或PK-4<≥1-a 二协方差及相关系数 1定义称E[X-E(X)[Y-E(Y)]}为随机变量X与Y的协方差。记为Cov(X,Y), Cov(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)] Cov(X,Y) 而P灯= 称为随机变量X与Y的相关系数。 D(X)DOY) 2协方差的性质 (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X) (2)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 我们常用这一式子计算协方差。 (3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) (4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) 3相关系数的性质 (1)Px≤1 (2)P=1的充要条件是，存在常数a,b,使PY=a+bX=1 P的大小表征着X与Y的线性相关程度。当Pg较大时，则X与Y的线性相关 程度较好：当Pg较小时，则X与Y的线性相关程度较差。 当Pg=0时，称X与Y不相关。 当X与Y相互独立时，X与Y不相关。反之，若X与Y不相关，X与Y却不一定 相互独立 例6箱子中有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子中取一件产品，共取两次。定 义随机变量X、Y如下： 0若第一次取出正品 0若第二次取出正品 X= Y= 1若第一次取出次品 若第二次取出次品 求下面两种情形下的协方差与相关系数： 放回抽样： (2 )不放回抽样。 解 (1)写出联合分布律为： P.i 25 5 5 36 36 6 5 1 1 36 36 6 6 6 E(X)=0x +1x1 6 66 或   2 2 P X 1     −   − 二 协方差及相关系数 1 定义 称 E X E X Y E Y {[ ( )][ ( )]} − − 为随机变量 X 与 Y 的协方差。记为 Cov X Y ( , ) , 即 Cov X Y ( , ) ＝ E X E X Y E Y {[ ( )][ ( )]} − − 而 ( , ) ( ) ( ) XY Cov X Y D X D Y  = 称为随机变量 X 与 Y 的相关系数。 2 协方差的性质 （1） Cov X Y ( , ) ＝Cov Y X ( , ) ,Cov X X D X ( , ) ( ) = （2） Cov X Y E XY E X E Y ( , ) ( ) ( ) ( ) = − 我们常用这一式子计算协方差。 （3） Cov aX bY abCov X Y ( , ) ( , ) = （4） Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z ( , ) ( , ) ( , ) + = + 3 相关系数的性质 （1） 1  XY  （2） 1  XY = 的充要条件是，存在常数 a b, ，使 P Y a bX { } 1 = + =  XY 的大小表征着 X 与 Y 的线性相关程度。当  XY 较大时，则 X 与 Y 的线性相关 程度较好；当  XY 较小时，则 X 与 Y 的线性相关程度较差。 当 0  XY = 时，称 X 与 Y 不相关。 当 X 与 Y 相互独立时， X 与 Y 不相关。反之，若 X 与 Y 不相关， X 与 Y 却不一定 相互独立。 例6 箱子中有 12 件产品，其中 2 件是次品，每次从箱子中取一件产品，共取两次。定 义随机变量 X 、Y 如下： 0 1 X  =   若第一次取出正品 若第一次取出次品 0 1 Y  =   若第二次取出正品 若第二次取出次品 求下面两种情形下的协方差与相关系数： （1） 放回抽样； （2）不放回抽样。 解 （1）写出联合分布律为： Y X 0 1 j p 0 25 36 5 36 5 6 1 5 36 1 36 1 6 i p 5 6 1 6 5 1 1 ( ) 0 1 6 6 6 E X ＝  +  ＝