2006年第7期 大众科技 No.7,2006 (总第93期) DA ZHONG KE JI Cum ultively No.93) 数学期望的应用举例 郭立娟，张野 (长沙航空职业技术学院，湖南长沙410124) 【摘要】数学期望是随机变量的重要数字特征之一。文章通过等式和不等式的证明、效益与利润和疾病普查的例子，阐述数 学期望在数学其他分支和实际问题中的广泛应用。 【关键词】随机变量：数学期望：应用 【中图分类号】0211.9 【文献标识码】A 【文章编号】1008-11512006)07-0169-02 知识来源于人类的实践活动，又反过来运用到改造世界 设是一随机变量，Ea,b)Kco≤a<b≤+∞) 的实践活动中，其价值也就在于此。教师在教授概率论的理论 第一，设y=f),x∈，b)是连续的上凹函数，若E和Ef(国 知识的时候，若能结合学生所学专业举出相应的实例，不仅可 存在，则：E(E(): 以极大地调动学生学习的积极性，而且让学生了解知识与人 第二，设y=f),x∈6，b以，是连续的下凹函数，若E5和Ef 类实践紧密联系的丰富底蕴，使学生切身体会到“数学的确有 (⊙存在，则：E(9)fE(). 用”。本文通过探讨数学期望这一随机变量的重要数字特征在 从上面的例题可以看出，有时应用数学期望的性质和计 数学其他分支和实际问题中的一些应用以期起到抛砖引玉的 算证明等式或不等式，比运用代数方法证明要简单明了。数学 作用。 期望为数学的不同分支之间架起了桥梁。 一、数学期望在数学其他分支中的应用 二、数学期望在实际问题中的应用 例1证明组合等式2kc=na+2。 (一)在效益、利润等经济问题中的应用 证明：概率模型法 例3某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方 在贝努利横型中，以X表示次试验中A出现的次数，则| 案：一是购买股票：二是存入银行获取利息。买股票的收益取决 PX =k)=Cp"(1-p)-* (k=0,1,2,…,n) 于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1 设X=第次中A出现 万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%， Q,第次中A不出现 可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、 50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？ 则X=X+X+…X,EX=np,DX=np(l-p) 解：由题设可知，在经济形势好和中等的情况下，购买股 所以EX(X)=(EX)P+DX=(np)P+np1-p)=np(p+1-p) 票是合算的：但如果经济形势不好，那么采取存银行的方案合 又x)=∑k2cp*0-pt 算。然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较两种投资 方案获利的期望大小。 .EX2)=Zk'Cap*(I-p)k=op(p+1-p) 购买股票的获利期望是E=40.3+1A.5+(-2)0.2=1.3 (万元) 取p=号有2ca-马=1- 存入银行的获利期望是E=0.8(万元) 因为E>E,所以购买股票的期望收益比存入银行的期望 故2c5=a+2 证毕 贸2设的n址四西数则（岂ea,。 收益大，应采用购买股票的方案。 例4按节气出售的某种节令商品，每售出1公斤可获利 证明：设连续随机变量X的概率德度为 a元，过了节气处理剩余的这种商品，每售出1公斤净亏损b 「1 B(x)=b-a asxsb 元。设某店在季度内这种商品的销量X是一随机变量，X在区 间(，)内服从均匀分布。为使商店所获利润的数学期望最 {0其它 大，问该店应进多少货？ 则x-g国=子女生 2 解：设t(单位：公斤)表示进货数t≤≤，进货t所获利润 记为Y,则Y是随机变量， 而球(-e因a-点-，在a a-t-061≤X<t Y= 由詹森Jensen)不等式知 t<Xst 证毕 1 注：房森0 ensn)不等式 X的概率密度为x)= (下转第181页) D,其它 【收稿日期12006-03-22 【作者简介】郭立娟(1978-)，女，湖北武汉人，长沙航空职业技术学院助教，中南大学硕士研究生，研究方向：保险精算与风险理论。 -169- 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net数学期望的应用举例 郭立娟, 张 野 ( 长沙航空职业技术学院, 湖南 长沙 410124) 【摘 要】数学期望是随机变量的重要数字特征之一。文章通过等式和不等式的证明、效益与利润和疾病普查的例子, 阐述数 学期望在数学其他分支和实际问题中的广泛应用。 【关键词】随机变量; 数学期望; 应用 【中图分类号】O211.9 【文献标识码】A 【文章编号】1008- 1151(2006)07- 0169- 02 大 众 科 技 DA ZHONG KE JI 2006年第 7 期 ( 总第 93 期) No.7, 2006 (Cumulatively No.93) 知识来源于人类的实践活动, 又反过来运用到改造世界 的实践活动中, 其价值也就在于此。教师在教授概率论的理论 知识的时候, 若能结合学生所学专业举出相应的实例, 不仅可 以极大地调动学生学习的积极性, 而且让学生了解知识与人 类实践紧密联系的丰富底蕴, 使学生切身体会到“数学的确有 用”。本文通过探讨数学期望这一随机变量的重要数字特征在 数学其他分支和实际问题中的一些应用以期起到抛砖引玉的 作用。 一、数学期望在数学其他分支中的应用 例 1 证明组合等式 。 证明: 概率模型法 在贝努利模型中, 以 X 表示 n 次试验中 A 出现的次数, 则 ( k=0, 1, 2, …, n) 设 则 X=X1+X2+…Xn, EX=np, DX=np(1- p) 所以 EX( X2) =( EX) 2 +DX=( np) 2 +np(1- p)=np(np+1- p) 又 ∴ 取 有 故 证毕 例 2 设 f(x)是[a, b]上凹函数, 则 。 证明: 设连续随机变量 X 的概率密度为 则 而 由詹森(Jensen)不等式知 证毕 注: 詹森(Jensen)不等式 设是一随机变量, ξ∈(a, b)(- ∞≤a<b≤+∞) 第一, 设 y=f(x), x∈(a, b)是连续的上凹函数, 若 Eξ和 Ef(ξ) 存在, 则: E(f(ξ))f(E(ξ)); 第二, 设 y=f(x), x∈(a, b), 是连续的下凹函数, 若 Eξ和 Ef (ξ)存在, 则: E(f(ξ))f(E(ξ))。 从上面的例题可以看出, 有时应用数学期望的性质和计 算证明等式或不等式, 比运用代数方法证明要简单明了。数学 期望为数学的不同分支之间架起了桥梁。 二、数学期望在实际问题中的应用 ( 一) 在效益、利润等经济问题中的应用 例 3 某人用 10 万元进行为期一年的投资, 有两种投资方 案: 一是购买股票; 二是存入银行获取利息。买股票的收益取决 于经济形势, 若经济形势好可获利 4 万元, 形势中等可获利 1 万元, 形势不好要损失 2 万元。如果存入银行, 假设利率为 8%, 可得利息 8000 元, 又设经济形势好、中、差的概率分别为 30%、 50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大? 解: 由题设可知, 在经济形势好和中等的情况下, 购买股 票是合算的; 但如果经济形势不好, 那么采取存银行的方案合 算。然而现实是不知道哪种情况会出现, 因此要比较两种投资 方案获利的期望大小。 购买股票的获利期望是 E1=4×0.3+1×1.5+( - 2) ×0.2=1.3 ( 万元) 存入银行的获利期望是 E2=0.8( 万元) 因为 E1>E2, 所以购买股票的期望收益比存入银行的期望 收益大, 应采用购买股票的方案。 例 4 按节气出售的某种节令商品, 每售出 1 公斤可获利 a 元, 过了节气处理剩余的这种商品, 每售出 1 公斤净亏损 b 元。设某店在季度内这种商品的销量 X 是一随机变量, X 在区 间( t1, t2) 内服从均匀分布。为使商店所获利润的数学期望最 大, 问该店应进多少货? 解: 设 t( 单位: 公斤) 表示进货数 t1≤t≤t2, 进货 t 所获利润 记为 Y, 则 Y 是随机变量, X 的概率密度为 ( 下转第 181 页) 【收稿日期】2006- 03- 22 【作者简介】郭立娟(1978- ), 女, 湖北武汉人, 长沙航空职业技术学院助教, 中南大学硕士研究生, 研究方向: 保险精算与风险理论。 - 169-