第3期 林海波，等：改进高斯核函数的人体姿态分析与识别 ·439. 式(1)约束于式(2)。其中，2/‖w‖为分类间隔， (8) b为常数，C为惩罚系数，专：是松弛因子。 通常求解式(1)时采取其拉格朗日对偶问题的 下面证明该核函数是一个有效的核函数。首先 方法： 给出核函数T(v,)的表达式： max∑a:-2之，ayyΦ(v,V)} (3) T(听，)=exp (9) 式中：0≤a:≤C,∑y:=0,i=1,2,…,n, 由于(8)是由(9)演变而来，要证明④(v,)有效， 中(，)为核函数。其决策函数f(v)描述为 首先需要证明T(v,)的有效性。由于任意球面 2点间的测地线距离构成核矩阵[8(，)]满足 f(v)=∑ayΦ(w,v)+b (4) Gram矩阵的条件，因此[δ(vi,y)]是一个Gram矩 m=1 式中：N为训练样本集中所有类别样本的总个数， 阵。根据条件正定核（简称CPD核）的定义，采用 v∈R";y∈{+1，-1}，当样本v属于第i类c 文献[10]给出的判定依据，可以证明T(,)满 时，其类别表示y。=+1,否则y=-1;a。为拉格朗 足条件正定核定义，是一个有效核函数。根据核函 日系数；④(v,v)为姿态核函数；b为分类阀值：v 数的封闭性质[川，很容易得出Φ(，)也是一个 为待分类目标的特征量。 有效的核函数。 2.1改进高斯核模型的姿态核函数选取 2.2多类支持向量机的构建 采用核函数的作用是简化映射空间中的内积运 SVM最初仅用于实现2类问题的分类，要实现 算，将非线性的训练数据隐式映射到高维空间，而不 12种人体姿态的多类分类，需要对标准SVM进行 增加可调参数的个数。在常用的核函数中，高斯函 扩展，将多个标准SVM以某种方式组织在一起，构 数因其优越性能引起人们的关注。高斯函数的表达 建多类支持向量机。目前构建MSVM的方法主要 式为 有一对一、一对多方法、导向无环图和二叉树)。 Φ(,v)=exp ‖v-v 鉴于二叉树设计方法的诸多优点，采用决策二叉树 2o2 (5) 的多类分类器设计方法，如图4所示。 式中：v,v∈R是样本点，σ>0是核半径，‖v- v‖表示空间中任一点v到某一中心v之间的欧氏 类别1,2，…， 距离。然而本文人体姿态描述的是多个关节在各 SVM 类别23，…，k 自球面坐标下的关节角，样本点和测试点之间的欧氏 类别1 SVM2 距离并不能完全反应它们之间的位置关系。针对人 类别3.4.…， 体关节运动的特点，采用球面上的测地线距离能够更 类别2 加准确地反映各个关节运动。因此，基于高斯核模 SVM 型，在高斯径向基核函数中使用测地线距离代替欧氏 距离构造姿态核函数。 类别k-1 类别k 假设给出2个球面上的点v=(0:,9:),= 图4二叉树的多类分类器框架 (0,9),则这2点间的测地线距离8(v,)为 Fig.4 The multi-class classifier framework of binary tree (,)= 在二叉树结构中，根据决策半径构造二叉树各 arccos(sin 0sin cos 0cos 0cosl-) 内节点的最优超平面，即从根节点开始，沿树的路径 (6) 依次得到的类别标签为1,2，，k。二叉树各内节 令v,是2个姿态特征向量，对于关节点l, 点的分类算法流程如下：1)以第1类样本为正样本 δ(v,)表示的是该关节点2种姿态描述下构成 集，其他类样本为负样本集，构造二值分类器，将1 点对之间的测地线距离。取9个关节点的测地线距 类从样本集中剔除：2)以第2类样本为正样本集， 离的平方和，记为 其他类样本为负样本集，构造第2个内节点处的二 A4,)=8[84.)1 (7) 值分类器，将2类从样本集中别除；3)依次下去，可 以得到基于二叉树的多类支持向量机分类器。 最后参照高斯核模型，得到姿态核函数：式（１）约束于式（２）。 其中， ２ ／ ‖ｗ‖ 为分类间隔， ｂ 为常数， Ｃ 为惩罚系数， ξｉ 是松弛因子。 通常求解式（１）时采取其拉格朗日对偶问题的 方法： ｍａｘ αｉ ｛∑ｉ αｉ － １ ２ ∑ｉ，ｊ αｉαｊ ｙｉ ｙｊΦ（υ ｉ ，υ ｊ ）｝ （３） 式中： ０ ≤ αｉ ≤ Ｃ， ∑ｉ αｉ ｙｉ ＝ ０， ｉ ＝ １，２，…，ｎ ， Φ（υ ｉ ，υ ｊ ） 为核函数。 其决策函数 ｆ ｉ （υ） 描述为 ｆ ｉ （υ） ＝ ∑ Ｎ ｎ ＝ １ α ｉ ｎ ｙ ｉ ｎΦ（υ ｉ ，υ） ＋ ｂ （４） 式中： Ｎ 为训练样本集中所有类别样本的总个数， υ ｉ ∈ Ｒ ｎ ； ｙ ｉ ｎ ∈ ｛ ＋ １， － １｝ ，当样本 υ ｉ 属于第 ｉ 类 ｃ ｉ 时，其类别表示 ｙ ｉ ｎ ＝ ＋ １，否则 ｙ ｉ ｎ ＝ － １； α ｉ ｎ 为拉格朗 日系数； Φ（υ ｉ ，υ） 为姿态核函数； ｂ 为分类阀值； υ 为待分类目标的特征量。 ２．１ 改进高斯核模型的姿态核函数选取 采用核函数的作用是简化映射空间中的内积运 算，将非线性的训练数据隐式映射到高维空间，而不 增加可调参数的个数。 在常用的核函数中，高斯函 数因其优越性能引起人们的关注。 高斯函数的表达 式为 Φ（υ ｉ ，υ） ＝ ｅｘｐ － ‖ υ ｉ － υ‖２ ２σ ２ æ è ç ö ø ÷ （５） 式中： υ ｉ ，υ ∈ Ｒ ｎ 是样本点， σ ＞ ０ 是核半径， ‖ υ ｉ － υ‖ 表示空间中任一点 υ ｉ 到某一中心 υ 之间的欧氏 距离［９］ 。 然而本文人体姿态描述的是多个关节在各 自球面坐标下的关节角，样本点和测试点之间的欧氏 距离并不能完全反应它们之间的位置关系。 针对人 体关节运动的特点，采用球面上的测地线距离能够更 加准确地反映各个关节运动。 因此，基于高斯核模 型，在高斯径向基核函数中使用测地线距离代替欧氏 距离构造姿态核函数。 假设给出 ２ 个球面上的点 υ ｉ ＝ （θｉ，φｉ） ， υ ｊ ＝ （θｊ，φｊ） ，则这 ２ 点间的测地线距离 δ（υ ｉ ，υ ｊ ） 为 δ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） ＝ ａｒｃｃｏｓ（ｓｉｎ θ ｉ ｌ ｓｉｎ θ ｊ ｌ ＋ ｃｏｓ θ ｉ ｌ ｃｏｓ θ ｊ ｌ ｃｏｓ ｜ φ ｉ ｌ － φ ｊ ｌ ｜ ） （６） 令 υ ｉ ， υ ｊ 是 ２ 个姿态特征向量，对于关节点 ｌ ， δ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） 表示的是该关节点 ２ 种姿态描述下构成 点对之间的测地线距离。 取 ９ 个关节点的测地线距 离的平方和，记为 Δ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） ＝ ∑ ９ ｌ ＝ １ ［δ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ）］ ２ （７） 最后参照高斯核模型，得到姿态核函数： Φ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） ＝ ｅｘｐ － １ ２σ ２ Δ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） æ è ç ö ø ÷ （８） 下面证明该核函数是一个有效的核函数。 首先 给出核函数 Γ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） 的表达式： Γ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） ＝ ｅｘｐ － １ ２σ ２ δ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） æ è ç ö ø ÷ （９） 由于（８）是由（９）演变而来，要证明 Φ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） 有效， 首先需要证明 Γ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） 的有效性。 由于任意球面 ２ 点间的测地线距离构成核矩阵 ［δ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ）］ 满足 Ｇｒａｍ 矩阵的条件，因此 ［δ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ）］ 是一个 Ｇｒａｍ 矩 阵。 根据条件正定核（简称 ＣＰＤ 核） 的定义，采用 文献［１０］给出的判定依据，可以证明 Γ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） 满 足条件正定核定义，是一个有效核函数。 根据核函 数的封闭性质［１１］ ，很容易得出 Φ（υ ｉ ｌ，υ ｊ ｌ） 也是一个 有效的核函数。 ２．２ 多类支持向量机的构建 ＳＶＭ 最初仅用于实现 ２ 类问题的分类，要实现 １２ 种人体姿态的多类分类，需要对标准 ＳＶＭ 进行 扩展，将多个标准 ＳＶＭ 以某种方式组织在一起，构 建多类支持向量机。 目前构建 ＭＳＶＭ 的方法主要 有一对一、一对多方法、导向无环图和二叉树［１２］ 。 鉴于二叉树设计方法的诸多优点，采用决策二叉树 的多类分类器设计方法，如图 ４ 所示。 图 ４ 二叉树的多类分类器框架 Ｆｉｇ． ４ Ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ⁃ｃｌａｓｓ ｃｌａｓｓｉｆｉｅｒ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｔｒｅｅ 在二叉树结构中，根据决策半径构造二叉树各 内节点的最优超平面，即从根节点开始，沿树的路径 依次得到的类别标签为 １，２，…，ｋ。 二叉树各内节 点的分类算法流程如下：１）以第 １ 类样本为正样本 集，其他类样本为负样本集，构造二值分类器，将 １ 类从样本集中剔除；２） 以第 ２ 类样本为正样本集， 其他类样本为负样本集，构造第 ２ 个内节点处的二 值分类器，将 ２ 类从样本集中剔除；３）依次下去，可 以得到基于二叉树的多类支持向量机分类器。 第 ３ 期 林海波，等：改进高斯核函数的人体姿态分析与识别 ·４３９·