第十二章数学物理方程和定解条件 1.一长为l、横截面积为S的均匀弹性杆,已知一端(x=0)固定,另一端(x=D) 在杆轴方向上受拉力F作用而得到平衡(见图12.1).在t=0 时,撤去外力F.试列出杆的纵振动所满足的方程、边界条件 和初始条件 2.在铀块中,除了中子的扩散运动外,还存在中子的吸收 和增殖过程.设在单位时间内、单位体积中吸收和增殖的中子 数均正比于该时刻、该处的中子浓度u(r,t),因而净增中子数可表 为au(r,t),a为比例常数.试导出u(r,t)所满足的偏微分方程 3.有长为l的均匀细杆,现通过其两端、在单位时间内、经 单位面积分别供给热量q1与q2.试写出相应的边界条件 4.有一半径为a、表面涂黑的金属球,暴晒于日光下(见图 12.2),在垂直于光线的单位面积上,单位时间内吸收热量M.同 时,球面按 Newton冷却定律散热(不妨取周围介质的温度为0) 试在适当的坐标系中写出边界条件 第十三章线性偏微分方程的通解 1.求下列线性齐次偏微分方程的通解 a-u a1 0 0; a2u/c2 a +a2=0,b≠0 2.求下列线性非齐次偏微分方程的通解 ar2 dy2-+ry dy ay 3.求解偏微分方程 du dyWu Chong-shi 16 ￾ ❅ ❹ ✂ ✄✹✾✆ ✞❳❨✱éê✟✰✿❩❬ 1. ❞❭✛ l ✔❪❫■ ➓✛ S ✑✰❴❵➯❛✷❙❚ ❞❜ (x = 0) ❝✈✷❞❞❜ (x = l) ❸ 12.1 ❃❛➁▲❡✽❢❣❤ F ❼✧✐❥❥❍❦ (❧✪ 12.1) P❃ t = 0 ✼✷♠♥✭ ❤ F P❯✍☞❛✑♦♣❣qrs✑▲▼✔❲t✉✈ ✗■✇✉✈P 2. ❃①②④✷ ③④④☛✑⑤⑥⑦❣ ✭ ✷❪ ❈ ❃④☛✑⑧➫ ✗⑨⑩❶▼P❘❃❬➛✼❷➅✔❬➛❸➓④⑧➫✗⑨⑩✑④☛ ✏✰❾❹ ❺ ⑧✼❻✔⑧❄✑④☛❼❽ u(r, t) ✷✤✐❾⑨④☛✏❅✬ ✛ αu(r, t) ✷α ✛❹✡✯✏P❯❆☞ u(r, t) qrs✑❿ï◆▲▼P 3. ❶❭✛ l ✑✰❴➀❛✷➁➂❶❈♥❜✔❃❬➛✼❷ ➅✔➃ ❬➛■ ➓◆❖➄➎➅➆ q1 ➲ q2 P❯☛☞ß➇✑❲t✉✈P 4. ❶❞➝➐✛ a ✔✬■➈➉✑➊➋➌✷➍➎❺ ➏➐ ✌ (❧✪ 12.2) ✷❃➑➒❺➐⑥ ✑❬➛■ ➓✽✷❬➛✼❷➅⑧➫➅➆ M P✻ ✼✷➌ ■ ➍ Newton ➓➔✈→⑥➅ (➻➣②❤↔ ↕ ã✑➙❽✛ 0) P ❯❃➛❺✑❏❑✦④☛☞❲t✉✈P ❸ 12.2 ✄✹➊✆ ➜➝➞è➌éêë➟✿ 1. ✱✌✍⑥ ➯➠➡❿ï◆▲▼✑➂❉✚ (1) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y − 3 ∂ 2u ∂y2 = 0; (2) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y + 2 ∂ 2u ∂y2 = 0; (3) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y = 0; (4) ∂ 2u ∂t2 = c 2 r 2 ∂ ∂r  r 2 ∂u ∂r  , c 6= 0; (5) ￾ a 2 − b 2
∂ 2u ∂x2 + 2a ∂ 2u ∂x∂t + ∂ 2u ∂t2 = 0, b 6= 0; (6) ∂ 4u ∂x4 − ∂ 4u ∂y4 = 0. 2. ✱✌✍⑥ ➯➢➠➡❿ï◆▲▼✑➂❉✚ (1) ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = x 2 + xy; (2) ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂y2 = xy − x; (3) ∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y + ∂ 2u ∂y2 = x 2 + y. 3. ✱❉❿ï◆▲▼✚ (1) x 2 ∂ 2u ∂x2 − 2xy ∂ 2u ∂x∂y + y 2 ∂ 2u ∂y2 + x ∂u ∂x + y ∂y ∂y = 0;