体向压力降低的方向流动，流动过 式中，P,为饱和压力，D为定义的中间变量 程具有悬移运动和推移运动，运动速度与颗粒启动 1.3.3凝析液饱和度与压力关系 时的摩阻流速、气相速度有关， v,=(vg-vge） (6) [,+五8- (12) Vge oc p。 (7) 其中，v是颗粒启动时的摩阻流速，K为绝对渗透 女+高流 率，Kg、K分别为气相和液相的相对渗透率，P。为 利用7p,=,=0,则凝析液饱和度方程为： 「gE]' dSo_ Ba (13) RAB。 Bg B。 式中，z为定义的中间变量 约束条件： 1.3.4辅助方程 Sg+S1+S,=1 7 毛管力、相对渗透率方程： 式中，S1为液相饱和度. Kro-Kro(Sg'Ne,Gog) (14) 1.3.5定解条件 Kng=Kng(Sg'Ne;Gog) (15) (1)凝析气藏初始状态 Pg-p。十peog(Sg'Ne,og) (16) plr=p8n叶r,Tlr=Thtr 式中，N。为毛管数，g为油气界面张力，P。为油相 (2)边界状况 封闭外边界：7①r外=0；定压外边界：pr外= 压力，Pg为气相压力，Pg为油气毛管力·
● ∂［ρog Rs So＋（1－yc－z c）ρg Sg ］ ∂t ＝ －∇［ρog Rs v o＋（1－yc－z c）ρg v g ］ （1） 液相： ● ∂［ρo so＋ycρg Sg ］ ∂t ＝－∇［ρo v o＋ycρg v g ］ （2） 混合物： ● ∂［ρo So＋ρog Rs So＋ρg Sg＋ρs Ss］ ∂t ＝ －∇［ρo v o＋ρog Rs v o＋ρg v g＋ρs vs］ （3） 式中●为孔隙度ρg、ρog、ρo 分别为气相、凝析油中 溶解的气、凝析油在正常条件下的密度Rs 为溶解 气油比So 为凝析液相饱和度Sg 为气相饱和度 v g 为气相速度v o 为油相速度vs 为固相速度yc 为气相中的油组分z c 为气相中的蜡组分t 为时 间． （2） 动量方程．凝析气、液在多孔介质中流动 特别是在井筒附近流体运动速度高符合广义达西 定律气、液平面径向流情况下可写成下式． 气相： v g＝ KKrg μg ∇ p＝ KKrg μg ∂p ∂r （4） 液相： v o＝ KKro μo ∇ p＝ KKro μo ∂p ∂r （5） 固相：蜡随气体向压力降低的方向流动流动过 程具有悬移运动和推移运动．运动速度与颗粒启动 时的摩阻流速、气相速度有关． vs＝αs（ v g－v gc） （6） v gc∝Pc （7） 其中v gc是颗粒启动时的摩阻流速K 为绝对渗透 率Krg、Kro分别为气相和液相的相对渗透率Pc 为 毛管压力p 为压力r 为径向距离μg、μo 分别为 气相和油相的黏度αs 为方程系数． 1∙3∙2 凝析气－液－固混合渗流不稳定渗流微分方 程 将式（4）、（5）、（6）代入式（3）中得到如下方程： 1 r ∂ ∂r rK Kro μo Bo （ρo＋ρog Rs）＋ Krg μgBg （ρg＋ρsαs） ＝ ∂ ∂t ● ρo So＋ρog Rs So Bo ＋ ρg Sg Bg ＋ρs Ss （8） 式中Bg、Bo 分别为气相和油相的体积系数． 从式（8）可以看出各项参数均与压力有关方 程是非线性的．为了使方程便于使用引入虚拟压 力函数 ψ（ p）： ψ（ p）＝ ∫ p p b Kro μo Bo （ρo＋ρog Rs）＋ Krg μg Bg （ρg＋ρsαs） d p （9） 应用平均法从而将式（8）改写为： 1 r ∂ ∂r r ∂ψ ∂r ＝ 1 Dh ∂ψ ∂t （10） Dh＝ K ● Kro μo Bo （ρo＋ρog Rs）＋ Krg μg Bg （ρg＋ρsαs） So ρo＋ρog Rs Bo ＋ ρg（1－So－Ss） Bg ＋ρs Ss （11） 式中pb 为饱和压力Dh 为定义的中间变量． 1∙3∙3 凝析液饱和度与压力关系 RZ＝ Kro μo Bo ρog Rs＋ Krg μg Bg ρg（1－yc－z c） Kro μo Bo ρos＋ Krg μg Bg ρg yc （12） 利用∇ p｜r＝ r e＝0则凝析液饱和度方程为： d So d p ＝ So ρog Rs Bo ′＋Sg ρg（1－yc－z c） Bg ′－ RZ Sg ρg yc Bb ′＋So ρo Bo ′ RZ ρo Bo － ρg yc Bg ＋ ρg（1－yc－z c） Bg － ρog Rs Bo （13） 式中RZ 为定义的中间变量． 1∙3∙4 辅助方程 毛管力、相对渗透率方程： Kro＝ Kro（ SgNcσog） （14） Krg＝ Krg（ SgNcσog） （15） pg＝ po＋ pcog（ SgNcσog） （16） 式中Nc 为毛管数σog为油气界面张力po 为油相 压力pg 为气相压力pcog为油气毛管力． 约束条件： Sg＋S1＋Ss＝1 （17） 式中S1 为液相饱和度． 1∙3∙5 定解条件 （1） 凝析气藏初始状态． po｜t＝0 Ω＋ T＝ p 0 oΩ＋ TT｜t＝0 Ω＋ T＝ T 0 Ω＋ T． （2） 边界状况． 封闭外边界：∇Φ｜Γ外＝0；定压外边界：p｜Γ外＝ 第9期 朱维耀等： 蜡沉积凝析气－液－固变相态复杂渗流数学模型 ·875·
.876 北京科技大学学报 第29卷 Po:定井底流压：p|r呐=const;定井底常量： f月=af9=xrf9 (24) 式中，、f:和f片分别为组分i在气相、液相、固相 中的逸度，、：分别为组分i在气相、液相中的逸 其中，Ω为研究域，T为温度，7Φ为势梯度函 度系数，x、x和x:分别为组分i在气相、液相、固 数，「外为外边界，「内为内边界 相中的摩尔分数，a、r:分别为组分i在固相中的活 2流动机理数学模型 度、活度系数，为组分i在固相中的逸度，p为压 2.1蜡沉积数学模型 力 蜡沉积的机理分分子扩散、剪切扩散、Brow nian (2)平衡常数方程. 扩散和重力沉降等作用，目前研究认为蜡的沉积主 气液平衡： 要有分子扩散和剪切扩散[).因此，总的蜡沉积 K== x邮 (25) 模型为： d亚=dWa+dW 液固平衡： dt dt dt (18) K=2 式中，W为总的蜡沉积量，W为蜡的扩散沉积量， xrf咒 (26) W,为蜡的剪切沉积量， (3)固相参数 2.1.1蜡的扩散沉积模型 固体标准态的逸度：为： 根据Fick扩散定律，蜡的扩散沉积速度可表示 f贷=fexp △H 1-T 为： RT T =cac日|l (19) dt b1M-1-n7 +b2MT+T-2T〉 2RL T 式中，。北为单位时间内由分子扩散而沉积的溶解 (27) 固体活度系数： 蜡的质量；Ca为沉积常数，一般取1500；C1为液相 浓度；A为蜡沉积表面积；“为凝析液的黏度；C为 lnr=y(o。-ò RT (28) 蜡在原油中的体积分数：G为液体中蜡体积分数梯 式中，H:为组分i的溶解焓，T为组分i的溶解温 度，M:为组分i的相对分子质量，R为通用的气体 度：为径向温度梯度 常数，b1、b2为方程系数；⊙m为固相混合物的溶解 2.1.2蜡的剪切沉积模型 度参数，⊙：为组分i的固相溶解度参数，V:为组分 蜡粒子以布朗运动和剪切分散两种方式作横向 i的固相摩尔体积，K?、K分别为气液、液固平衡 迁移，布朗运动的影响相对较小，孔隙流动中由于 常数，r:为固体活度系数， 速度梯度场的存在，悬浮在油流中的蜡颗粒会以一 （4)气一液固三相物料平衡方程. 定角速度进行旋转运动，并出现横向局部平移，即产 v+L+S=1 (29) 生剪切分散，层流情况下，由于速度梯度的存在而 Vxi+Lxi+Sxi=Zi (30) 产生的蜡的剪切沉积梯度可表示为： ∑x+∑x+∑x=∑z,=1(31) dw.=Cak"C*YA dt (20) (5)气液固三相闪蒸方程 式中，止为单位时间内由剪切扩敢而沉积的溶解 根据气一液一固三相平衡时的物料守恒原则结 合平衡常数的定义，可以导出气液固三相闪蒸模型 蜡的质量，k*为剪切沉积速度常数，C*为壁面处蜡 方程： 粒子的体积分数，Y为剪切速率. 2.2气液固三相相平衡热力学模型 ∑v-)十s(K-山+1 Z (32) (1)逸度平衡方程. ZK 作=f=f片 (21) v-)fs-1)+1 (33) fi=xiPip (22) ZKi fi-xiip (23) 习v-sK-4+13
po；定 井 底 流 压：p｜Γ内 ＝ const；定 井 底 常 量： f ∂p ∂n ｜Γ内＝const． 其中Ω为研究域T 为温度∇Φ为势梯度函 数Γ外 为外边界Γ内 为内边界． 2 流动机理数学模型 2∙1 蜡沉积数学模型 蜡沉积的机理分分子扩散、剪切扩散、Brownian 扩散和重力沉降等作用．目前研究认为蜡的沉积主 要有分子扩散和剪切扩散［4－7］．因此总的蜡沉积 模型为： d W d t ＝ d Wd d t ＋ d Ws d t （18） 式中W 为总的蜡沉积量Wd 为蜡的扩散沉积量 Ws 为蜡的剪切沉积量． 2∙1∙1 蜡的扩散沉积模型 根据 Fick 扩散定律蜡的扩散沉积速度可表示 为： d Wd d t ＝Cd C1 ρs A μ d C d T d T d r （19） 式中 d Wd d t 为单位时间内由分子扩散而沉积的溶解 蜡的质量；Cd 为沉积常数一般取1500；C1 为液相 浓度；A 为蜡沉积表面积；μ为凝析液的黏度；C 为 蜡在原油中的体积分数； d C d t 为液体中蜡体积分数梯 度； d T d r 为径向温度梯度． 2∙1∙2 蜡的剪切沉积模型 蜡粒子以布朗运动和剪切分散两种方式作横向 迁移布朗运动的影响相对较小．孔隙流动中由于 速度梯度场的存在悬浮在油流中的蜡颗粒会以一 定角速度进行旋转运动并出现横向局部平移即产 生剪切分散．层流情况下由于速度梯度的存在而 产生的蜡的剪切沉积梯度可表示为： d Ws d t ＝Cd k ∗ C ∗γA （20） 式中 d Ws d t 为单位时间内由剪切扩散而沉积的溶解 蜡的质量k ∗为剪切沉积速度常数C ∗为壁面处蜡 粒子的体积分数γ为剪切速率． 2∙2 气－液－固三相相平衡热力学模型 （1） 逸度平衡方程． f v i＝ f 1 i＝ f s i （21） f v i＝ x v i●v ip （22） f 1 i＝ x 1 i●1 ip （23） f s i＝ a s if os i ＝ x s ir s if os i （24） 式中f v i、f 1 i 和 f s i 分别为组分 i 在气相、液相、固相 中的逸度●v i、●1 i 分别为组分 i 在气相、液相中的逸 度系数x v i、x 1 i 和 x s i 分别为组分 i 在气相、液相、固 相中的摩尔分数a s i、r s i 分别为组分 i 在固相中的活 度、活度系数f os i 为组分 i 在固相中的逸度p 为压 力． （2） 平衡常数方程． 气液平衡： K v1 i ＝ x v i x 1 i ＝ ●1 i ●v i （25） 液固平衡： K s1 i ＝ x s i x 1 i ＝ ●1 ip r s if os i （26） （3） 固相参数． 固体标准态的逸度 f os i 为： f os i ＝ f o1 i exp － ΔH f i RT 1－ T T f i ＋ b1Mi R T f i T －1－ln T f i T ＋ b2Mi 2R （ T f i） 2 T ＋ T－2T f i （27） 固体活度系数： ln r s i＝ V s i（δs m－δs i） 2 RT （28） 式中H f i 为组分 i 的溶解焓T f i 为组分 i 的溶解温 度Mi 为组分 i 的相对分子质量R 为通用的气体 常数b1、b2 为方程系数；δs m 为固相混合物的溶解 度参数δs i 为组分 i 的固相溶解度参数V s i 为组分 i 的固相摩尔体积K v1 i 、K s1 i 分别为气液、液固平衡 常数r s i 为固体活度系数． （4） 气－液－固三相物料平衡方程． V ＋ L＋S＝1 （29） V x v i＋ L x 1 i＋Sx s i＝Zi （30） ∑ x v i＋ ∑ x 1 i＋ ∑ x s i＝ ∑ zi＝1 （31） （5） 气－液－固三相闪蒸方程． 根据气－液－固三相平衡时的物料守恒原则结 合平衡常数的定义可以导出气液固三相闪蒸模型 方程： ∑ Zi V （ K v1 i －1）＋S（ K s1 i －1）＋1 ＝1 （32） ∑ ZiK v1 i V （ K v1 i －1）＋S（ K s1 i －1）＋1 ＝1 （33） ∑ ZiK s1 i V （ K v1 i －1）＋S（ K s1 i －1）＋1 ＝1 （34） ·876· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第9期 朱维耀等：蜡沉积凝析气液固变相态复杂渗流数学模型 877 式中，V、L、S分别代表平衡时气相、液相和固相的 率下降也越多.多孔介质渗流过程中出现的固体微 摩尔分数，Z代表体系组分的总物质的量， 粒的释放和运移明显改变了原始的孔隙度和渗透 通常采用牛顿一辛普森方法求解方程组可以获 率，加剧了孔隙介质的非均质性，降低了渗透率。为 得气一液固各相的平衡摩尔分数V、L、S以及各相 此，渗透率降低公式可表示为： 的摩尔组成x、x、x 1-1g二4 (43) 2.3状态方程 体系状态方程选用PR状态方程，表达式如下： 式中，K为由于蜡沉积作用后的渗透率，K。为初始 RT aa(T) 渗透率，中为蜡沉积作用后的孔隙度，为原始的 P-V-6 V(V+6)+6(V-6) (35) 孔隙度，ug为气液流体混合流速，。为临界析蜡气 a=0.45724XBT品 (36) 液流体混合流速，m为方程指数. Pei 6:=0.07780XBT 3数学模型方程的解 (37) Pei 3.1定产量解 式中，R为气体常数，T为系统温度，p为系统压 1aa_1a中 力，T。为临界温度，Pe为临界压力 rarrarDoat (44) 2,4蜡沉积运移对储层特性影响数学模型 (r,0)=中： (45) 蜡沉积运移以及孔隙介质对蜡微粒的吸附作用 对多孔介质的储层特性孔隙度和渗透率产生影响， 1号1=2 1a业， (46) 储层原始孔隙度为、蜡沉积引起的孔隙度变化 为： 3,-=0 (47) =中-/P (38) 对于不稳定渗流初期，凝析气液渗流压降解为： 式中，°为固体粒子（蜡）的密度，，为单位岩石体 中.-(，)=k 2.25 Dht 积内孔隙中微粒质量的增量， 2 (48) 考虑流体中固体颗粒在流动过程中，一方面在 井底压降为： 孔隙壁表面沉积，另一方面在液相剪切力作用下，部 （2.25Dt+2S (49) 分己沉积的微粒又会重新释放进入流体中，沉积净 中，-()=h22 速率等于沉积速率与重新释放速率之差，根据动力 式中，tw为井筒半径，m1为气井总质量流量，h为 学方程，沉积速率可表示为： 储层有效厚度，中：为原始储层拟压力，「为径向渗 器-R一R 流距离，t为井生产时间. (39) 对拟稳定期，拟压降为： 沉积速率R还与单位岩石体积内流体所含的 24+n-+2 微粒的质量和流速成正比 中：-(r,)=2K2 ,-4T23 R=1+a(4)月 (50) (40) 井底压降为： 微粒重新进入流体中的速率R。主要取决于水 、m2DhL+1nIe一4十SH 动力条件，当 _0p 时，可用下式表示： 中，-(r,t)=2元K2 dp (51) (41) 式中，SH为井表皮系数，(rm,t)为生产t时刻的 时， 井底拟压力，(r,t)为生产t时刻距井r处的拟压 力 R。=0 (42) 3.2产能方程 上式表示要使已经沉积了的微粒重新进入流 根据模型方程及解，得出井拟稳定产能方程如 体，水动力压力梯度（一3p/日r)必须大于临界压力 下： 梯度(-dp/ar)ar 渗透率降低与孔隙度变化成密切关系，与孔隙 m,=2πKh -(r,t) (52) 度变化成正比，且流体流速越高，蜡沉积越多，渗透
式中V 、L、S 分别代表平衡时气相、液相和固相的 摩尔分数Z 代表体系组分的总物质的量． 通常采用牛顿－辛普森方法求解方程组可以获 得气－液－固各相的平衡摩尔分数 V 、L、S 以及各相 的摩尔组成 x v i、x 1 i、x s i． 2∙3 状态方程 体系状态方程选用 PR 状态方程表达式如下： p＝ RT V －b － aα（ T） V （ V ＋b）＋b（ V －b） （35） ai＝0∙45724× R 2T 2 c i pc i （36） bi＝0∙07780× RTc i pc i （37） 式中R 为气体常数T 为系统温度p 为系统压 力Tc 为临界温度pc 为临界压力． 2∙4 蜡沉积运移对储层特性影响数学模型 蜡沉积运移以及孔隙介质对蜡微粒的吸附作用 对多孔介质的储层特性孔隙度和渗透率产生影响． 储层原始孔隙度为 ●0、蜡沉积引起的孔隙度变化 为： ●＝●0－εs／ρs （38） 式中ρs 为固体粒子（蜡）的密度εs 为单位岩石体 积内孔隙中微粒质量的增量． 考虑流体中固体颗粒在流动过程中一方面在 孔隙壁表面沉积另一方面在液相剪切力作用下部 分已沉积的微粒又会重新释放进入流体中．沉积净 速率等于沉积速率与重新释放速率之差．根据动力 学方程沉积速率可表示为： ∂εs ∂t ＝ Rr－ Re （39） 沉积速率 Rr 还与单位岩石体积内流体所含的 微粒的质量和流速成正比． Rr＝ d W d t ［1＋αr（ uj－ ujc） βr ］ （40） 微粒重新进入流体中的速率 Re 主要取决于水 动力条件当 － ∂p ∂x ＞ － ∂p ∂x cr 时可用下式表示： Re＝k2εs － ∂p ∂x － － ∂p ∂x cr （41） 当 － ∂p ∂x ≤ － ∂p ∂x cr 时 Re＝0 （42） 上式表示要使已经沉积了的微粒重新进入流 体水动力压力梯度（－∂p／∂r）必须大于临界压力 梯度（－∂p／∂r）cr． 渗透率降低与孔隙度变化成密切关系与孔隙 度变化成正比且流体流速越高蜡沉积越多渗透 率下降也越多．多孔介质渗流过程中出现的固体微 粒的释放和运移明显改变了原始的孔隙度和渗透 率加剧了孔隙介质的非均质性降低了渗透率．为 此渗透率降低公式可表示为： K K0 ＝ ● ●0 m 1－ u1g－ uc uc （43） 式中K 为由于蜡沉积作用后的渗透率Ko 为初始 渗透率●为蜡沉积作用后的孔隙度●0 为原始的 孔隙度u1g为气液流体混合流速uc 为临界析蜡气 液流体混合流速m 为方程指数． 3 数学模型方程的解 3∙1 定产量解 1 r ∂ ∂r r ∂ψ ∂r ＝ 1 Dh ∂ψ ∂t （44） ψ（ r0）＝ψi （45） 1 r ∂ψ ∂r ｜r＝ r w＝ mt 2πKh （46） ∂ψ ∂r ｜r＝ r e＝0 （47） 对于不稳定渗流初期凝析气液渗流压降解为： ψi－ψ（ rt）＝ mt 4πKh ln 2∙25Dh t r 2 （48） 井底压降为： ψi－ψ（ rwt）＝ mt 4πKh ln 2∙25Dh t rw ＋2S （49） 式中rw 为井筒半径mt 为气井总质量流量h 为 储层有效厚度ψi 为原始储层拟压力r 为径向渗 流距离t 为井生产时间． 对拟稳定期拟压降为： ψi－ψ（ rt）＝ mt 2πKh 2Dh t r 2 e ＋ln re r － 3 4 ＋ r 2 2r 2 e （50） 井底压降为： ψi－ψ（ rwt）＝ mt 2πKh 2Dh t r 2 e ＋ln re rw － 3 4 ＋S H （51） 式中S H 为井表皮系数ψ（ rwt）为生产 t 时刻的 井底拟压力ψ（ rt）为生产 t 时刻距井 r 处的拟压 力． 3∙2 产能方程 根据模型方程及解得出井拟稳定产能方程如 下： mt＝2πKh ψ－ψ（ rwt） ln re rw － 3 4 ＋S H （52） 第9期 朱维耀等： 蜡沉积凝析气－液－固变相态复杂渗流数学模型 ·877·
.878 北京科技大学学报 第29卷 式中，平为储层平均压力 初始压力分别是40和55.5MPa时蜡沉积对产能的 4算例 影响曲线.若不考虑蜡沉积对原始IPR曲线数值的 影响，会使产量预测明显偏大，蜡沉积对产量最大影 4.1模拟参数选择 响减少值约15%，由此可见，含蜡凝析气田开发有 运用上述多相复杂变相态渗流数学模型，计算 效控制蜡沉积对储层的保护和开发控制是十分重要 时选用的状态方程为PR方程，对TH2井凝析体系 的.特别是低渗透凝析气田的储层压力开发控制， 进行渗流模拟计算，生产井段4958.0~4963.0m, 防止蜡沉积对气田的开采生命周期的延伸是十分有 气藏厚度为5.0m,原始地层压力为55.45MPa,地 益的 层温度407.05K,油气模拟组成如表1所示，模拟 60 ◆一不考虑蜡沉积影响 基本参数：单井控制半径为700m,储层孔隙度 50 ■一不考虑蜡沉积影响 14.5%,储层有效渗透率为4.844×10-3hm2,露点 一考蜡沉积影响 40 ●一考虑蜡沉积影响 压力为50.85MPa,析蜡点压力为48.5MPa(49 30 ℃) 20 表1体系的组成 Table 1 Components and content 0 10 20 30 40 Q/10m3.d) 井流物组分物质的量分数/% 井流物组分物质的量分数/% C02 0.58 9 1.55 图2蜡沉积对TH2井PR曲线的影响 N2 3.30 Cs 0.83 Fig-2 Effect of wax deposition on the IPR curve of TH2 well C 76.54 Cs 0.53 C2 8.70 5.53 4.4蜡沉积对凝析气藏开采特征的影响 C3 2.44 蜡沉积可使部分区域孔隙减少，流动阻力增大； 不考虑蜡沉积会使产量预测明显偏大；枯竭式开采 4.2凝析气井近井地带地层油气渗流特征 时蜡沉积对产量有明显影响， 利用数学模型对多相渗流区域前缘半径进行预 井底流压能够影响蜡沉积的形成和分布，从而 测，模拟结果如图1所示，蜡沉积对凝析气液流动 会对开采效果产生明显影响，经计算，井底流压大 前缘半径产生影响，流动半径减小.对于本次模拟 小对蜡沉积的影响见图3，在较低的井底流压情况 的TH2井流动区域半径可减少15m,由此可见，蜡 下，考虑析蜡沉积影响的累计产气量低于不考虑析 沉积可使部分区域孔隙减少，流动阻力增大，为此 蜡沉积影响的累计产气量，在考虑蜡沉积的情况 对含蜡凝析气田，特别是对低渗透凝析气田的开发 下，历史拟合曲线与实际曲线具有较小的误差，能够 过程中有效控制蜡沉积对储层的伤害是十分重要 更加精确地对生产指标进行预测 的 4.0 140 3.5 ★一不考虑析蜡 120 ◆一不考虑蜡沉积影响 3.0 。一考虑析蜡 100 金一考虑蜡沉积影响 三 2.5 ■实际数据 2.0 15 1.0 0.5 0 999 2001 200320052007 2009 0 10 20 30 40 50 60 年份 流压MPa 图3枯竭式开采时蜡沉积对产量的影响曲线 图1蜡沉积对多相区域前缘流动半径的影响 Fig.3 Effect of wax deposition on the accumulative output Fig.1 Effect of wax deposition on the forward position radius 5 4.3产能计算 结论 根据两相拟压力计算结果和产能方程式求出拟 (1)在凝析气液固渗流物理模拟和变相态研 稳态流动阶段的IPR曲线，从图2可以看出，两组 究基础上，建立了伴有蜡沉积的凝析气液固变相态
式中ψ为储层平均压力． 4 算例 4∙1 模拟参数选择 运用上述多相复杂变相态渗流数学模型计算 时选用的状态方程为 PR 方程．对 T H2井凝析体系 进行渗流模拟计算生产井段4958∙0～4963∙0m 气藏厚度为5∙0m原始地层压力为55∙45MPa地 层温度407∙05K油气模拟组成如表1所示．模拟 基本参数：单井控制半径为 700m储层孔隙度 14∙5％储层有效渗透率为4∙844×10－3μm 2露点 压力为50∙85MPa析蜡点压力为48∙5MPa （49 ℃）． 表1 体系的组成 Table1 Components and content 井流物组分 物质的量分数／％ CO2 0∙58 N2 3∙30 C1 76∙54 C2 8∙70 C3 2∙44 井流物组分 物质的量分数／％ C4 1∙55 C5 0∙83 C6 0∙53 C7 5∙53 4∙2 凝析气井近井地带地层油气渗流特征 利用数学模型对多相渗流区域前缘半径进行预 测模拟结果如图1所示．蜡沉积对凝析气液流动 前缘半径产生影响流动半径减小．对于本次模拟 的 T H2井流动区域半径可减少15m．由此可见蜡 沉积可使部分区域孔隙减少流动阻力增大．为此 对含蜡凝析气田特别是对低渗透凝析气田的开发 过程中有效控制蜡沉积对储层的伤害是十分重要 的． 图1 蜡沉积对多相区域前缘流动半径的影响 Fig．1 Effect of wax deposition on the forward position radius 4∙3 产能计算 根据两相拟压力计算结果和产能方程式求出拟 稳态流动阶段的 IPR 曲线．从图2可以看出两组 初始压力分别是40和55∙5MPa 时蜡沉积对产能的 影响曲线．若不考虑蜡沉积对原始 IPR 曲线数值的 影响会使产量预测明显偏大蜡沉积对产量最大影 响减少值约15％．由此可见含蜡凝析气田开发有 效控制蜡沉积对储层的保护和开发控制是十分重要 的．特别是低渗透凝析气田的储层压力开发控制 防止蜡沉积对气田的开采生命周期的延伸是十分有 益的． 图2 蜡沉积对 TH2井 IPR 曲线的影响 Fig．2 Effect of wax deposition on the IPR curve of TH2well 4∙4 蜡沉积对凝析气藏开采特征的影响 蜡沉积可使部分区域孔隙减少流动阻力增大； 不考虑蜡沉积会使产量预测明显偏大；枯竭式开采 时蜡沉积对产量有明显影响． 井底流压能够影响蜡沉积的形成和分布从而 会对开采效果产生明显影响．经计算井底流压大 小对蜡沉积的影响见图3．在较低的井底流压情况 下考虑析蜡沉积影响的累计产气量低于不考虑析 蜡沉积影响的累计产气量．在考虑蜡沉积的情况 下历史拟合曲线与实际曲线具有较小的误差能够 更加精确地对生产指标进行预测． 图3 枯竭式开采时蜡沉积对产量的影响曲线 Fig．3 Effect of wax deposition on the accumulative output 5 结论 （1） 在凝析气－液－固渗流物理模拟和变相态研 究基础上建立了伴有蜡沉积的凝析气液固变相态 ·878· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第9期 朱维耀等：蜡沉积凝析气液固变相态复杂渗流数学模型 .879 多相复杂渗流数学模型，对蜡沉积引起渗流特性的 Monticello:Mercel Dekker Ine.199] 改变和复杂渗流特征进行了描述，从而准确描述凝 [3]朱维耀，刘学伟，罗凯，等.具有蜡沉积的凝析气藏气液固微尺 度变相渗流动力学模型研究.天然气地球科学，2005,16(3)： 析气藏气一液固的复杂渗流特性和过程， 363 (2)对蜡沉积的凝析气液固变相态复杂渗流理 [4]刘敏.含蜡原油石蜡沉积模拟方法研究.石油学报，2003,24 论进行了研究，系统地建立了气液固变相态多相流 (2):105 固耦合渗流数学模型.该模型充分反映了伴有凝 [5]陈德春，刘均荣，吴晓东，等.含蜡原油井筒结蜡剖面的预测模 析液、蜡析出的气液固变相态多相复杂流动，为今后 型.石油大学学报，1999,23(4)：36 含蜡凝析气藏开采动态预测和数值模拟研究及现场 [6]李闽，王道成，姜逸伟，等.预测凝析油气体系蜡沉积热力学模 型.天然气工业，2004,27(4)：62 应用提供了理论基础. [7]梅海燕，张茂林，孙良田，等。压力对油气体系石蜡沉积温度的 (③)蜡沉积可使部分区域孔隙减少，流动阻力 影响.西南石油学院学报，2001,23(6)：9 增大；不考虑蜡沉积会使产量预测明显偏大；蜡沉积 [8]朱维耀.凝析气液两相渗流机理研究.石油勘探与开发，1988， 可使产量下降；对含蜡凝析气田蜡沉积的有效控制 15(3):63 是十分重要的， [9]朱维耀.伴有相变的气液两相渗流理论研究.石油学报，1990， 9(1):15 (4)数值实验和示例研究结果表明，该模型较 [10]苏畅，郭平，李士伦，等.凝析油气微观流动及相渗规律研究 好地反映了渗流物理实质，模拟结果与实验和现场 天然气工业，2002,22(4)：61 试验结果比较吻合， [11]胡永乐，罗凯，郑希潭，等，高含蜡凝析气相态特征研究.石 油学报.2003.24(3)61 参考文献 [12]张茂林，梅海燕，孙良田，等.毛细管压力对凝析气体系相平 [1]Bentsen R G.Effect of momentum transfer between fluid phases 衡的影响.石油勘探与开发，2001,24(4)：28 on effective mobility.J Pet Sci Eng.1998.21(1/2):27 [13]顾丽莉，石炎福，余华瑞.气一液一固三相并流体系的混沌识 [2]Morrow N R.Interfacial phenomena in petroleum recovery. 别.四川大学学报，2000,32(2)：44 Porous flow mathematical model of multiphase complex flow with phase change and wax deposition ZHU Weiyao),JU Yan2,YAN Liangdong),WANG Ming,HU Yongle),LUO Kai) 1)Civil and Environmental Engineering School,University of Science and Technology Beijing.100083,China 2)Langfang Normal University.Langfang 065007.China 3)Research Institute of Petroleum Exploration and Development,Beijing 100083,China ABSTRACI Gas-liquid-solid complex flow was complicated in the production of a condensate gas reservoir with wax deposition.Under experiment research results on the porous flow mechanism,the porous flow model was described to reveal the complex flow law.According to the phase change law for wax deposition and dew point line curves,and the change of the saturation of condensate gas with phase properties,gas-liquid-solid was trans- formed with phase change,which would result in the change of distribution of fluid pressure and influence or al- ter the characteristic and the process of condensate gas percolation flow.Under experimental results of wax de- position and phase change,the mechanical characteristics of fluids flow ing through porous media and the relevant physicochemical problem were all summed up as solving the gas-liquid-solid coupling mathematical model.After considering the phase change action between condensate gas and condensate liquid,wax deposition interlarded with interfacial drag force and capillary pressure engendered in the process of phase change.Numerical simula- tion results proved that the flow resistance increased and the production output decreased owing to wax deposi- tion.The model could reveal the physical essence of porous flow. KEY WORDS wax deposition;gasliquid-solid;phase change;complex flow mathematic model;production out put equation
多相复杂渗流数学模型．对蜡沉积引起渗流特性的 改变和复杂渗流特征进行了描述从而准确描述凝 析气藏气－液－固的复杂渗流特性和过程． （2） 对蜡沉积的凝析气液固变相态复杂渗流理 论进行了研究系统地建立了气液固变相态多相流 －固耦合渗流数学模型．该模型充分反映了伴有凝 析液、蜡析出的气液固变相态多相复杂流动为今后 含蜡凝析气藏开采动态预测和数值模拟研究及现场 应用提供了理论基础． （3） 蜡沉积可使部分区域孔隙减少流动阻力 增大；不考虑蜡沉积会使产量预测明显偏大；蜡沉积 可使产量下降；对含蜡凝析气田蜡沉积的有效控制 是十分重要的． （4） 数值实验和示例研究结果表明该模型较 好地反映了渗流物理实质模拟结果与实验和现场 试验结果比较吻合． 参 考 文 献 ［1］ Bentsen R G．Effect of momentum transfer between fluid phases on effective mobility．J Pet Sci Eng199821（1／2）：27 ［2］ Morrow N R．Interfacial phenomena in petroleum recovery． Monticello：Mercel Dekker Inc1991 ［3］ 朱维耀刘学伟罗凯等．具有蜡沉积的凝析气藏气液固微尺 度变相渗流动力学模型研究．天然气地球科学200516（3）： 363 ［4］ 刘敏．含蜡原油石蜡沉积模拟方法研究．石油学报200324 （2）：105 ［5］ 陈德春刘均荣吴晓东等．含蜡原油井筒结蜡剖面的预测模 型．石油大学学报199923（4）：36 ［6］ 李闽王道成姜逸伟等．预测凝析油气体系蜡沉积热力学模 型．天然气工业200427（4）：62 ［7］ 梅海燕张茂林孙良田等．压力对油气体系石蜡沉积温度的 影响．西南石油学院学报200123（6）：9 ［8］ 朱维耀．凝析气液两相渗流机理研究．石油勘探与开发1988 15（3）：63 ［9］ 朱维耀．伴有相变的气液两相渗流理论研究．石油学报1990 9（1）：15 ［10］ 苏畅郭平李士伦等．凝析油气微观流动及相渗规律研究． 天然气工业200222（4）：61 ［11］ 胡永乐罗凯郑希潭等．高含蜡凝析气相态特征研究．石 油学报200324（3）61 ［12］ 张茂林梅海燕孙良田等．毛细管压力对凝析气体系相平 衡的影响．石油勘探与开发200124（4）：28 ［13］ 顾丽莉石炎福余华瑞．气－液－固三相并流体系的混沌识 别．四川大学学报200032（2）：44 Porous flow mathematical model of multiphase complex flow with phase change and wax deposition ZHU Weiyao 1）JU Y an 2）Y A N L iangdong 1）WA NG Ming 1）HU Yongle 3）LUO Kai 3） 1） Civil and Environmental Engineering SchoolUniversity of Science and Technology Beijing100083China 2） Langfang Normal UniversityLangfang065007China 3） Research Institute of Petroleum Exploration and DevelopmentBeijing100083China ABSTRACT Gas-liquid-solid complex flow was complicated in the production of a condensate gas reservoir with wax deposition．Under experiment research results on the porous flow mechanismthe porous flow model was described to reveal the complex flow law．According to the phase change law for wax deposition and dew point line curvesand the change of the saturation of condensate gas with phase propertiesgas-liquid-solid was transformed with phase changewhich would result in the change of distribution of fluid pressure and influence or alter the characteristic and the process of condensate gas percolation flow．Under experimental results of wax deposition and phase changethe mechanical characteristics of fluids flowing through porous media and the relevant physicochemical problem were all summed up as solving the gas-liquid-solid coupling mathematical model．After considering the phase change action between condensate gas and condensate liquidwax deposition interlarded with interfacial drag force and capillary pressure engendered in the process of phase change．Numerical simulation results proved that the flow resistance increased and the production output decreased owing to wax deposition．The model could reveal the physical essence of porous flow． KEY WORDS wax deposition；gas-liquid-solid；phase change；complex flow；mathematic model；production output equation 第9期 朱维耀等： 蜡沉积凝析气－液－固变相态复杂渗流数学模型 ·879·