则称，点5是齐次线性方程组的一个基础解系。 下面给出齐次线性方程组(2)的解的解构定理 定理 n元齐次线性方程组Ax=0,当其系数矩阵的秩)-r<n时，则方程组的基础解 系存在，且基础解系中含有m-,个解向量。 若，.，n,是方程组4nm=0的基础解系，则4i=0的通解为 S=行=ki++kEk,kn∈}。 例1求解方程组 3-2-2x4=0 25+2x-51-E4=0 提示：由定理4.3的证明过程得知，求解齐次方程组的基础解系，只需对系数矩阵进行 行的初等变换，对齐次线性方程组中的自由未知量只需取单位向量，比如，自由未知量的个 数为s个，则基础解系中解的个数就有s个。 例2问2取何值时，齐次线性方程组 。0有非零解 -4+8,+2+2=0 提示：由推论1知，系数矩阵是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件为系数行列式 等于零 例3设A是n阶方阵，证明r4=4。 提示：欲证明(4)=(4)，只需证明x=0与4x=0同解。 总结本次课所讲主要内容 判断向量组的线性相关性，可以把向量组表示成矩阵形式，当矩阵A的秩为r时，A的不为 零的r阶子式所在的行构成矩阵A的行向量组的一个几个极大线性无关组，所在的列构成A 的列向量组的 个极大线性无关组。任何+1阶子式都为零，所在的行向量一定线性相关 所在的列向量组一定线性相关。16 则称   s , , , 1 2  是齐次线性方程组的一个基础解系。 下面给出齐次线性方程组（2）的解的解构定理 定理 n 元齐次线性方程组 0   Amn x = ，当其系数矩阵的秩 R(A) = r  n 时，则方程组的基础解 系存在，且基础解系中含有 n − r 个解向量。 若    n−r     , , , 1 2 是方程组 0   Amn x = 的 基 础 解 系 ， 则 0   Amn x = 的通解为 { , , } S = x = k1 1 + + k n−r k1  kn−r  R       。 例 1 求解方程组        + − − = − − = − + − = − + − = 2 2 5 0 3 2 2 0 5 4 4 4 0 2 3 0 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x 提示：由定理 4.3 的证明过程得知，求解齐次方程组的基础解系，只需对系数矩阵进行 行的初等变换，对齐次线性方程组中的自由未知量只需取单位向量，比如，自由未知量的个 数为 s 个，则基础解系中解的个数就有 s 个。 例 2 问  取何值时，齐次线性方程组      − + + + = + + = − − = 4 8 ( 2) 0 4 ( 1) 0 ( 3) 0 1 2 3 1 2 1 2 x x x x x x x    有非零解。 提示：由推论 1 知，系数矩阵是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件为系数行列式 等于零。 例 3 设 A 是 n 阶方阵，证明 ( ) ( ) +1 = n n r A r A 。 提示：欲证明 ( ) ( ) +1 = n n r A r A ，只需证明 A x = 0 n 与 0 1 = + A x n 同解。 总结本次课所讲主要内容 判断向量组的线性相关性，可以把向量组表示成矩阵形式，当矩阵 A 的秩为 r 时，A 的不为 零的 r 阶子式所在的行构成矩阵 A 的行向量组的一个几个极大线性无关组，所在的列构成 A 的列向量组的一个极大线性无关组。任何 r+1 阶子式都为零，所在的行向量一定线性相关， 所在的列向量组一定线性相关