2009年第3期 2.在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AC, BC=BD=(5+1)CD.则∠BAC+∠BDC 的度数为 .已知n为整数，且关于x的一元二次 方程 (n-)2x2-5n(n-)x+(62-n-)=0 至少有一个整数根.则所有n值的和为一 .己知a为锐角，且3sina+4oosa=5 则tan 图1 3.D 第二试 若红球摸出999个，黑球摸出999个，黄 一(20分)己知实数a、b、c、 球摸出10个，此时共摸出999义+10=2008 足d+6 个，没有1000个颜色相同. 负数.求证： 根据抽屉原理，至少摸出2009个可保 (ax+by c+6.)(x2+.」 证摸出的球有1000个颜色相同。 二(25分)在△4BC中，∠A、∠B的平 4.C 分线AD、BE交于点P.若S四边形e=2S△4m 如图3，过E 求证：∠ACB=90 作MLAC于M 三、(25分)在1,2，…200的任意一个排 列中，总可找到连续20个数之和不小于a. 延长BM交B于B 求a的最大值 N,联结DN.则M 是AC的中点，且 参考答案 N∥CB.所以，N 第一试 是AB的中点.于是，DN⊥AB -1.B 又∠EAW=∠D4M=60°+30°=90°，得 已知得+2-5，即+宁-7 AE∥DN,AD∥E 所以，四边形ADNE是平行四边形 整理得x+1=72 因此，AG=4N=AB DG+D 令BC=a.则 (x2+1)(x+1) AD-AB=2a.AE-AC-a,4G-a ..2++.【++ +】 (x+)2.2x 在RI△MEM中 Aw=寸Ac=9a,BM=子a 49r.2 2.D 由AD∥EM得△4FD∽△MFE 由于点A在第一象限，点B在第二象 限，于是，过A、B作AB的垂线与x轴一定有 则点-品即出a 4D 两个交点，与y轴最多有两个交点，最少有0 个交点：以AB为直径作圆与y轴一定有两 所以4r光-29。 个交点，与x轴最多有两个交点，最少有0个 交点.如图1及图2 故 可知a=8,b=4.故a+b=12 5. C 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All righits reserved.http://ww.cnki.ne© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 2. 在梯形 ABCD 中 , AD ∥BC , AB = AC , BC = BD = ( 2 + 1) CD. 则 ∠BAC + ∠BDC 的度数为 . 3. 已知 n 为整数 ,且关于 x 的一元二次 方程 ( n - 1) 2 x 2 - 5n ( n - 1) x + (6n 2 - n - 1) =0 至少有一个整数根.则所有 n 值的和为 . 4. 已知α为锐角 ,且 3sin α+ 4cos α= 5. 则 tan α= . 第 二 试 一、(20 分) 已知实数 a、b、c、x、y、z 满 足 a 2 + b 2 - c 2 与 x 2 + y 2 - z 2 至少有一个为 负数. 求证 : ( ax + by - cz) 2 ≥( a 2 + b 2 - c 2 ) ( x 2 + y 2 - z 2 ) . 二、(25 分) 在 △ABC 中 , ∠A 、∠B 的平 分线AD、B E 交于点 P. 若 S四边形ABDE = 2 S △APB , 求证 : ∠ACB = 90°. 三、(25 分) 在 1 ,2 , …,200 的任意一个排 列中 ,总可找到连续 20 个数之和不小于 a. 求 a 的最大值. 参 考 答 案 第 一 试 一、1.B. 由已知得 x 2 + 1 x 2 - 2 = 5 ,即 x 2 + 1 x 2 = 7. 整理得 x 4 + 1 = 7 x 2 . 故原式 = ( x 6 + 1) ( x 4 + 1) ( x 2 + 1) ( x 8 + 1) = ( x 2 + 1) ( x 4 - x 2 + 1) ( x 4 + 1) ( x 2 + 1) ( x 8 + 1) = ( x 4 - x 2 + 1) ( x 4 + 1) x 8 + 1 = [ ( x 4 + 1) - x 2 ]( x 4 + 1) ( x 4 + 1) 2 - 2 x 4 = (7 x 2 - x 2 ) 7 x 2 49 x 4 - 2 x 4 = 42 x 4 47 x 4 = 42 47 . 2. D. 由于点 A 在第一象限 ,点 B 在第二象 限 ,于是 ,过 A 、B 作 AB 的垂线与 x 轴一定有 两个交点 ,与 y 轴最多有两个交点 ,最少有 0 个交点 ;以 AB 为直径作圆与 y 轴一定有两 个交点 ,与 x 轴最多有两个交点 ,最少有 0 个 交点. 如图 1 及图 2. 可知 a = 8 , b = 4. 故 a + b = 12. 图 1 图 2 3. D. 若红球摸出 999 个 ,黑球摸出 999 个 ,黄 球摸出 10 个 ,此时共摸出 999 ×2 + 10 = 2 008 个 ,没有 1 000 个颜色相同. 根据抽屉原理 ,至少摸出 2 009 个可保 证摸出的球有 1 000 个颜色相同. 4. C. 图 3 如 图 3 , 过 E 作 EM ⊥AC 于 M , 延长 EM 交 AB 于 N ,联结 DN. 则 M 是 AC 的 中 点 , 且 MN ∥CB . 所以 , N 是 AB 的中点. 于是 , DN ⊥AB . 又 ∠EAN = ∠DAM = 60°+ 30°= 90°,得 AE ∥DN ,AD ∥EN. 所以 ,四边形 ADNE 是平行四边形. 因此 ,AG = 1 2 AN = 1 4 AB . 令 BC = a. 则 AD = AB = 2 a ,AE = AC = 3 a ,AG = 1 2 a. 在 Rt △AEM 中 , AM = 1 2 AC = 3 2 a , EM = 3 2 a. 由 AD ∥EM 得 △AFD ∽ △MFE. 则 AF FM = AD EM ,即 AF AM = AD EM + AD . 所以 ,AF = AD·AM EM + AD = 2 3 7 a. 故 AF AG = 4 3 7 . 5. C. 2009 年第 3 期 35