36 中等数学 设f(x)=m2+bx+c(a) 在△PBD中，由PQ⊥BD得BQ=DQ 由己知得 故AC+AQ=A0+AD=DQ=BQ f(-2)=4a-2b+c■1 二1.48. f2)=4a+2b+c=2 注意到 解得b=,c=子-4a 66…67…88…8 又x()(2+4)对一切实数x均 成立则 .82000=a m2+(b.1)x+c闭 由于的路位数之和 及(a-)2+m+(c-)可 100%+100灯+968+2=2070 对一切实数x均成立 能被9整除，于是，a能被9整除；又a的末 三位数能被8整除，则a又能被8整除.而8 若a=4,则c=之，此时，4x之0 与9互质，因此，a能被89=2整除.故原 对一切实数x不成立所以，。 数除以72的余数是48. 2.180° a>0. 如图5，分别过A (b-1)2.4a0 D作AE⊥BC于E、DF 有a-<0， ⊥BC于F则 BE=EC=BC 8a(c 图5 ∠CAE=∠BAC 考虑到b=寸，c=子4a,解不等式组 且四边形AEFD是矩形 在△BCD中.由BC=BD得∠BCD= 得a=居 ∠BDC,均为锐角所以，点F在线段EC上 当6=，=2时，c= 在△BCD中，由 DE LBC得 BD-BF=DF=CD-CF 故)-活+x+子 即BC2.(BC.C2=CD2.CF 将上式化简得 从而④=兴 CF=2BC=2+1)CD B.CD 2 6. 如图4，延长Q4到点D,使AD=AC,联 故AD=EF=EC.CF 结PA、PB、PC、PD.则 .blo-o PC=PB 于是，∠DAC=∠ACD ∠PBC=∠PCE 义∠DMC=∠ACB,则 =∠PAB 故∠PAC AB=∠Am=BCD=∠BDC =180°-∠PBC 又在R:△4FC中 =180° ∠PCB ∠CAE+∠ACB=90 =180°. ∠PAB=∠PAD 故∠BAC+∠BDC=180° 于是，△PAC≌△PAD,有PC=PD 3.6. 从而，PB=PD. 将方程左边分解得 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 设 f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ≠0) . 由已知得 f ( - 2) = 4 a - 2 b + c = 1 , f (2) = 4 a + 2 b + c = 2. 解得 b = 1 4 , c = 3 2 - 4 a. 又 x ≤f ( x) ≤1 4 ( x 2 + 4)对一切实数 x 均 成立 ,则 ax 2 + ( b - 1) x + c ≥0 及 ( a - 1 4 ) x 2 + bx + ( c - 1) ≤0 对一切实数 x 均成立. 若 a = 1 4 ,则 c = 1 2 ,此时 , 1 4 x - 1 2 ≤0 对一切实数 x 不成立. 所以 , a ≠1 4 . 有 a > 0 , ( b - 1) 2 - 4 ac ≤0 , a - 1 4 < 0 , b 2 - 4 a - 1 4 ( c - 1) ≤0. 考虑到 b = 1 4 , c = 3 2 - 4 a ,解不等式组 得 a = 3 16 . 当 b = 1 4 , a = 3 16 时 , c = 3 4 . 故 f ( x) = 3 16 x 2 + 1 4 x + 3 4 . 从而 ,f (4) = 19 4 . 6.B. 如图 4 ,延长 QA 到点 D ,使 AD = AC ,联 图 4 结 PA、PB 、PC、PD. 则 PC = PB , ∠PBC = ∠PCB = ∠PAB . 故 ∠PAC = 180°- ∠PBC = 180°- ∠PCB = 180°- ∠PAB = ∠PAD. 于是 , △PAC ≌△PAD ,有 PC = PD. 从而 , PB = PD. 在 △PBD 中 ,由 PQ ⊥BD 得 BQ = DQ. 故 AC + AQ = AQ + AD = DQ = BQ. 二、1. 48. 注意到 66 …6 100个 77 …7 100个 88 …8 100个 = 66 …6 100个 77 …7 100个 88 …8 96个 2000 + 72 ×95 + 48. 令66 …6 100个 77 …7 100个 88 …8 96个 2000 = a. 由于 a 的各位数字之和 100 ×6 + 100 ×7 + 96 ×8 + 2 = 2 070 能被 9 整除 ,于是 , a 能被 9 整除 ;又 a 的末 三位数能被 8 整除 ,则 a 又能被 8 整除. 而 8 与 9 互质 ,因此 , a 能被 8 ×9 = 72 整除. 故原 数除以 72 的余数是 48. 2. 180°. 图 5 如图 5 ,分别过 A 、 D 作 AE ⊥BC 于 E、DF ⊥BC 于 F. 则 B E = EC = 1 2 BC , ∠CAE = 1 2 ∠BAC , 且四边形 AEFD 是矩形. 在 △BCD 中 ,由 BC = BD 得 ∠BCD = ∠BDC ,均为锐角 ,所以 ,点 F 在线段 EC 上. 在 △BCD 中 ,由 DF ⊥BC 得 BD 2 - B F 2 = DF 2 = CD 2 - CF 2 , 即 BC 2 - ( BC - CF) 2 = CD 2 - CF 2 . 将上式化简得 CF = CD 2 2BC = CD 2 2 ( 2 + 1) CD = 2 - 1 2 CD. 故 AD = EF = EC - CF = 2 + 1 2 CD - 2 - 1 2 CD = CD. 于是 , ∠DAC = ∠ACD. 又 ∠DAC = ∠ACB ,则 ∠ACB = ∠ACD = 1 2 ∠BCD = 1 2 ∠BDC. 又在 Rt △AEC 中 , ∠CAE + ∠ACB = 90°. 故 ∠BAC + ∠BDC = 180°. 3. 6. 将方程左边分解得 36 中 等 数 学