2009年第3期 31 [(n-)x-2n-1)][(n-1)x-3n+1)]=0. ①+②得S△MG+S△BG=S△4m. 由于n丸，则 两边同加SAm得S△G=2SAm 22+ 又S网边形BE=2S△用，则 n-l SAG=S边张E 3m出=3+4 月-1 n-1 上式两边同减SA:得 因为原方程至少有一个整数根，且n为 S△G=S△因D 整数，所以，n-1=士，2 ,4 因此，GD∥BE 解得n=2,0,3,-1,5,-3 故∠PGD=∠GPE=90°.∠APE 故所有n值的和为6. =90°.（∠ABP+∠BAP) 4.2 =90°.（∠ABC+∠BAC) 如图6，在△BC中 ∠4CB=90°，令∠A=a.则 =支ACB=∠cP 于是，C、D、P、G四点共圆 则∠ACB=∠APG=90 由己知及勾股定理得 三取任一排列将其分为10组每组20 3a+4业=5 个数.令A1-(b,h,…,b),d=(b,b 图6 a+62=2 ,b0),…,A0=（b1,b,…,bw） 解得a=,b=5故ana=-子 取10组数的平均值 瑞=1+2++200=2010. 10 第二试 显然A1,山2，，A中至少有一个不小 一、不妨设d2+6.c2<0.则c丸 于谦此时，总可找到连续20个数之和不小 构造关于1的二次函数，记 于2010. m=(a+6-7+2m+-c1+(2+2. 下面构造一个12，…200的排列，使任 则二次函数m的图像开口向下.注意到 意连续20个数之和不大于2010 m=(am+x)2+(b+) -(c+)i 构造一个10×20的数表：将200,199 取1=.三，于是，m0 ,101依次放在前面的1010数表中（大数 故二次函数m的图像与x轴有交点 在小数的左（上）侧)，将1,2，…，100依次放 则△=4(m+b-c)2-4(a+6.c)· 在后面的10×10数表中（小数在大数的右 (上)侧) (x2+y2-2)丸， (+cd+.2+广 将此数表的数从左到右、从上到下排成 二、如图7过P 一列，即为满足题设要求的排列（任意连续 作GH⊥AP分别交 20个数之和为2010-10(1=0,1，…，10)之 AC、AB于G、H,联 结GB、GD、CP.易 故a的最大值为2010. 注：此题证明中的构造性部分由本编辑 △MPG≌APH 图 部的宋强老师提供 有GP=HP. (李 明 安徽省五河县第三中学 于是，S△4E=S△4H ①233300尤登明安徽省五河县双庙职业中 S△e=S△sPH ② 学，233300) 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://ww.cnki.ne© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net [ ( n - 1) x - (2n - 1) ][ ( n - 1) x - (3n +1) ] =0. 由于 n ≠1 ,则 x1 = 2 n - 1 n - 1 = 2 + 1 n - 1 , x2 = 3 n + 1 n - 1 = 3 + 4 n - 1 . 因为原方程至少有一个整数根 ,且 n 为 整数 ,所以 , n - 1 = ±1 , ±2 , ±4. 解得 n = 2 ,0 ,3 , - 1 ,5 , - 3. 故所有 n 值的和为 6. 4. 3 4 . 图 6 如 图 6 , 在 △ABC 中 , ∠ACB = 90°,令 ∠A =α. 则 sinα= a c ,cosα= b c . 由已知及勾股定理得 3 a c + 4 b c = 5 , a 2 + b 2 = c 2 . 解得 a = 3 c 5 , b = 4 c 5 . 故 tan α= a b = 3 4 . 第 二 试 一、不妨设 a 2 + b 2 - c 2 < 0. 则 c ≠0. 构造关于 t 的二次函数 ,记 m = ( a 2 + b 2 - c 2 ) t 2 +2( ax + by - cz) t + ( x 2 + y 2 - z 2 ). 则二次函数 m 的图像开口向下. 注意到 m = ( at + x) 2 + ( bt + y) 2 - ( ct + z) 2 . 取 t = - z c ,于是 , m ≥0. 故二次函数 m 的图像与 x 轴有交点. 则Δ= 4( ax + by - cz) 2 - 4( a 2 + b 2 - c 2 )· ( x 2 + y 2 - z 2 ) ≥0 , 即 ( ax + by - cz) 2 ≥( a 2 + b 2 - c 2 ) ( x 2 + y 2 - z 2 ) . 图 7 二、如图 7 ,过 P 作 GH ⊥AP ,分别交 AC、AB 于 G、H , 联 结 GB 、GD、CP. 易 知 △APG ≌APH , 有 GP = HP. 于是 , S △APG = S △APH , ① S △BPG = S △BPH . ② ①+ ②得 S △APG + S △BPG = S △APB . 两边同加 S △APB得 S △ABG = 2 S △APB . 又 S四边形ABDE = 2 S △APB ,则 S △ABG = S四边形ABDE . 上式两边同减 S △ABE得 S △EBG = S △EBD . 因此 , GD ∥B E. 故 ∠PGD = ∠GPE = 90°- ∠APE = 90°- ( ∠AB P + ∠BAP) = 90°- 1 2 ( ∠ABC + ∠BAC) = 1 2 ∠ACB = ∠DCP. 于是 , C、D、P、G 四点共圆. 则 ∠ACB = ∠APG = 90°. 三、取任一排列 ,将其分为 10 组 ,每组 20 个数. 令 A1 = ( b1 , b2 , …, b20 ) ,A2 = ( b21 , b22 , …, b40 ) , …,A10 = ( b181 , b182 , …, b200 ) . 取 10 组数的平均值 珔A = 1 + 2 + …+ 200 10 = 2 010. 显然 A1 , A2 , …, A10 中至少有一个不小 于珔A . 此时 ,总可找到连续 20 个数之和不小 于 2 010. 下面构造一个 1 ,2 , …,200 的排列 ,使任 意连续 20 个数之和不大于 2 010. 构造一个 10 ×20 的数表 :将 200 ,199 , …,101 依次放在前面的 10 ×10 数表中(大数 在小数的左 (上) 侧) ,将 1 ,2 , …,100 依次放 在后面的 10 ×10 数表中 (小数在大数的右 (上) 侧) . 将此数表的数从左到右、从上到下排成 一列 ,即为满足题设要求的排列 (任意连续 20 个数之和为 2 010 - 10 i ( i = 0 ,1 , …,10) 之 一) . 故 a 的最大值为 2 010. 注 :此题证明中的构造性部分由本编辑 部的宋强老师提供. (李 明 安徽省五河县第三中学 , 233300 尤登明 安徽省五河县双庙职业中 学 ,233300) 2009 年第 3 期 37