基于多子群目标分段差分进化的多目标热连轧负荷分配

D010.13374斤.issn10153x.2010.11.023 第32卷第11期 北京科技大学学报 Vol 32 N911 2010年11月 Journal ofUniversity of Science and Technobgy Bejjing Noy 2010 基于多子群目标分段差分进化的多目标热连轧负荷 分配 姚峰1)杨卫东12张明12 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)北京科技大学钢铁流程先进控制教育部重点实验室，北京100083 摘要针对热连轧负荷分配的目标函数处理中采用的加权系数不好确定的问题，设计了一种多子群目标分段优化的差分 进化算法.每个子群优化目标函数的一个子目标，子群之间独立进化，不但解决了加权系数问题，并且提高了算法的收敛速度 和精度.最后.算法的有效性通过仿真进行了验证. 关键词热轧机：负荷分配：多目标优化：优化算法：差分进化 分类号TP18TG3337 Multiobjective bad distr bution of hot stripm ills based on multi swam and sub-objective d ifferential evolution YAO Feng 2).YANGWei-dong2).ZHANG Mng2) 1)Schoolof hpmaton Eng neering University of Sc ince and Techrokgy Beijing Be ijng 100083.Chna 2)Key Laborao forAdvanced Contol of Ion and Steel Process(Mnistry of Edication ofChna.University of Sc ence and Technokgy Be ijig Bei jng 100083.Chna ABSTRACT A diferential evolution agoritlm based onmulti swam and subobjective optin iaton is presen ted in order p solve he difficu lty n selecting he wegh tng coefficients n processing the obective finction ofhot strp milk Each sub-swam optm izes a sub ob jective and evovves ndependently Th is not a y soles the issue ofweghtng coefficients but also ncreases the convergence speed and accuracy Finally the agoritm 's effectiveness is verifed by siu laton KEY WORDS hot rollingm ills pad distribution multiob jective optmization algorithms differen tial evolu tion 热连轧负荷分配优化归纳起来就是所谓的厚度 献[4]对一种已有的自适应算法进行了改进，将该 分配的最优化.也就是在一定条件（钢种，来料厚 算法思想引入粒子群算法的改进中，并将改进的粒 度、宽度和温度，目标成品厚度等)下最优地分配各 子群算法应用到热连轧机精轧机组的负荷分配优化 机架的出口厚度（轧制力和功率等），并使各限制条 计算中. 件都能得到满足，达到最优的工作状态 上述文献采用不同的优化方法，实现了对热连 对于热连轧负荷分配已有很多研究，文献[2] 轧的负荷分配优化，但存在的一个共同特点是将多 设计了一种免疫遗传算法，将其应用到热连轧负荷 目标的负荷分配优化问题通过加权系数转换成单一 分配中，设计了兼顾板形和负荷均衡的优化模型. 的优化目标.这样做使得优化算法得到了简化.可 文献[3]提出一种基于适应度方差的权重梯度方向 以应用单目标的优化算法进行优化，但是这样处理 变异的改进粒子群优化算法，根据负荷分配优化策 的同时也存在一个很重要的缺陷，就是加权系数不 略，给出综合板形板厚的最小方差目标函数在实现 好确定，人为因素太多，结果不能令人满意”.由于 各机架负荷分配优化的同时，提高板形质量.文 目标函数各部分的量纲不同，反应在各目标的数量 收稿日期：2009一12一07 基金项目：国家高技术专项项目(NQ2005一1)：北京市教委重点学科控制理论与控制工程项目(N9XK00080537) 作者简介：姚峰(1984-).男.博士研究生：杨卫东(1952-)男，教授，博士生导师，Emw952@126m

第 32卷 第 11期 2010年 11月 北 京 科 技 大 学 学 报 JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijing Vol.32 No.11 Nov.2010 基于多子群目标分段差分进化的多目标热连轧负荷 分配 姚 峰 1, 2) 杨卫东 1, 2 ) 张 明 1, 2) 1) 北京科技大学信息工程学院, 北京 100083 2) 北京科技大学钢铁流程先进控制教育部重点实验室, 北京 100083 摘 要 针对热连轧负荷分配的目标函数处理中采用的加权系数不好确定的问题, 设计了一种多子群目标分段优化的差分 进化算法.每个子群优化目标函数的一个子目标, 子群之间独立进化, 不但解决了加权系数问题, 并且提高了算法的收敛速度 和精度.最后, 算法的有效性通过仿真进行了验证. 关键词 热轧机;负荷分配;多目标优化;优化算法;差分进化 分类号 TP18;TG333.7 Multi-objectiveloaddistributionofhotstripmillsbasedonmulti-swarm and sub-objectivedifferentialevolution YAOFeng1 2) , YANGWei-dong1, 2) , ZHANGMing1, 2) 1) SchoolofInformationEngineering, UniversityofScienceandTechnologyBeijing, Beijing100083, China 2) KeyLaboratoryforAdvancedControlofIronandSteelProcess( MinistryofEducationofChina), UniversityofScienceandTechnologyBeijing, Bei￾jing100083, China ABSTRACT Adifferentialevolutionalgorithmbasedonmulti-swarmandsub-objectiveoptimizationispresentedinordertosolvethe difficultyinselectingtheweightingcoefficientsinprocessingtheobjectivefunctionofhotstripmills.Eachsub-swarmoptimizesasub￾objectiveandevolvesindependently.Thisnotonlysolvestheissueofweightingcoefficients, butalsoincreasestheconvergencespeed andaccuracy.Finally, thealgorithmseffectivenessisverifiedbysimulation. KEYWORDS hotrollingmills;loaddistribution;multi-objectiveoptimization;algorithms;differentialevolution 收稿日期:2009-12-07 基金项目:国家高技术专项项目 ( No.2005-1) ;北京市教委重点学科控制理论与控制工程项目 (No.XK100080537) 作者简介:姚 峰 ( 1984— ), 男, 博士研究生;杨卫东 ( 1952— ), 男, 教授, 博士生导师, E-mail:ywd1952@126.com 热连轧负荷分配优化归纳起来就是所谓的厚度 分配的最优化, 也就是在一定条件 (钢种, 来料厚 度 、宽度和温度, 目标成品厚度等 )下最优地分配各 机架的出口厚度 (轧制力和功率等 ), 并使各限制条 件都能得到满足, 达到最优的工作状态 [ 1] . 对于热连轧负荷分配已有很多研究, 文献 [ 2] 设计了一种免疫遗传算法, 将其应用到热连轧负荷 分配中, 设计了兼顾板形和负荷均衡的优化模型 . 文献[ 3]提出一种基于适应度方差的权重梯度方向 变异的改进粒子群优化算法, 根据负荷分配优化策 略, 给出综合板形板厚的最小方差目标函数, 在实现 各机架负荷分配优化的同时, 提高板形质量.文 献[ 4]对一种已有的自适应算法进行了改进, 将该 算法思想引入粒子群算法的改进中, 并将改进的粒 子群算法应用到热连轧机精轧机组的负荷分配优化 计算中. 上述文献采用不同的优化方法, 实现了对热连 轧的负荷分配优化, 但存在的一个共同特点是将多 目标的负荷分配优化问题通过加权系数转换成单一 的优化目标.这样做使得优化算法得到了简化, 可 以应用单目标的优化算法进行优化, 但是这样处理 的同时也存在一个很重要的缺陷, 就是加权系数不 好确定, 人为因素太多, 结果不能令人满意 [ 1] .由于 目标函数各部分的量纲不同, 反应在各目标的数量 DOI :10 .13374 /j .issn1001 -053x .2010 .11 .023

第11期 姚峰等：基于多子群目标分段差分进化的多目标热连轧负荷分配 1507° 级上相差很大现场中没有理想的理论方法对加权 定考虑了三个方面的内容：首先是(P一KP)2以负 系数进行确定，因此上述文献中的方法在应用上受 荷均衡为主要目的，其次是(B一)2以等压力分 到了制约 为此，本文提出一种多子群目标分段差分进化 配为主要的优化目标，最后是会(Rh-CR/ multi-swam and sub-objective differential evoltion b士△)2以等相对凸度为优化目标，主要考虑板形 ayMS9ODE算法，基本的思路是将目标函数进行 因素.可以看出，式(2)的子目标J和J之间不存 分段表示能够分段的前提是各分段目标函数之间 在耦合机架所以参数之间也不存在耦合现象.这 不存在耦合关系，每一子群优化相应的一个子目标， 里的参数主要是指各机架的厚度分配值. 从而可以屏蔽掉加权系数，实现多目标优化的目的， 1.2约束条件 同时又避免了多目标进化算法在使用上的繁琐性. 轧制过程主要应该考虑设备的承受能力、电机 的容量、工艺限制和板形等条件.根据热连轧精轧 1轧制规程多目标优化模型的建立 机组的特点，主要考虑以下几个方面的限制 1.1目标函数 条件3. 热连轧精轧机组的轧制过程可分为三个阶 (1)设备承受能力.包括设备的强度和电机能 段3：第一阶段可以适当地留有余地，即考虑到带 力，主要体现在轧制力和轧制力矩上.对电机来说 坯厚度的波动和可能产生咬入困难等问题，而使压 轧制力、轧制力矩和轧制速度应满足主电机的负荷 下量略小；第二阶段第二、第三机架要充分利用设 条件，表现在电流上就是最大电流除以过载系数必 备的能力，给予尽可能大的压下量；第三阶段从第三 须小于额定电流. 机架开始考虑板形、厚度精度和性能指标的要求轧 (2)工艺条件.各机架的出口厚度必须小于入 制力逐次递减最好保持等相对凸度轧制.文献[2] 口厚度. 为了采用单目标的进化算法进行优化，采用的目标 (3)速度限制.速度一般要受到第一架的调速 函数形式为： 范围和末架低速的限制. =(-KB)2+(B-B)2+ 由于带钢板坯的厚度较薄，穿带的速度又不是 K召CR/h-R/h士2 很高，本文不考虑咬入条件的限制，确定约束条件 (1) 如下： 式中，K为比例系数，可根据工艺条件选取，量纲为 Ps Pmax 上K为加权系数，量纲为上P、和B为各机架 G长长ax (3) 的实测轧制力，kyh为各机架带钢厚度，四CR h<h 为各机架实测凸度，m四CR,为出口(7机架轧机为 式(3)分别是轧制力约束、电机电流约束以及 例)的目标凸度，四△为调节量，量纲为1 各机架出口、入口厚度限制.由于采用武钢的查表 注意到，由于目标函数(1)的前两项与后一项 法进行速度设定，因此这里不考虑速度限制. 的量纲不同，因而原作者为了平衡两者在优化过程 1.3轧制过程多目标优化模型 中的地位，在后一项中使用了加权系数K来平衡两 基于以上分析确定热连轧负荷分配的多目标优 者的数量级，达到兼顾两目标的目的.前面分析过 了K的选取没有固定的模式可循，现场中不好确 化模型如下： 定，为此将上述目标函数进行分解： m=(J,1) (4) J=(R-KB)2+(B-B)2 stG景m 2 I=(R/h-Rh±a2 式中，为向量函数，号为第个约束条件 模型(4)可以应用多目标的进化算法进行优 目标函数(2)的特点是J和↓都是非负的，其 化，但是多目标进化算法相对比较复杂，得到的解为 全局的最优值为J=J=0因而当J和↓同时达 Pae的次优解集，很多解不好取舍，不太适合现场 到其最优值时，函数的总目标他就达到其最优. 使用，而且不是目标的最优解不够理想.1~7号 分析上述目标函数的特点，上述目标函数的制 机架分配结果如图1所示

第 11期 姚 峰等:基于多子群目标分段差分进化的多目标热连轧负荷分配 级上相差很大, 现场中没有理想的理论方法对加权 系数进行确定, 因此上述文献中的方法在应用上受 到了制约. 为此, 本文提出一种多子群目标分段差分进化 ( multi-swarm andsub-objectivedifferentialevolution￾ary, MSSODE)算法, 基本的思路是将目标函数进行 分段表示, 能够分段的前提是各分段目标函数之间 不存在耦合关系, 每一子群优化相应的一个子目标, 从而可以屏蔽掉加权系数, 实现多目标优化的目的, 同时又避免了多目标进化算法在使用上的繁琐性. 1 轧制规程多目标优化模型的建立 1.1 目标函数 热连轧精轧机组的轧制过程可分为三个阶 段 [ 3] :第一阶段可以适当地留有余地, 即考虑到带 坯厚度的波动和可能产生咬入困难等问题, 而使压 下量略小;第二阶段第二 、第三机架要充分利用设 备的能力, 给予尽可能大的压下量;第三阶段从第三 机架开始考虑板形、厚度精度和性能指标的要求, 轧 制力逐次递减, 最好保持等相对凸度轧制 .文献[ 2] 为了采用单目标的进化算法进行优化, 采用的目标 函数形式为 : J=( P1 -KP2 ) 2 +( P2 -P3 ) 2 + K1 ∑ 7 i=4 (CRi/hi-CR7 /h7 ±Δ) 2 ( 1) 式中, K为比例系数, 可根据工艺条件选取, 量纲为 1;K1 为加权系数, 量纲为 1;P1 、P2 和 P3 为各机架 的实测轧制力, kN;hi为各机架带钢厚度, mm;CRi 为各机架实测凸度, mm;CR7 为出口 ( 7机架轧机为 例 )的目标凸度, mm;Δ为调节量, 量纲为 1. 注意到, 由于目标函数 ( 1 )的前两项与后一项 的量纲不同, 因而原作者为了平衡两者在优化过程 中的地位, 在后一项中使用了加权系数 K1 来平衡两 者的数量级, 达到兼顾两目标的目的.前面分析过 了 K1 的选取没有固定的模式可循, 现场中不好确 定, 为此将上述目标函数进行分解: J1 =( P1 -KP2 ) 2 +(P2 -P3 ) 2 J2 =∑ 7 i=4 ( CRi/hi -CR7 /h7 ±Δ) 2 ( 2) 目标函数 ( 2)的特点是 J1 和 J2 都是非负的, 其 全局的最优值为 J1 =J2 =0, 因而当 J1 和 J2 同时达 到其最优值时, 函数的总目标 J也就达到其最优 . 分析上述目标函数的特点, 上述目标函数的制 定考虑了三个方面的内容:首先是 ( P1 -KP2 ) 2 以负 荷均衡为主要目的, 其次是 ( P2 -P3 ) 2 以等压力分 配为主要的优化目标, 最后是 ∑ 7 i=4 ( CRi/hi -CR7 / h7 ±Δ) 2 以等相对凸度为优化目标, 主要考虑板形 因素 .可以看出, 式 ( 2)的子目标 J1 和 J2 之间不存 在耦合机架, 所以参数之间也不存在耦合现象 .这 里的参数主要是指各机架的厚度分配值 . 1.2 约束条件 轧制过程主要应该考虑设备的承受能力、电机 的容量、工艺限制和板形等条件 .根据热连轧精轧 机组的 特 点, 主 要考 虑 以下 几个 方 面的 限 制 条件 [ 3] . ( 1) 设备承受能力 .包括设备的强度和电机能 力, 主要体现在轧制力和轧制力矩上 .对电机来说, 轧制力、轧制力矩和轧制速度应满足主电机的负荷 条件, 表现在电流上就是最大电流除以过载系数必 须小于额定电流. ( 2) 工艺条件 .各机架的出口厚度必须小于入 口厚度. ( 3) 速度限制 .速度一般要受到第一架的调速 范围和末架低速的限制 . 由于带钢板坯的厚度较薄, 穿带的速度又不是 很高, 本文不考虑咬入条件的限制, 确定约束条件 如下 : 0≤Pi≤Pmax 0≤Ii≤Imax 0 <hi+1 <hi ( 3) 式 ( 3)分别是轧制力约束、电机电流约束以及 各机架出口、入口厚度限制 .由于采用武钢的查表 法进行速度设定, 因此这里不考虑速度限制 . 1.3 轧制过程多目标优化模型 基于以上分析确定热连轧负荷分配的多目标优 化模型如下: minJ=(J1, J2 ) s.t.0≤gi≤gmax ( 4) 式中, J为向量函数, gi为第 i个约束条件 . 模型 ( 4)可以应用多目标的进化算法进行优 化, 但是多目标进化算法相对比较复杂, 得到的解为 Pareto的次优解集, 很多解不好取舍, 不太适合现场 使用, 而且不是目标的最优解, 不够理想 .1 ～ 7 号 机架分配结果如图 1所示. · 1507·

1508 北京科技大学学报 第32卷 30 20m 三1.5 1.0 4 机架号 机架 30- 20 10 3 56 7 机架号 图1多目标优化的厚度，相对凸度和轧制力 Fig 1 Thickness eltive convexity and olling force ofmulticbjective otm ization 因此，提出一种新的优化方案：将进化算法的 变异方式进行改进，并且引入了梯度加速算法 种群分为多个子群，每个子群分别优化一个子目标 2.1变异方式的改进 函数，各子群之间独立进化，总目标函数取各子目标 以往文献给出的变异方式容易早熟收敛或 函数之和=J+十…+山当总目标函数达到终 者效率很低本文设计了一种兼顾种群多样性和搜 止条件时，则算法终止，并输出最优解.算法思想如 索效率的变异方式： 图2所示，VR表示预设的目标值. =+F叫一+一， (5) 开始 上述变异方式中，对于第代种群的第个体 初始化种群 $基向量仍然采用$表示在的基础上进行变 异，这样有利于保持初始种群的多样性，同时兼顾了 <VTR ,<TR, J<VTR 种群的进化方向.后面一项一丫是作为扰动引 入的，这样处理可以使变异后的个体都是由自身作 为基变量，保持了尽可能大的差异，从而保持了种群 标 目标n 的多样性.同时采用排序的方式选择。和兼 顾了种群的进化方向，因而是一种高效的变异方式. 2.2基于梯度的局域搜索 =J+++。 对于函数「以，=（￥￥；），其梯度可以 KVTR 表示为 Y (结束输出结果) a1=[器，]： x, (6) 图2算法流程图 Fg2 Agoritm fow chart 负梯度方向是函数的最速下降方向 以概率对种群粒子进行局域搜索，对种群中 2 MSSODE算法 较优的个体在负梯度方向进行一次直线搜索，来确 根据上一节的分析，本节利用差分进化算法设 定移动步长.直线搜索采用了黄金分割法.梯度加 计一种多子群目标分段的差分进化算法设计多子 速的流程如图3所示. 群的方法相当于对优化问题作降维处理但是本节 直线搜索的步骤为： 所设计的方法仅适用于各分段目标函数不存在耦合 步骤1试探性在个体附近确定一单谷搜索 的现象，适用于处理式(2所示形式的目标函数.为 区间{日. 提高算法的收敛速度和维持种群的多样性，这里对 步骤2计算=a叶B(b到，f=f)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 图 1 多目标优化的厚度、相对凸度和轧制力 Fig.1 Thickness, relativeconvexityandrollingforceofmulti-objectiveoptimization 因此, 提出一种新的优化方案:将进化算法的 种群分为多个子群, 每个子群分别优化一个子目标 函数, 各子群之间独立进化, 总目标函数取各子目标 函数之和 J=J1 +J2 +… +Jn, 当总目标函数达到终 止条件时, 则算法终止, 并输出最优解 .算法思想如 图 2所示, VTR表示预设的目标值. 图 2 算法流程图 Fig.2 Algorithmflowchart 2 MSSODE算法 根据上一节的分析, 本节利用差分进化算法设 计一种多子群目标分段的差分进化算法, 设计多子 群的方法相当于对优化问题作降维处理, 但是本节 所设计的方法仅适用于各分段目标函数不存在耦合 的现象, 适用于处理式 ( 2)所示形式的目标函数 .为 提高算法的收敛速度和维持种群的多样性, 这里对 变异方式进行改进, 并且引入了梯度加速算法. 2.1 变异方式的改进 以往文献给出的变异方式 [ 5 -8]容易早熟收敛或 者效率很低, 本文设计了一种兼顾种群多样性和搜 索效率的变异方式 : x t+1 i =x t i+F( x t r1 -x t i+x t r2 -x t r3 ). ( 5) 上述变异方式中, 对于第 t代种群的第 i个体 x t i, 基向量仍然采用 x t i, 表示在 x t i的基础上进行变 异, 这样有利于保持初始种群的多样性, 同时兼顾了 种群的进化方向.后面一项 x t r2 -x t r3是作为扰动引 入的, 这样处理可以使变异后的个体都是由自身作 为基变量, 保持了尽可能大的差异, 从而保持了种群 的多样性 .同时采用排序的方式选择 r1, r2 和 r3, 兼 顾了种群的进化方向, 因而是一种高效的变异方式. 2.2 基于梯度的局域搜索 对于函数 f( x), x=( x1, x2, …, xn), 其梯度可以 表示为 [ 9] Δf(x) = f( x) x1 , f(x) x2 , …, f( x) xn T , ( 6) 负梯度方向是函数的最速下降方向. 以概率 p对种群粒子进行局域搜索, 对种群中 较优的个体在负梯度方向进行一次直线搜索, 来确 定移动步长.直线搜索采用了黄金分割法.梯度加 速的流程如图 3所示. 直线搜索的步骤为 : 步骤 1 试探性在个体 x t i附近确定一单谷搜索 区间 {a, b}. 步骤 2 计算 t2 =a+β( b-a), f2 =f( t2 ) . · 1508·

第11期 姚峰等：基于多子群目标分段差分进化的多目标热连轧负荷分配 ·1509 产生一伪随机数r 进行测试，分别是单峰独立、单峰非独立的. 按照式⑤进行变异， 并进行交叉选择操作 )号1长100mn(i)=0 30 对个体沿负梯度 方向进行直线搜索 (2)f=4dw2 - cos()+1 |￥长100mn(f)=0 新个体 设置仿真参数：按照国际标准设置仿真维数 图3梯度加速的流程图 Fg 3 Flw chan of grad ient acoe leration D=30种群规模取维数的5~10倍9，种群规模大 有利于保持种群多样性，利于跳出局部极值，但是算 步骤3计算=a叶b去f=「t). 法运行时间长，这里取NP=200迭代最大次数为 步骤4若|一~e则(+)2即为新个 8000文献[6给出的缩放因子的取值范围是F飞 体：否则转步骤5 [0.408),取F=0.6交叉概率因子的变化范围 步骤5判断是否满足≤￡若满足则置 HRe[0.3096-. 扌=={然后转步骤3反之，若基则置 对比算法采用基于自适应控制参数改进差分 a=吉=f==a+β(b-a以f=〔)，然 进化算法(SACEMDE、自适应二次变异差分进 后转步骤4 化算法(ASMDE)四、局部随机差分进化算法 这里取B∈[0，e=10. (DER以及两种采用经典变异方式的差分进 2.3MS9OD算法步骤 化算法(DE/rand1/bn和DE/best2/bn). 步骤1设定种群大小T维数)缩放因子 SACIMD和ASMDE参数的设置参见文献[IO]: F交叉概率因子HR最大迭代代数G搜索空间 DRL参数设置参见文献[6]中的设置；标准DE [9],=1 算法的缩放因子F=0.6交叉概率因子HR= 步骤2在[？]中初始化大小为NP的种群 0.8仿真精度VTR=106;MS9ODE算法设置为 卫，对于阳标问题，将种群分为个子种群，并分 两种群，同上所设，缩放因子F=0.6交叉概率因 别计算各个子种群的适应度J,上，J总目标适 子HR=0.8子群的仿真精度VTR=107.仿真 应度上J十I+…十 结果如表1图4和图5所示，为方便对比，在图4 步骤3若J满足终止条件，则终止并输出 和图5中取适应值的对数来画图. 结果 表1数据显示，MS9DE算法性能得到了大幅 步骤4判断】是否满足终止条件.若满足， 提高，本文所设计的多子群目标分段差分进化算 则跳过对种群1的操作；若不满足，则以概率P按 法在所采用的测试函数上均能够搜索到最优解， 式(5进行变异操作，以概率1一按图3算法进行 且搜索速度很快，对于测试函数，本算法明显要优 梯度加速操作.并且进行交叉和选择操作.按照上 于所对比的其他算法，该算法具有很强的勘探和 述方法对子群2~进行操作 开发的能力，能够有效地跳出局部极值，防止算法 步骤5计算总目标适应度=】十1十…十 早熟并且能够快速地收敛到全局最优值 转步骤3 3基于MS9ODE的热连轧机负荷分配算法 根据梯度信息进行一次直线搜索能够加快种群 的收敛速度，但是同时也会增加算法陷于局部极值 3.1算法步骤 的可能性为此设计的式(5)的变异方式增加了种 基于MSSODE算法的热连轧精轧机组负荷分 群的多样性，该算法能够有效平衡收敛速度和种群 配优化步骤： 多样性的关系.e的选取合适与否，对算法的时间 步骤1读取设备、轧件、工艺初始参数及带钢 复杂度影响不大，因为对于原有变异操作，算法复杂 成品参数； 性主要体现在交叉操作部分；倘若ε选取合适，使 步骤2利用负荷分配经验公式确定各机架出 得梯度循环部分操作的次数小于种群的维数，则该 口厚度的基础值h 部分的时间复杂度要优于原有操作， 步骤3计算各机架设定参数： 2.4算法性能测试 步骤4调用MS9DE算法程序，根据目标函 针对目标函数(1)的形式，选取两个测试函数 数(2)采用双子群，分别搜索使J和达到最小厚

第 11期 姚 峰等:基于多子群目标分段差分进化的多目标热连轧负荷分配 图 3 梯度加速的流程图 Fig.3 Flowchartofgradientacceleration 步骤 3 计算 t1 =a+b-t2, f1 =f( t1 ). 步骤 4 若 t1 -t2 f2, 则置 a=t1, t1 =t2, f1 =f2, t2 =a+β ( b-a), f2 =f( t2 ), 然 后转步骤 4. 这里取 β∈ [ 0, 1], ε=10 -5 . 2.3 MSSODE算法步骤 步骤 1 设定种群大小 NP, 维数 D, 缩放因子 F, 交叉概率因子 HR, 最大迭代代数 G, 搜索空间 [ l 0 , u 0 ], s=1. 步骤 2 在 [ l 0 , u 0 ]中初始化大小为 NP的种群 P 1 , 对于 N目标问题, 将种群分为 N个子种群, 并分 别计算各个子种群的适应度 J1, J2, …, Jn, 总目标适 应度 J=J1 +J2 +… +Jn. 步骤 3 若 J满足终止条件, 则终止并输出 结果. 步骤 4 判断 J1 是否满足终止条件 .若满足, 则跳过对种群 1的操作;若不满足, 则以概率 p按 式 ( 5)进行变异操作, 以概率 1 -p按图 3算法进行 梯度加速操作.并且进行交叉和选择操作 .按照上 述方法对子群 2 ～ n进行操作. 步骤 5 计算总目标适应度 J=J1 +J2 +… + Jn, 转步骤 3. 根据梯度信息进行一次直线搜索能够加快种群 的收敛速度, 但是同时也会增加算法陷于局部极值 的可能性, 为此设计的式 ( 5)的变异方式增加了种 群的多样性, 该算法能够有效平衡收敛速度和种群 多样性的关系.ε的选取合适与否, 对算法的时间 复杂度影响不大, 因为对于原有变异操作, 算法复杂 性主要体现在交叉操作部分;倘若 ε选取合适, 使 得梯度循环部分操作的次数小于种群的维数, 则该 部分的时间复杂度要优于原有操作. 2.4 算法性能测试 针对目标函数 ( 1)的形式, 选取两个测试函数 进行测试, 分别是单峰独立、单峰非独立的. ( 1) f1 =∑ 30 i=1 x 2 i, xi ≤100, min( f1) =0; ( 2 ) f2 = 1 4 000 ∑ 30 i=1 x 2 i -∏ 30 i=1 cos( xi/ i) +1, xi ≤100, min(f2 ) =0. 设置仿真参数 :按照国际标准设置仿真维数 D=30;种群规模取维数的 5 ～ 10倍 [ 5] , 种群规模大 有利于保持种群多样性, 利于跳出局部极值, 但是算 法运行时间长, 这里取 NP=200;迭代最大次数为 8 000;文献 [ 6]给出的缩放因子的取值范围是 F∈ [ 0.4, 0.8] , 取 F=0.6;交叉概率因子的变化范围 HR∈ [ 0.3, 0.9] [ 6 -8] . 对比算法采用基于自适应控制参数改进差分 进化算法 (SACPMDE) [ 10] 、自适应二次变异差分进 化算 法 ( ASMDE) [ 10] 、局部 随机 差分 进化 算 法 ( DERL) [ 5] 以及两种采用经典变异方式的差分进 化 算 法 ( DE/rand/1/bin和 DE/best/2/bin) . SACPMDE和 ASMDE参数的设置参见文献 [ 10] ; DERL参数设置参见文献 [ 6] 中的设置 ;标准 DE 算法的缩放因子 F=0.6, 交叉概率 因子 HR= 0.8, 仿真精度 VTR=10 -6 ;MSSODE算法设置为 两种群, 同上所设, 缩放因子 F=0.6, 交叉概率因 子 HR=0.8, 子群的仿真精度 VTRi =10 -7 .仿真 结果如表 1、图 4和图 5所示, 为方便对比, 在图 4 和图 5中取适应值的对数来画图 . 表 1数据显示, MSSODE算法性能得到了大幅 提高, 本文所设计的多子群目标分段差分进化算 法在所采用的测试函数上均能够搜索到最优解, 且搜索速度很快, 对于测试函数, 本算法明显要优 于所对比的其他算法, 该算法具有很强的勘探和 开发的能力, 能够有效地跳出局部极值, 防止算法 早熟, 并且能够快速地收敛到全局最优值. 3 基于 MSSODE的热连轧机负荷分配算法 3.1 算法步骤 基于 MSSODE算法的热连轧精轧机组负荷分 配优化步骤: 步骤 1 读取设备 、轧件、工艺初始参数及带钢 成品参数 ; 步骤 2 利用负荷分配经验公式确定各机架出 口厚度的基础值 hi; 步骤 3 计算各机架设定参数; 步骤 4 调用 MSSODE算法程序, 根据目标函 数 ( 2)采用双子群, 分别搜索使 J1 和 J2 达到最小厚 · 1509·

。1510 北京科技大学学报 第32卷 表1算法运行20次的平均值 Table 1 The averages of he agorithms nn 20 tmes 测试函数 算法 最优性能 平均性能 选代次数 方差 时间/s MSSODE 7.32X10-7 887X10-7 198 315×10-9 1.4 SACPMDE 613X10-6 885×10-6 297 9.77X10-8 86 ASMDE 647×10-6 9.01×10-6 1087 821×10-塔 9.3 DERL 7.54X106 9.13X10-6 314 489×10-B 3.6 DE/rad山1/bn 7.12X10-6 9.18×10-6 2178 5.14×10-B 23.0 DE/besy2/bin 7.42X10-6 902X10-6 2363 480×10-B 25.5 MSSODE 832X10-7 9.53×10-7 221 671×107 27 SACPMDE 698X10-6 9.00×10-6 301 616×10-B 9.3 ASMDE 685X10-6 904X10-6 1159 7.19X10B 188 DERL 7.50X10-6 1.29×10-2 5813 207X10-4 85.3 DE/nd山1/bh 5.93X10-6 378×10-4 2170 273X10-6 30.1 DE/besy2/bin 7.86×10-6 628×10-3 5110 7.05X10-5 73.3 步骤5检验上J+J是否满足终止条件，如 不满足则转步骤3否则继续： 0 步骤6检验是否满足约束条件(3，如不满足 -10 则转步骤3否则继续： 一ASMDE -20 ◆DE1 ----DERL 步骤7输出最优负荷分配值. …DE2 SACPMDE 3.2仿真研究 -30 0 50 100150200 250 300 迭代步数 仿真采用的钢种为Q235板宽B=1535四 图4的收敛曲线 来料厚度H=36.7m四成品厚度h=5.7m四粗轧 Fg 4 Convergence curves of f 出口实测温度c=1340K目标凸度CR= 0.01mm 根据经验，常取第一机架的轧制力P为第二机 架的轧制力的0.9倍；第二、第三机架的轧制力 -5 尽可能相等；从板形角度考虑，从第三机架开始，轧 MSSODE -10 -ASMDE 制力逐架次递减并且应该保持后四机架的相对凸 ◆DE1 ----DERL -15 t…DE2 ◆-SACPMDE 度相等. 表2和表3的仿真结果表明，基于MS9DE和 -20 100 150 200 250 迭代步数 文献[4中ASPSO的负荷分配基本上都能达到上 述要求.可以看出，本文中不使用权值系数的 图5的收敛曲线 Fg 5 Convergence curves off MSS)D熟连轧负荷分配算法基本上达到了文 献[4中使用权值系数算法的效果.表4为各三种 度的分配方案凸 不同优化算法的机架厚度分配值 表2轧制力分配对比 Table2 Conparison of rolling power distrbuton 方法 P/MN B/MN P:/MN P/MN P/MN P/MN B/MN 经验法 19.420 17.648 21.913 16808 11.968 11.638 8582 文献[4 18191 20219 20209 16391 13224 11.095 9.577 SSODE法 17.522 19.469 19.470 14599 12239 10871 10142

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 表 1 算法运行 20次的平均值 Table1 Theaveragesofthealgorithmsrun20 times 测试函数 算法 最优性能 平均性能 迭代次数 方差 时间 /s MSSODE 7.32×10 -7 8.87 ×10 -7 198 3.15 ×10 -19 1.4 SACPMDE 6.13×10 -6 8.85 ×10 -6 297 9.77 ×10 -18 8.6 f1 ASMDE 6.47×10 -6 9.01 ×10 -6 1 087 8.21 ×10 -18 9.3 DERL 7.54×10 -6 9.13 ×10 -6 314 4.89 ×10 -13 3.6 DE/rand/1/bin 7.12×10 -6 9.18 ×10 -6 2 178 5.14 ×10 -13 23.0 DE/best/2/bin 7.42×10 -6 9.02 ×10 -6 2 363 4.80 ×10 -13 25.5 MSSODE 8.32×10 -7 9.53 ×10 -7 221 6.71 ×10 -17 2.7 SACPMDE 6.98×10 -6 9.00 ×10 -6 301 6.16 ×10 -13 9.3 f2 ASMDE 6.85×10 -6 9.04 ×10 -6 1 159 7.19 ×10 -13 18.8 DERL 7.50×10 -6 1.29 ×10 -2 5 813 2.07×10 -4 85.3 DE/rand/1/bin 5.93×10 -6 3.78 ×10 -4 2 170 2.73×10 -6 30.1 DE/best/2/bin 7.86×10 -6 6.28 ×10 -3 5 110 7.05×10 -5 73.3 图 4 f1的收敛曲线 Fig.4 Convergencecurvesoff1 图 5 f2的收敛曲线 Fig.5 Convergencecurvesoff2 度的分配方案 hi; 步骤 5 检验 J=J1 +J2 是否满足终止条件, 如 不满足则转步骤 3, 否则继续; 步骤 6 检验是否满足约束条件 ( 3), 如不满足 则转步骤 3, 否则继续 ; 步骤 7 输出最优负荷分配值. 3.2 仿真研究 仿真采用的钢种为 Q235, 板宽 Bc =1 535 mm, 来料厚度 H0 =36.7 mm, 成品厚度 h7 =5.7mm, 粗轧 出口 实测 温度 TRC =1 340 K, 目标 凸度 CR7 = 0.01 mm. 根据经验, 常取第一机架的轧制力 P1为第二机 架的轧制力 P2的 0.9倍 ;第二、第三机架的轧制力 尽可能相等;从板形角度考虑, 从第三机架开始, 轧 制力逐架次递减, 并且应该保持后四机架的相对凸 度相等. 表 2和表 3的仿真结果表明, 基于 MSSODE和 文献 [ 4]中 IASPSO的负荷分配基本上都能达到上 述要求.可以看 出, 本文中不 使用权值系 数的 MSSODE热连轧负荷 分配算法基本上 达到了文 献[ 4]中使用权值系数算法的效果 .表 4 为各三种 不同优化算法的机架厚度分配值 . 表 2 轧制力分配对比 Table2 Comparisonofrollingpowerdistribution 方法 P1 /MN P2 /MN P3 /MN P4 /MN P5 /MN P6 /MN P7 /MN 经验法 19.420 17.648 21.913 16.808 11.968 11.638 8.582 文献[ 4] 18.191 20.219 20.209 16.391 13.224 11.095 9.577 MSSODE法 17.522 19.469 19.470 14.599 12.239 10.871 10.142 · 1510·

第11期 姚峰等：基于多子群目标分段差分进化的多目标热连轧负荷分配 ·1511° 表3各机架相对凸度 Table3 Rela tive convexity of every saand 方法 CR/h CR/h CR凸 CR,/h CR/h CR/h CR/b 经验法 00008 00010 00017 00018 00015 0.0018 00015 文献[4 00007 00011 00016 0.0017 00017 00017 00017 MS9ODE法 00007 00011 00017 00016 00016 00016 00016 表4各机架厚度分配 Table4 Thickness distrbution of every stand 方法 h/mm h/mm 与m h/mm h./mm h专/m h/mm 经验法 25.49 1853 1265 9.54 7.84 652 5.70 文献[4 26.19 1820 1282 9.75 7.87 660 50 MS9OE法 26.40 1844 1299 1005 813 676 57 图6至图8分别为子目标J、以及总目标= !十的进化过程收敛曲线.由前面的分析可知， 由于J在数量级上远大于↓因此体现在图6和 图8上就是总目标J的收敛曲线同子目标J的收敛 曲线极其相似，若不采用本文的方法或者文献[2一 最优值 平均值 4纠的加权系数法，而直接采用=J十作为总目标 -10 一最劣值 进行进化，则在种群进化中将会忽略J部分，导致 100 200 300 400 500 迭代步数 优化失败.由图7可以看出，本文的方法在不使 用加权系数的前提下，实现了对小、的同步优化， 图8J收敛曲线 Fg8 Convergence curvesof J 取得了很好的效果.这里为了方便对比，收敛曲线 纵坐标采用以2为底的对数坐标. 20 4结论 本文针对文献[2一4在热连轧负荷分配目标 函数处理上的不足，设计了多子群目标分段的差分 进化算法.该算法将原目标函数修改为不存在耦合 最优值A 平均值 的两个子目标函数，然后对子目标函数分别进行优 最劣值 化实现了无加权系数条件下的多目标优化.仿真 100 200 300 400 500 迭代步数 结果表明，该算法是有效的.今后要进一步对目标 函数的表达方式进行研究，以便提出更加合理的目 图6收敛曲线 标函数形式.另外，当目标函数不能够分解成互不 F琴6 Conver您nce curves of 耦合的子目标时，如何设计优化算法对其进行优化 使之更加符合现场应用，也是一个有待研究的问题. 参考文献 [I]Sun YK Modeland Contol ofHot StrPMill Beijing Mem lur -12.0w gical Indust Press 2002 一最优值 平均值 (孙一康.带钢热连轧的模型与控制.北京：治金工业出版 -12.5 --一最劣值 社，2002) 100 200 300 400 500 【】W ang Y L訕Jl,Sun YK hmure genetic akoritms(GA 迭代步数 based scheduling optmiza tion for finisher J Univ Sci Techrol Bei 图7收敛曲线 jmg2002243:339 Fg 7 Convergence airves of (王焱，刘景录，孙一康.免疫遗传算法对精轧机组负荷分配

第 11期 姚 峰等:基于多子群目标分段差分进化的多目标热连轧负荷分配 表 3 各机架相对凸度 Table3 Relativeconvexityofeverystand 方法 CR1 /h1 CR2 /h2 CR3 /h3 CR4 /h4 CR5 /h5 CR6 /h6 CR7 /h7 经验法 0.000 8 0.001 0 0.001 7 0.001 8 0.001 5 0.001 8 0.001 5 文献[ 4] 0.000 7 0.001 1 0.001 6 0.001 7 0.001 7 0.001 7 0.001 7 MSSODE法 0.000 7 0.001 1 0.001 7 0.001 6 0.001 6 0.001 6 0.001 6 表 4 各机架厚度分配 Table4 Thicknessdistributionofeverystand 方法 h1 /mm h2 /mm h3 /mm h4 /mm h5 /mm h6 /mm h7 /mm 经验法 25.49 18.53 12.65 9.54 7.84 6.52 5.70 文献[ 4] 26.19 18.20 12.82 9.75 7.87 6.60 5.70 MSSODE法 26.40 18.44 12.99 10.05 8.13 6.76 5.7 图 6至图 8分别为子目标 J1 、J2以及总目标 J= J1 +J2的进化过程收敛曲线 .由前面的分析可知, 由于 J1在数量级上远大于 J2, 因此体现在图 6和 图 8上就是总目标 J的收敛曲线同子目标 J1的收敛 曲线极其相似, 若不采用本文的方法或者文献[ 2 - 4] 的加权系数法, 而直接采用 J=J1 +J2作为总目标 进行进化, 则在种群进化中将会忽略 J2部分, 导致 J2优化失败 .由图 7可以看出, 本文的方法在不使 用加权系数的前提下, 实现了对 J1 、J2的同步优化, 取得了很好的效果.这里为了方便对比, 收敛曲线 纵坐标采用以 2为底的对数坐标 . 图 6 J1收敛曲线 Fig.6 ConvergencecurvesofJ1 图 7 J2收敛曲线 Fig.7 ConvergencecurvesofJ2 图 8 J收敛曲线 Fig.8 ConvergencecurvesofJ 4 结论 本文针对文献 [ 2 -4] 在热连轧负荷分配目标 函数处理上的不足, 设计了多子群目标分段的差分 进化算法 .该算法将原目标函数修改为不存在耦合 的两个子目标函数, 然后对子目标函数分别进行优 化, 实现了无加权系数条件下的多目标优化 .仿真 结果表明, 该算法是有效的 .今后要进一步对目标 函数的表达方式进行研究, 以便提出更加合理的目 标函数形式.另外, 当目标函数不能够分解成互不 耦合的子目标时, 如何设计优化算法对其进行优化, 使之更加符合现场应用, 也是一个有待研究的问题. 参 考 文 献 [ 1] SunYK.ModelandControlofHotStripMill.Beijing:Metallur￾gicalIndustryPress, 2002 (孙一康.带钢热连轧的模型与控制.北京:冶金工业出版 社, 2002 ) [ 2] WangY, LiuJL, SunYK.Immunegeneticalgorithms( IGA) basedschedulingoptimizationforfinisher.JUnivSciTechnolBei￾jing, 2002, 24( 3 ):339 (王焱, 刘景录, 孙一康.免疫遗传算法对精轧机组负荷分配 · 1511·

。1512 北京科技大学学报 第32卷 的优化.北京科技大学学报，200224(3：339) (吴亮红，王耀南，周少武等.双群体伪并行差分进化算法研 【[习Wang JH Xu↓YanYI,et al mproved Ps)nd its applicaton 究及应用.控制理论与应用，2007,243)：453) to bad distrbution optimization of hot strp m ills ContolDecis [7 ZhangM LuOW J W arg X F Differental evoution with dynan ic 200520(12):1379 sochastic selection r constrained optmiztin nfSci2008 178 (王建辉，徐林，闫勇亮.等.改进粒子群算法及其对热连轧机 (15片3043 负荷分配优化的研究.控制与决策，200520(12)：1379) 【8 Chiu JP Chang C E Su C T Ant direct知hybrd differnt [4 Yao E YangW D ZhangM mproved PSO and its application o evolutin pr soing您e capacior plcement probkms IE正 bad distributin optmization of hotstrp mills IUniv SciTechnol Trans Paver Syst 2004 19(4):1794 Beijng200931(8):1061 【9 W angD W.W ang JW.W ang H E Intel区entOpt tion Met (姚峰，杨卫东，张明.改进粒子群算法及其在热连轧负荷分 ads Beijing H therEducation Pess 2007 配中的应用.北京科技大学学报，200931(8片1061) (汪定伟，王俊伟，王洪峰.智能优化方法.北京：高等教育出 [5]Kae bP A liM M A numerical sudy of somemolified differential 版社，2007) evolition a pritms Eur J OperRes 2006 169(3}1176 10 Wu L H Differential Evoltion Algoritlm and Its Application [6 Wu LH W ang YN Zhou SH et a]Research and application of [Disserntian.Changsha Hunan Universit 2007 pseudo paralle l differential evolution agoritm with dual subpopu (吴亮红.差分进化算法及应用研究[学位论文」·长沙：湖 htipns ContolTh APP12007 24(3):453 南大学，2007

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